数学高考培优指南-多元变量问题的解决方法

多元变量问题是指在一个函数、方程、不等式中，含两个及两个以上变量问题.问题中大多以一个变量含多个参数的形式出现，其实质就是多变量问题.这类问题很受命题者青睐，高考、模考中屡见不鲜，已成命题热点难点.解决此类问题确需较强的综合能力和技巧，总体策略是：变换主元，合理构造，优化处置.求解多元变量问题，蕴含着丰富的数学思想方法，如化归思想、函数思想、数形结合思想等.解决问题的本质是消元，实质是转化，关键是构造.因此必须从需要解决的问题出发，对问题加以变形或分析，或者从问题的条件出发，对条件加以改造，从而使问题得到顺利解决.

Ⅰ.变换主元，转化成一次函数或二次函数恒成立问题

如果多变量问题中的变量简单明了，并且涉及的函数比较简单，求解时只需合理转换主变元，利用恒成立问题求解方法即可顺利解决.

（1）若为一次函数，则把端点代入即可

例1 kx+3≥0在k∈［-　1，1］上恒成立，则实数x的取值范围为_______.

（2）若是“不一致”的二次函数，则把端点代入即可

例2 f（x）=x2+mx-1对任意的x∈［m，m+　1］都有f（x）＜0成立，求实数m的取值范围.

（3）若参变量易分离，则参变量分离，规避分类讨论

（4）合理选择主元，转化成相对简单的函数

例4 已知实数｜p｜≤2，求使不等式x2+px+1＞2x+p恒成立的x的取值范围.

评注：本例关键是转换主元，转换主元后，问题转化为例1这类问题，避免了繁琐的讨论.

Ⅱ.合理构造，处理分类繁琐或者分离无望的变量

有些多变量问题分类讨论十分繁琐或者参变量不能分离，因此求解时必须明晰题目条件和要求，并根据问题特点，对问题进行综合分析和评估，大多需要对条件加以改造，并进行合理构造，采用整体化、齐次化、对称化等思想方法构造新式子或新函数求解.

例5 设函数f（x）=2ax2+bx-3a+1，当x∈［-4，4］时，f（x）≥0恒成立，求5a+b的取值范围.

【解析】本题含三个变量x，a，b，若把x看作主元，则要对对称轴位置及a的正负进行分类讨论，从而确定a，b的取值范围，然后采用线性规划思想或方程思想求出目标函数的取值范围，这将非常复杂繁琐！若把f（x）看成以a，b为主变量的函数，并把5a+b看作一个整体，我们只需在［-4，4］上寻找到x0，使得f（x0）为5a+b的比例形式，则问题便可迎刃而解.

评注：本例是以a，b为主元的双变量问题，若直接分类讨论确实十分繁琐.转换主元后，把5a+b看成一个整体的线性函数变量，把x看作参变量，待定定义域内的x，再代回原不等式，此解法快捷灵巧.

评注：本例变量较多，直接分离较难，合理构造新函数是解决函数导数背景下的最值问题好思路.

评注：本例变量较多，最困难的是无法直接分离参变量k，需要根据问题特点，采用均值换元，构造新不等式函数再转化到恒成立问题才能求解.

Ⅲ.先易后难，优先处置相对简单的变量

如果一个式子中含多个变量，则意味着含多个函数，因此处理多变量问题的思路是：哪个函数简单容易，就优先处理简单容易的那个函数的变量.一般而言，同一个式子中，次数低的函数，或者容易判断单调性的函数，就是简单容易的函数，而三个以上的变量问题，则设法将其转换成双变量问题.(www.xing528.com)

例8 若函数f（x）=x2+ax+b对任意的实数a，总存在实数m，当x∈［m，m+1］时，都有f（x）≤0成立，求实数b的取值范围.

评注：本例有多个变量，优先处理m，转化变形后就回到了常规的恒成立问题了.

【解析】本题含三个变量x，a，b，但因是给出a，x的范围，求b的取值范围，因此应把a，x看作双变量，b看作参变量.若原函数看作以x为主元的函数，则是对钩函数；若原函数看作以a为主元的函数，则是一次函数.显然一次函数相比对钩函数要简单，因此应优先处理作为一次函数的那个变量a.

评注：本例是真正的“双变量”问题，即有两个主变量，一个参变量.若直接分类讨论则十分繁琐，优先处理简单的那个函数的主变量，则解题过程变得简洁清晰了.

例10 已知f（x）=4x3-2ax+a（a∈R），证明：当x∈［0，1］时，f（x）+｜2-a｜＞0.

【解析】本题表面上看只有一个主变量x，a只是一个参变量.但由于待求式含绝对值，欲去掉绝对值符号，意味着要对a进行分类讨论，因此a相当于一个主变量，故为“双变量”问题.

证明：（1）当a≥2时，题意转化为证明4x3-2ax-2+2a＞0在x∈［0，1］上恒成立，

即证（2-2x）a+4x3-2＞0在x∈［0，1］上恒成立，设g（a）=（2-2x）a+4x3-2，即证g（a）min＞0即可.因为2-2x≥0，所以g（a）min=g（2）=4x3-4x+2，即证4x3-4x+2＞0在x∈［0，1］上恒成立.

（2）当a≤2时，题意转化为证明4x3-2ax+2＞0在x∈［0，1］上恒成立，即证2xa-4x3-2＜0在x∈［0，1］上恒成立，设p（a）=2xa-4x3-2，即证p（a）max＜0即可，∵2x≥0，∴p（a）max=p（2）=4x-4x3-2，要证4x-4x3-2＜0，即证4x3-4x+2＞0在x∈［0，1］上恒成立.

综合（1）（2）知，当x∈［0，1］时，f（x）+｜2-a｜＞0成立.

评注：本例综合性较强，只有优先处置较简单函数的主变量，才能顺利解决这类双变量问题.

【巩固训练】

1.若不等式x2+mx+m≥0在x∈［1，2］上恒成立，则实数m的最小值是______.

4.已知a∈［-　1，1］，则使不等式x2+（a-4）x+4-2a＞0恒成立的x的取值范围为________.

5.设函数f（x）=ax2-2ax+2-2b（a，b∈R），当x∈［-　2，2］时，f（x）≥0恒成立，则a+2b的最大值为________.

6.已知f（x）=xekx（k≠0），若f（x）在区间［-　1，1］内单调递增，则实数k的取值范围为______.

8.若方程x2+ax+b-2=0在（-∞，-2）∪（2，+∞）上有实根，则a2+b2的取值范围为______.

9.已知a，b∈R，函数f（x）=ax2+b（x+1）-2，若对任意实数b，方程f（x）=x有两个相异实根，则实数a的取值范围为__________.

10.已知f（x）=2ex-1+x+lnx，g（x）=a（x-1）+3，当a≤4，x≥1时，证明：f（x）≥g（x）.