含限制条件的不等式问题的解析-数学高考培优指南

求限制条件下的函数最值或不等式取值范围问题，是近年高考热点难点问题.其本质是已知条件个数少于待求式中参变量个数的多元函数问题，求解该类问题的数学思想主要是函数、方程、不等式思想，但解题方法却灵活多变.本节着重介绍以下六种解题方法.

Ⅰ.运用“二次”不等式中的Δ≥0

【典例导悟】

例1 已知实数a，b，c满足a+b+c=0且a+bc-1=0，求a的取值范围.

【解析】保留a，消去b（或c）整理成关于c（或b）的“二次”方程，∵该二次方程有实数解，

【巩固练习】

2.已知x，y∈R且满足4x2+y2+xy=1，则2x+y的取值范围为______.

4.设x，y∈R+，且满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为________.

5.若实数a，b，c满足a+b+c=4且ab+bc+ca=5，则b的取值范围为______.

6.若实数a，b，c满足a+b+c=1，a2+b2+c2=3，且a＞b＞c，则b+c的取值范围为______.

Ⅱ.妙用分式型不等式中的“1”

【典例导悟】

评注：本题也可运用柯西不等式求解.

【巩固训练】

Ⅲ.数与形的完美结合

【典例导悟】

例 使不等式log2（-x）＜x+1成立的x的取值范围为_________.

【解析】如图6-1，在同一坐标系内作出y1=log2（-x）与y2=x+1的图象，数形结合得-1＜x＜0.

（图6-1）

【巩固训练】

1.设a∈R，若x＞0时，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-　1）≥0，则a=________.

2.设a，b∈Z，若对任意x≤0，均有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a=________，b=________.

4.设f（x）=（x2+ax+b）（ex-e）（a，b∈R），当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0，则实数a的取值范围为______.

6.x∈［-1，1］，关于x的不等式x3-1≤ax2+2ax-a2恒成立，则实数a的取值范围是______.

Ⅳ.目标导向下的合理构造

【典例导悟】

【巩固训练】

5.设x，y∈R，则W=4x2-4xy+3y2-2x+2y的最小值为______.

Ⅴ.借助柯西不等式

【典例导悟】

【巩固训练】

3.设x，y，z∈R，且x+2y-3z=7，则x2+y2+z2的最小值为______.(www.xing528.com)

4.设x，y，z∈R，且2x+y+z=3，则x2+y2+4z2的最小值为______.

5.设a，b，c∈R，且满足a2+2b2+3c2=1，则W=a+2b的最大值为______.

6.已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，则实数a的取值范围为_________.

Ⅵ.发掘隐含与限制条件，减少变量

【典例导悟】

例 在△ABC中，lg（tanA）+lg（tanC）=2lg（tanB），求角B的取值范围.

【巩固训练】

1.已知锐角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值为______.

3.若实数a，b，c满足对任意的实数x，y都有x+2y-3≤ax+by+c≤x+2y+3成立，则a+2b-3c的取值范围为______.

6.已知函数f（x）=3ax2+2bx+c（a＞0），a+b+c=0，且f（0）f（1）＞0.

（1）求证：方程3ax2+2bx+c=0有两个不等实根；

（3）设方程3ax2+2bx+c=0的两个根分别为x1，x2，求｜x1-x2｜的取值范围.