中美初中数学教材例题比较成果

在数学教学中，例题讲解是一个非常重要的环节。例题有以点带面的功能。从问题的提出到问题的解决就是将新颖、灵活的问题转化为基本的数学知识和思想方法的思维过程，这种思维过程可以不断提高学生的数学思维水平［14］。因此研究比较两国教材在例题讲解上的区别，有助于我们了解两国数学在对问题解决逻辑思路上的异同之处。本节将对中美两国教材6、7、8三个年级教材中相同概念的章节进行比较，而教材数学概念后给出的例题将是主要比较对象。

在人教版数学教材中将选取第四章“比”，在美国《Big Idea Math》教材中依旧使用第五章“Ratios”。6年级人教版数学教材在解释完比例的基本性质后给出了以下一个例题：

例1 计算下面比例中两个外项的积和两个内项的积。比较一下，你能发现什么？

（1）2.4∶1.6=60∶40 （2）

　　　2.4×40=　　　　　　963×15=________

　　　1.6×60=　　　　　　965×9=________

你能举一个例子验证你的发现吗？

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。

你能用字母表示这个性质吗？

在对比例的基本性质作完解释后，教材随后引出了解比例概念的内容。例题如下：

例2 法国巴黎的埃菲尔铁塔高度约为320 m。北京的世界公园里有一座埃菲尔铁塔的模型，它的高度与原塔高度的比是1∶10。这座模型高多少米？

解：设这座模型的高度是x m。

答：这座模型高32 m。

例3 解比例

解：2.4x=1.5×6

通过对6年级人教版教材3道例题的分析，可以看出例题的目的十分清晰。首要目标是要教会学生如何运算比例，然后配以一道有生活场景的应用题体现比例的作用，最后再用一道运算题巩固学习成果。

让我们再来看看6年级美国《Big Idea Math》教材中“Ratios”的例题样式：

例1 Writing a Raito

写出比例

Write the ratio of pennies to quarters in three ways.

用三种方式写出1美分硬币与25美分硬币的比例。（书上配图显示有5个1美分与8个25美分硬币）

The ratio of pennies to quarter is ，5 to 8，or 5∶8.

例2 Wrting and Simplifying Ratios

化简比例

a.Write the ratio of boys to girls at Oak Grove.

a.写出在奥克格罗夫学校的男生与女生的比例。

The ratio of boys to girls is ________.

b.Write the ratio of girls to the total number of students at Oak Grove.

b.再写出奥克格罗夫学校女生与全部学生数的比例。

（都被要求写出最简形式）

The ratio of girls to the total number of students is________.

例3 Writing Equivalent Ratios

写出同等分数

Write two equivalent ratios for triangles to squares.

写出三角形与正方形的同等分数。（书上配有4个三角形与6个正方形的图形）

Two equivalent ratios are and

例4 Comparing Ratios

比较比例的大小

Your answer 24 out of 30 questions correctly on a quiz.Your friend answers 35 out of 40 questions correctly on a different quiz.Who has the better score？

你在一个测试中答对了30题里的24题，而你的朋友在另一个测试中答对了40题里的35题，请问谁的分数更高？并用百分数的形式进行比较。

You：

Your friend：

Use percents to compare the scores.

You：

Your friend：

Your friend has the better score.

以上4道例题是美国教材《Big Idea Math》中对“比”这个概念的教学内容。如果从解决问题的思路上来说，首要目标是要求学生会通过观察到的内容自己写出比例，然后告诉同学其实相同比例可以有多种表示方式，包括不同数量的比例可能结果也会得到相同的比，最后通过一道文字题综合之前学习的内容，比较不同比例的大小，并和百分数的概念做了一个关联。

通过两套教材的比较，我们可以看出两套教材里例题体现的思路是不同的。人教版的例题在起点的难度上已经高于美国教材所要求的看图，或看文字写出一个比例，并直接关联到了计算并设x上。在同一节的内容里，美国教材主要关注的是用例题解释基本概念，计算上还没要求学生去解比例，但通过4道题的练习，在基础概念部分美国《Big Idea Math》做得更彻底也更清晰，并不急于提高难度。至于解比例这个概念，教材放在了同一章后两节内。因此在相同的概念下，人教版教材在解决问题的思路上，体现得更为综合与紧凑，美国教材则更为细致。这可能也和美国数学每年都会重复上一个学年所学内容的螺旋式方式有关系。

对于7年级，中美两国教材在讲解实数概念时的章节安排也略有不同，但主线却是很相似的，因此对于7年级教材的例题分析，本书仅关注实数这个单一概念的章节，对于前后的内容暂不进行比较，这样也更能体现出区别。

人教版7年级第六章第三节实数的例题如下：

例1 （1）分别写出的相反数；

（2）指出分别是什么数的相反数；

（3）求的绝对值；

（4）已知一个数的绝对值是，求这个数。

解：（1）因为，所以的相反数为

（2）因为，所以分别是的相反数。

（3）因为所以

（4）因为，所以这个数为或

例2 计算下列各式的值：

（1）

（2）

解：（1）

（2）

例3 计算（结果保留小数点后两位）

（1）

（2）

解：（1）

（2）

以上3道例题是人教版7年级用来对实数概念的介绍，看得出在经过之前的几节内容后，本节的例题主要还是集中在实数部分计算上的要求。再来看一下7年级《Pre-Algebra》的例题：

例1 Classifying Real Numbers（辨识实数）

例2 Comparing Real Numbers（比较实数大小）

Copy and completeusing＜，＞，or=.（在数轴上比较并完成比较）

is to the left ofon the number line.(https://www.xing528.com)

例3 Ordering Real Numbers（排列实数）

Using a number line to order the numbers ，-2.8，and from least to greatest.Graph the numbers on a number line and read them from left to right.

Answer：From least to greatest，the numbers are-2.8，

用数轴由小到大排列给出的实数，并在数轴上画出这些点。最后答案是-2.8，

例4 Using Irrational Numbers（使用无理数）

Landmark Buildings：Your class is visiting historical landmarks in Chicago.Outside the Washington Block，you break up into two groups.Group A walks about 800 meters east and 200 meters south to the Chicago Building.Group B walks about 600 meters south and 200 meters east to the Rookery Building.To the nearest 10 meters，how much farther is group A from the Washington Block than group B is？

Solution：Draw a digram.Then use the pythagorean theorem to find each distance from the Washington Block.

Group A：

Group B：

Difference in distances：825-632=193

Answer：To the nearest 10 meters，group A is about 190 meters farther from the Washington Block than group B is.

地标：你的班级要去参观芝加哥的地标。在华盛顿街区外分成两组。A组先向东走800米然后向南走200米来到芝加哥楼。B组先向南走600米然后向东走200米到Rookery大楼。请问A组距出发地距离比B组距出发地距离多了多少米？答案精确到10米。

先画个图然后用勾股定理解题。最后A组距出发地距离比B组距出发地距离多了约190米。

经过对美国教材《Pre-Algebra》中例题的分析，我们发现例题是围绕基本概念在层层推进。首先教材要求学生能够分清有理数与无理数之间的区别，并且用了表格形式的比较，突出了对比性。其次要求学生能够辨别实数的大小，最后配以一个应用题来综合之前所学的内容。仔细观察，我们会发现，美国教材在教授实数的概念与美国6年级教材在教授比的概念是如出一辙的。而中国人教版教材在7年级实数章节的例题也与6年级的教材较为相像，对计算的要求都高于美国教材中的要求。通过例题的比较，两国教材在对问题解决的思路的不同之处还是可见一斑的。那这样的特点是否会在8年级的教材中依旧有同样的体现呢？

8年级教材中，我们选取的比较内容为因式分解。因式分解是一项操作性与技巧性很强的数学概念，要求学生对题目有充分的认识与练习后才能较好地掌握此部分的内容。因此对中美两国教材在此处的比较，也能看出与之前例题比较中的区别。人教版8年级教材例题如下：

例1 把8a3b2+12ab3c分解因式。

分析：先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提取公因式。我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4；两项字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是2，因此我们选定4ab2为提取的公因式，提取公因式4ab2后，另一个因式2a2+3bc就不再有公因式了。

解：8a3b2+12ab3c=4ab2×2a2+4ab2×3bc=4ab2（2a2+3bc）

例2 把2a（b+c）-3（b+c）分解因式。

分析：b+c是这两个式子的公因式，可以直接提取。

解：2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）

例3 分解因式：

（1）4x2-9

（2）（x+p）2-（x+q）2

分析：在（1）中，4x2=（2x）2，9=32，4x2-9=（2x）2-32，即可用平方差公式分解因式；在（2）中，把x+p和x+q各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2-n2。

解：（1）4x2-9=（2x）2-32=（2x+3）（2x-3）

（2）（x+p）2-（x+q）2=［（x+p）+（x+q）］［（x+p）-（x+q）］=（2x+p+q）（p-q）

例4 分解因式：

（1）x4-y4

（2）a3b-ab

分析：在（1）中，x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解；对于（2），a3b-ab有公因式ab，应先提取公因式，再进一步分解。

解：（1）x4-y4=（x2+y2）（x2-y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y）

（2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）

例5 分解因式：

（1）16x2+24x+9

（2）-x2+4xy-4y2

分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2×4x×3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=（4x）2+2·4x·3+32；在（2）中，同样是一个完全平方式。

解：（1）16x2+24x+9=（4x）2+2·4x·3+32=（4x+3）2

（2）-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2）=-［x2-2·x·2y+（2y）2］=-（x-2y）2

例6 分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2

（2）（a+b）2-12（a+b）+36

分析：在（1）中，有公因式3a，应先提取公因式，再进一步分解；在（2）中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36。

解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2

（2）（a+b）2-12（a+b）+36=（a+b）2-2·（a+b）·6+62=（a+b-6）2

以上6个例题是8年级人教版数学教材对因式分解的全部例题，从难度上可以看出例题是按照由简入难的次序排列，并将前几节的公式也一并融入进来。那再来看看8年级美国数学教材《Algebra 1》中的例题是怎么样的。之前在对概念的比较时，我们已经发现，美国教材将因式分解具体分为了四个部分，而这四个部分的内容在人教版教材中被整合到了一节中。并且因式分解的普通形式在人教版教材中是放在了课后阅读与思考的部分中。这前后次序上的变化也体现了两国教材解决问题上的不同思路。《Algebra 1》的例题如下：

8.5 Factor x2+bx+c（因式分解x2+bx+c）

例1 Factor when b and c are positive（因式分解：当b和c是正数时）

Factor x2+11x+18

Solution（解）：Find two positive factors of 18 whose sum is 11.Make an organized list.（找出两个18的正因数，并且它们的和是11，用表格列出。）

The factors 9 and 2 have a sum of 11，so they are the correct values of p and q.（因数9和2的和是11，所以它们分别是p和q的值。）

x2+11x+18=（x+9）（x+2）

Check（x+9）（x+2）=x2+2x+9x+18=x2+11x+18

例2 Factor when b is negative and c is positive（因式分解：当b是负数，c是正数时）

Factor n2-6n+8

Because b is negative and c is positive，p and q must both be negative.（因为b是负数，c是正数，因此p和q必须是负数。）

n2-6n+8=（n-4）（n-2）

例3 Factor when b is positive and c is negative（因式分解：当b是正数，c是负数时）

Factor y2+2y-15

Because c is negative，p and q must have different signs.（因为c是负数，因此p和q必须是异号。）

y2+2y-15=（y+5）（y-3）

例4 Solve a polynomial equation（解多项式方程）

Solve the equations x2+3x=18

The Solutions of the equation are-6 and 3.

例5 Solve a multi-step problem（解多步骤问题）

Banner Dimensions：You are making banners to hang during school spirit week.Each banner requires 16.5 square feet of felt and will be cut as shown.Find the width of one banner.（标旗尺寸：为学校特色周制作标旗，每一面标旗要求16.5平方英尺大，找出边长）

Solution

Step 1 Draw a diagram of two banners together.

Step 2 Write an equation using the fact that the area of 2 banners is 2×（16.5）=33 square feet.Solve the equation for width.

以上例题是美国《Algebra 1》教材中因式分解的第一节内容中的所有例题。例题以最基础的因式分解形式开始，讨论了b与c两个系数对因式分解的影响，并在最后用一道应用题综合之前的内容，其思路和6、7年级的教材是一致的。接着教材对ax2+bx+c形式的多项式进行解释，其例题类型与分解因式x2+bx+c的内容基本一致，因此不再加以赘述。至于人教版教材的公式法因式分解，在《Algebra 1》教材中主要出现在8.7 Factor Special Products（分解特殊乘积）中。其例题如下：

续表

以上是美国教材8.7节中的所有例题，这和人教版教材中的公式法使用的是相同的方法。值得注意的是，之前人教版有一节是关于提取公因式的，而在美国教材中只是用了一个例子提到关于做因式分解时，如果每项都有公因式时需要提出后再做。在这点上，人教版教材显得比较细致，在利用平方和与平方差的方法上，两套教材基本是一致的。但是最后美国教材的传统是有一个综合性的扩展，比如教材联系到了二次函数图象、解一元二次方程和带有一些跨学科性的应用题，这是人教版的例题里没有凸显出来的部分。至于人教版最后稍难一点的例题，在美国教材8.8节中也有引入。