绝对值函数最值问题的求解-数学高考培优指南

含参绝对值函数最值问题近几年已成浙江高考和各市区学校模考热点难点试题，试题考查形式主要表现为求函数最大值的最小值或取得最值时的相关参数的取值问题.本节将对该类试题进行分析，力争追本溯源，尽可能厘清该类试题蕴含的数学本质，归纳总结出该类试题的不同解法和最优解法.

Ⅰ.一次函数模型

例1 设f（x）=｜x-a｜（a∈R）在［0，1］上的最大值为M，求M的最小值，并求此时相应a的值.

方法1：（分类讨论绝对值符号法）

（1）a＜0时，f（x）=x-a为增函数，∴M=f（1）=1-a.

（2）a＞1时，f（x）=a-x为减函数，∴M=f（0）=a.

（图5-1）

方法2：（绝对值不等式性质推导法）

方法3：（数形结合几何图形直观法）

评注：方法3更能反映该类问题的数学本质，如若真正理解，求解起来即可“秒杀”.

（图5-2）

Ⅱ.剪刀函数、双勾函数模型

方法1：（绝对值不等式性质推导法）

则有5M≥4｜4-a｜+｜1-4a｜≥｜4（4-a）-（1-4a）｜=15，∴M≥3，

即Mmin=3，此时4-a=-（1-4a），得a=1.

方法2：（数形结合几何图形直观法）

（图5-3）

方法1：（绝对值不等式性质推导法）

方法2：（数形结合几何图形直观法）

（图5-4）

评注：从以上例题及分析中，我们可以看到：遇到f（x）=｜g（x）｜，当绝对值内的函数在区间［m，n］上是单调函数时，则当f（m）=f（n）即g（m）=-g（n）时最大值M取到最小值，故而当函数绝对值内是单调函数时可以直接由此法计算，简便快捷.

（图5-5）

方法1：（数形结合几何图形直观法）

Ⅲ.二次函数模型

例4 设f（x）=｜x2+ax+b｜（a，b∈R）在［-1，1］上的最大值为M，求M的最小值，并求相应a，b的值.

方法1：（绝对值不等式性质推导法）

（图5-6）

方法2：（数形结合几何图形直观法）

（图5-7）

方法3：（公式法）受例3启发，显然Mmin=f（-1）=f（0）=f（1），直接计算可得.

变式 设f（x）=｜x2+ax+b｜（a，b∈R）在［0，1］上的最大值为M，求M的最小值，并求相应a，b的值.

方法1：（数形结合几何图形直观法）

Ⅳ.思想方法小结

（1）绝对值不等式性质推导法（m，n为常数）

①当函数g（x）在区间［m，n］上是单调函数时，则当f（m）=f（n）时，M取到最小值；

②当函数g（x）在区间［m，n］上不是单调函数时，则要同时考虑g（x）在区间内的最大值点（往往是端点）或极大值点和极小值点x0，也就是当f（m）=f（x0）=f（n）时，即g（m）=-g（x0）=g（n）时，M取到最小值，但此类方法的难点在于求出x0.

（2）数形结合几何图形直观法（m，n为常数）(www.xing528.com)

（3）公式法1

（4）公式法2

解题时，要善于观察分析和识别所求问题是上述四种模型函数（一次函数，剪刀函数，双勾函数，二次函数）中的哪一种模型，并根据问题条件和要求，合理选择上述三种解法之最优解法，灵巧快捷地解出含参绝对值函数f（x）=｜g（x）｜中的最大值的最小值及相关参数的值.从一些高考、模考试题看，若g（x）比较复杂，一般也能通过换元等思想方法，把g（x）分解、改造、化归到上述四种模型函数求解.

【巩固训练】