【典例导悟】
例1 三个平面将空间最多可分成________部分.
（答：8）
例2 三个平面两两相交，得到三条交线，这三条交线的位置关系是_________.
（答：平行或相交于一点）
例3 三棱锥的四个面中，直角三角形的个数最多可以有_________个.
（答：4）
例4 连结空间四边形ABCD四边中点E，F，G，H，则四边形EFGH是___________四边形，对于对角线AC与BD，若_________，则EFGH为菱形；若_________，则EFGH为矩形；若______，则EFGH为正方形.
（答：平行 AC=BD AC⊥BD AC=BD且AC⊥BD）
例5 长方体的一条对角线与从同一顶点出发的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=_________；长方体的一条对角线与从同一顶点出发的三个面所成的角分别为θ，δ，φ，则cos2θ+cos2δ+cos2φ=_________.
（答：1 2）
例6 三棱锥P-ABC中，顶点P在面△ABC上的射影为O，下列条件下，O各为△ABC的什么心？
（1）PA=PB=PC________； （2）PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB________；
（3）PA，PB，PC两两垂直_________；（4）点P到底面三边距离相等（O在△ABC内）________；
（5）三侧棱与底面所成的角相等________；（6）三侧面与底面所成的角相等_______.
［答：（1）外心 （2）垂心 （3）垂心 （4）内心 （5）外心 （6）内心］
例7 射线AP与∠BAC的两边所成的角相等，则AP在∠BAC所在平面上的射影必在________.
（答：∠BAC的平分线上）
例8 面积为S的多边形在某一平面上的射影面积为S0，此多边形所在平面与该平面所成二面角的平面角为θ，则θ与S，S0的关系式为_______.（这个结论可以作为求二面角大小的一种方法）
（答：S·cosθ=S0）
例9 三个侧面两两垂直的三棱锥，它的底面三角形必为_________（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形，如果它的三个侧面面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则有关系式_________.
例10 圆锥的轴截面顶角为θ，母线长为l，要使在过圆锥顶点的所有截面中轴截面三角形面积最大，则θ应满足的条件是________.
（答：θ°＜θ≤90°）
例11 如图2-1，正方体ABCD-A1B1C1D1中，设其棱长为a，则平面AD1B1________平面BDC1，对角线A1C________这两个平面，并且被这两个平面_________，直线A1B与B1C所成角的大小为________，它们之间的距离为________.
（图2-1）
例12 如图2-2所示的正四面体中，设棱长为a，则PA与BC所成角的大小为________，PA与BC之间的距离为________，侧棱与底面所成角的余弦值为________，侧面与底面所成角的余弦值为_________，全面积为_________，体积为_________，外接球半径为_______，内切球半径为_______.
（图2-2）
例13 异面直线的公垂线是指：______________________________，任何两条异面直线都有_________条公垂线；异面直线的距离是指：____________________.
（答：和两条异面直线都垂直且相交的直线 唯一 两条异面直线公垂线段的长度）
【巩固训练】(www.xing528.com)
1.在正四棱锥P-ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小的正切值为______.
2.点A，B到平面α的距离分别为12，20，若斜线AB与α成30°的角，则AB=________.
3.已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值__为________.
4.已知△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，该三角形所在平面α外一点P与三个顶点的距离都是14，那么P点到平面α的距离为_________.
5.在60°的二面角α-l-β内有一点P，P到α，β的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，C，D为垂足，则P点到棱l的距离为_________.
7.三棱柱的一个侧面面积为S，此侧面所对的棱与此侧面的距离为h，则此棱柱的体积为__________.
8.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，D是底面三角形△ABC内一点，若∠DPA=45°，∠DPB=60°，则∠DPC=_________.
10.给定一个正方体与三个球，其中第一个球与该正方体各面都相切，第二个球与该正方体各棱都相切，第三个球过该正方体各个顶点，则这三个球的半径之比R1∶R2∶R3=_________.
11.某地球仪上北纬30°的纬线长度为12πcm，则该地球仪半径__为___________，表面积为_________.
12.在地球北纬45°的圈上有M，N两点，M在东经20°，N在西经70°，若地球半径为R，则M，N两点的弦长为_________.
13.自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA，PB，PC，则PA2+PB2+PC2=_________.
14.球面上三点A，B，C组成一个内接三角形，若AB=18，BC=24，AC=30，且球心到△ABC所在平面的距离等于球半径的一半，那么这个球的表面积为_________.
15.用2个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，把圆锥母线截为相等的三部分，则此圆锥被截得的三部分体积之比为_________.
16.a，b是两条互相垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a，b上移动，M，N分别是AB，PQ中点，则｜MN｜=_________.
17.从空间一点P引四条射线PA，PB，PC，PD，它们两两之间的夹角相等，则该夹角的余弦值为______.
19.某几何体的三视图如图2-3所示，则该几何体的体积最大值为_________.
（图2-3）
（图2-4）
20.如图2-4，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，满足∠ABE=20°，∠CDF=30°，将△ABE绕直线BE，△CDF绕直线CD各自独立旋转一周，则在旋转过程中直线AB与直线DF所成角的最大值为______.
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