当代著名的数学教育家波利亚强调指出“中学数学教学首要任务就是加强解题训练”。可见习题在数学教材中充当着十分重要的角色。戴再平认为数学习题有以下几个方面的功能：知识功能通过数学习题，使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能、技巧；教育功能通过数学问题的解决，使学生获得和发展推理能力、化归能力、形式化地处理问题和建立数学模型的能力；评价功能对学业成绩的检查与评定是整个教学过程的有机部分，数学成绩的好坏一般都是通过解题来评定的。
1.习题认知水平的比较
1.1 习题认知水平架构的刻画
布卢姆将认知目标分为知识、领会、应用、分析、综合、评价六种水平。由于他只对作为教学评估的目标进行了六种掌握水平的分类，而没有考虑到对教学目标、教学过程中的教学活动以及教学评估等的分类，在连续性与层次性上存在漏洞。后来经安德森等人的修订，将认知目标分为记忆、理解、运用、分析、评价与创造六个方面。
顾冷沅教授等人先后在1990年与2007年做“青浦实验”时采用大样本测试，研究初二年级学生在数学学习中的大量外显的行为所表征的教学目标中，分析其内隐的主要因素，并因此确定目标框架的层次及研究分类的连续性。后来经过不断的改造及完善，把数学的认知水平分为以下四个层次架构：
水平1：计算——操作性记忆水平。
水平2：概念——概念性记忆水平。
水平3：领会——说明性理解水平。
水平4：分析——探究性理解水平。
其中水平1与水平2属于较低的再认知、记忆水平，水平3与水平4属于较高的理解性水平。本小节将依据学生解答某类习题所要求达到的数学认知水平层次，对中美初中数学教材“概率”内容习题数学认知水平作具体的界定，如下所示：
水平1：计算——操作性记忆水平。解答该层次的习题，学生不需要较高的认知水平，只要按照教材上要求的程序或者方法进行基本的运算就可，不需要理解。
如：已知种子的个数为发芽种子个数的a倍，求发芽种子的概率b。
此题只需按照概率的公式求解即可。
水平2：概念——概念记忆性水平。该认知水平考查学生对教材中的概念、基本的事实、法则、表达式等的理解程度。解答该水平的习题，学生需要区分概念的内涵及外延，能根据具体的情况提取记忆中的概念并作出判断。
如：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）通常加热到100℃时，水沸腾。
（2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中。
（3）掷一次骰子，向上的一面是6点。
（4）测量三角形的内角和，结果是360°。
（5）经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯。
（6）某射击运动员射击一次，命中靶心。
此题就需要学生对必然事件、不可能事件以及随机事件的概念进行区分并作出判断。
水平3：领会——说明性理解水平。该水平的习题与前两个水平有较大区别，不再是单纯的识别辨析，而是要求学生熟练掌握公式及计算，理清问题内部的关系，灵活运用所学知识进行适当的推理。包括一些常规题，以及与教材的例题相近的习题。
如：一个容器中装有8个筹码。其中，3个是灰色的，4个是方格图案的，还有1个是白色的。求取到1个白色筹码的概率。
解决这道题，学生需要将提问及题中所给信息之间建立联系，理清题目中所涉及的概念、方法等，然后再进行解答。
水平4：分析——探究性理解水平。水平4是认知水平中的最高程度。解决该水平的习题要求学生能综合地分析解题过程，提出解决问题的方案，并创造性地解决问题。包括与例题差别较大的非常规题、探索性、开放性的题目。
如：动物学家通过大量的调查估计出，某种动物从出生起活到20岁的概率是0.8，从出生起活到25岁的概率是0.5，从出生起活到30岁的概率是0.3。求现年为25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？
该题是一道与例题不同的非常规题，要求学生用逆向思维来进行思考，推理并得出解答。
1.2 概率习题认知水平比较及分析
中国教材的习题分为练习题、习题和复习题三部分。其中，练习题主要是对基本概念、基本的运算法则公式以及一些技能的应用。通过习题的训练让学生熟悉和巩固相应小结的内容。习题以及复习题，是有多个知识点综合以及深度、广度不一的对数学思想方法使用的综合性习题，目的在于加深学生对基础知识基本技能等的掌握，在此基础上，创造性地解决一些综合性的问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。复习题则是一类综合性更强的题目。美国教材的习题设置与中国不同，只有练习题和习题两部分。其中，练习题是给那些在每个小节学习到基本概念之外，需要做更多额外练习的学生，以及对先前学习过的概念不断复习。
基于以上对习题认知水平架构的分析，本研究对两国“概率”习题从认知水平的四个维度进行分类统计，计算出不同类型的习题在认知水平上的数量及百分比（习题数量是以各水平习题所占教材习题的百分比为基础比较的）。
a.概率练习题认知水平的比较
两国教材对概率内容相关练习题的认知水平统计结果如下表1-22所示，其中，括号内为该习题在各认知水平中出现的数量。
表1-22 两国教材“概率”练习题认知水平的比较
上表的统计结果显示，两国教材练习题在认知水平的四个维度差异较大：
在水平1：计算——操作性记忆水平上，中国教材练习题比美国教材多。在水平2：概念——理解性水平上，中国教材练习题比美国教材多。水平1与水平2的练习题总量，表明中国教材较注重与例题相近的习题的设置，注重对基础知识基本技能的理解与掌握。在水平3：领会——说明性理解水平上，表明美国教材练习题注重与例题相近的带有问题情境的、需要学生理清问题中的关系才能够解决的习题的设置。在水平4：分析——探究性理解水平上，中国教材练习题比美国教材少。水平3与水平4练习题总量表明美国教材比较注重高认知水平习题的设置。
b.概率习题认知水平的比较
两国教材对概率内容相关习题的统计结果如下表1-23所示，其中，括号内为该习题在各个认知水平中出现的数量。
表1-23 两国教材“概率”习题认知水平比较
从上表可看出，在习题的认知水平上，两国教材相差不大，具体如下：在水平1：计算——操作性记忆水平上，中国教材习题比美国教材多。在水平2：概念——理解性水平上，中国教材习题比美国教材多。在水平3：领会——说明性理解水平上，中国教材习题比美国教材少。在水平4：分析——探究性理解水平上，中国教材习题比美国教材少。中国教材习题还是延续了较注重基础知识和基本技能的掌握与理解，美国教材注重较高认知水平习题的特点。
c.概率复习题认知水平的比较
两国教材对概率内容相关复习题的统计结果如下表1-24所示，其中，括号内为该习题在各个认知水平中出现的数量。
表1-24 两国教材“概率”复习题认知水平比较
根据上表所得数据，两国教材概率内容复习题呈以下特点：中国教材在复习题的设置上，没有水平1与水平2的题目，美国教材没有复习题。
由以上概率内容的三种习题认知水平比较可知，中国教材的习题分布较平均，包含了四个认知水平的习题。既有以概念理解与基本计算为主的练习题，也有运用技能才能解决的习题，还有需要学生进行推理验证才能解决的创造性较高的复习题。不论是习题还是复习题的设置都具有阶梯性，从易到难，分成“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三部分。体现了中国习题设置的全面性与层次性，以及面向不同层次的学生，因材施教的教育理念。美国教材只有练习题与习题，没有复习题。
d.概率总的习题认知水平的比较
对两国不同类型的概率习题的认知水平进行比较的基础上，再对两国总的习题认知水平进行比较。其中，括号内为相关概率习题在各个认知水平中的数量，如下表1-25所示。
表1-25 两国教材“概率”总的习题认知水平比较
由统计结果可得：在水平1：计算——操作性记忆水平上，中国教材习题比美国教材多。在水平2：概念——理解性水平上，中国教材习题比美国教材多。在水平3：领会——说明性理解水平上，中国教材习题比美国教材少。在水平4：分析——探究性理解水平上，中国教材习题比美国教材少。整体上，水平1与水平2总计，中国教材习题比美国教材多。水平3与水平4总计，美国教材习题比中国教材多。然而，同样是对认知水平1与水平2的考察，两国教材习题的设置却有很大不同，美国教材水平1与水平2的题目设置得更加灵活。
同样是对随机事件、必然事件、不可能事件等概念的考查，两国的设置却有很大差异。
例如，中国教材：指出在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件。
（1）通常温度降到0℃，纯净的水结冰；
（2）随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数。
例如，美国教材：在下面的题目中，从0～1中分配一个数字用以表示事件将发生的机会，并解释你的理由。
（2）本周你将有一天午餐要吃比萨；
（3）今年某日墨西哥会下雪。
这样的习题设置避免了学生对概念死记硬背，也能够对概念的理解更加深入透彻。
1.3 概率高认知水平习题的进一步分析
上文通过对两国概率习题的比较发现，两国教材习题在高认知水平3与水平4上的数量与所占比例差别很大。下面将通过对两国认知水平3与水平4的进一步分析，寻找两国习题高认知水平出现的差异。
分析两国教材水平3的习题，基本都是计算题。因此，可以将水平3的习题从以下三个维度分析比较。
（1）根据题目所给信息能直接解答的习题。该类习题要求学生能根据具体的题目，提取出关键的、对解题有用的信息。一般而言，解答题目所需的知识存在题目中。例如：当掷两个骰子时，它们出现的点数总和是3的概率是多少？此题通过分析骰子可能出现的状态就可以解答。
（2）需联系本章节以外的数学知识解答的习题。要解答此类题目，学生需联系先前学过的与题目相关的知识。例如：当掷两个骰子时，它们出现的点数总和是2与3的公倍数的概率是多少？要解答此题，学生需知道什么是公倍数，如何求两个数的公倍数。否则，题目就不能解答。
（3）需联系生活常识解答的习题。解答该类习题，学生需联系一些与题目相关的生活常识。例如：同学们，你们都知道猜“石头、剪子、布”的游戏吧！如果两人做这个游戏，随机出手一次，两个人获胜的概率各是多少？解答该题，学生就需要知道什么是“石头、剪子、布”以及这个游戏的规则。
根据两国教材水平4的习题特点，将数学认知水平4分为以下六个维度进行比较。
（1）探究性习题。解答该类题目，学生需在带有现实背景的题目中积极主动地抽离出数学模型，像数学家一样，经历猜测、建立方案、推理验证得出结论等阶段。例如：为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获n条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘。再从鱼塘中打捞出a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数可估计为
，你认为这种估计方法有道理吗？为什么？
（2）非常规习题。与例题相差较大的习题，解决此类型的题目，需要学生从传统的解题模式中走出来，创造性地解决问题。
（3）提出问题解决方案的习题。解决该类问题，要求学生根据所学知识，通过创设方案完成问题的解答。例如：设计一个有五部分的旋转器，使得落在某一部分的可能性是落在其他四部分的可能性的2倍。
（4）动手操作性的习题。该类习题要求学生通过动手操作实验完成问题。例如：从一定高度落下的图钉，落地后可能图钉尖着地，也可能图钉尖不着地，估计一下哪种事件发生的概率更大。与同学们合作，通过做实验来验证一下你事先的估计是否正确。
（5）说理证明题。该类型的题目要求学生根据所学知识并联系其他的知识灵活地进行说理证明。例如：一个生产无糖口香糖的公司过去常常使用一句广告词：十个牙科医生里会有九个推荐给患者无糖口香糖。你认为这个陈述是不是意味着的90%的牙科医生认为患者应该咀嚼无糖口香糖？说明你的理由。
（6）作图（表）题。解答此类习题时，学生需要根据题目所叙述的内容按要求作出图表。例如画出可能出现的结果的列表，或者是树形图等。
以下对概率高认知水平习题进行比较分析。
根据以上的分类模型，统计两国教材水平3与水平4的习题数量得到表1-26和表1-27。其中括号内为习题在该认知水平中的数量。
表1-26 两国教材水平3的习题数量
通过上表数据显示，两国习题在水平3的三个维度出现以下特点：
（1）在“根据题目所给信息能直接解答的习题”中，中国教材习题数量比美国教材少。
（2）在“需联系本章节以外的数学知识解答的习题”中，美国教材习题数量比中国教材多。
（3）在“需联系生活常识解答的习题”中，中国教材习题数量比美国教材多。
由此可知，中国教材较注重概率知识与生活常识的联系，美国教材概率内容习题较注重数学知识之间的联系。
表1-27 两国教材水平4的习题数量
从上表可获悉以下的结论：
（1）在探究性习题上，中国教材习题数量比美国教材多。
（2）在非常规习题上，中国教材习题数量比美国教材少。
（3）在提出问题解决方案的习题上，中国教材习题数量比美国教材多。(www.xing528.com)
（4）在动手操作性的习题上，中国教材习题数量比美国教材多。
（5）在说理证明题上，中国教材习题数量比美国教材少。
（6）在作图（表）题上，中国教材没有此类习题。
中国教材习题在水平4各个维度的设置都较均匀。但题量相对较少，81道题中仅有15道题，侧重于探究性、提出解决方案、动手操作类习题的设置，不注重作图（表）题的设置。美国教材水平4的题量相对较多，侧重于非常规性、说理证明性，以及作图（表）题的设置，注重学生创造性地解决问题。美国教材的作图（表）题主要集中在概率概念的探讨以及树形图、用面积模型估计概率几个调研中。解决此类题需要学生根据题目的要求作出相应的图形或图表。用列表法处理概率问题在美国教材6年级的习题中作为一种学习策略，从一开始就培养学生使用列表统计实验的结果。8年级则在侧重树形图及面积表示概率的同时渗透列表法，用列表法或树形图可以直观地、不重复不遗漏地列出所有的结果。由此可知，美国教材较注重知识的多元表征以及数学思想方法的渗透。
1.4 习题认知水平设置理念的比较
a.中国概率习题的设置理念
中国教材概率习题的编写，在牢固掌握基本知识和基本技能的同时，通过设置不同层次的习题以满足不同学生的发展需要，体现出因材施教的教育理念。设置与生活联系紧密的探究性、动手操作等习题，这样可以培养学生推理、证明、探究的能力。让学生通过问题的解决体会数学就在身边，形成数学学习的方法，体会数学思想的强大。
b.美国概率习题的设置理念
美国教材兼顾基础知识、基本技能与应用、探究、非常规、创新等习题的设置。教材通过大量丰富的与生活情境接近的习题设置，使学生在熟悉的情境中，学习数学、体会数学、反思数学，形成学习数学的方法和思想。
c.理念比较结论
两国教材都十分重视习题对学生能力发展的作用。然而两国的侧重点有所不同。中国教材习题重视情境的设置，但是真实性、贴切性不够，而美国教材的情境既丰富也贴近学生的生活世界；中国教材习题侧重知识的理解掌握，美国教材侧重于学生能力的形成；中国教材习题侧重知识的完整性，美国教材侧重知识之间的联系。
1.5 认知水平比较结论
根据两国教材概率习题的比较，得出以下几点结论：
（1）美国习题数量远比中国多，涉及面也广。
（2）中国习题在编排上具有层次性，分练习题、习题和复习题三部分，满足教学与不同层次学生学习的需要。美国只有习题与练习题，没有供学生总结学习的复习题。
（3）两国习题均注重概率与现实情境的结合。美国习题的情境较中国丰富，更贴近学生生活。
（4）中国习题注重基础知识、基本技能的理解与应用，美国习题注重数学与生活、数学知识系统自身的联系。
（5）中国习题注重培养学生探究性学习能力、注重数学思想方法的形成。美国注重高认知水平习题、非常规习题及作图题的设置，注重学生反思性学习习惯的培养。
（6）美国习题更注重信息技术的参与。在每个小结的习题中，都强调如果需要，可以随时使用计算器。
2.习题引入方式比较
中美两国教材在方程这部分知识上，一元一次方程是共有知识点，所以下面我们将对一元一次方程这部分内容作比较。我国教材在第三章第一节，引入了方程及一元一次方程的概念，作为本章学习的开始，教材提供了多个实际问题引入。
美国教材是以问题的形式引入的本节知识，并以高尔夫球手伍兹的赛绩作为问题的背景，并配了伍兹的图片。问题为：4月13日，高尔夫球手伍兹在美国名人赛中，最后以低于标准杆18杆（记为-18杆）的成绩打破了纪录。他前三轮的成绩分别是-2杆、-6杆和-7杆。那么他第四轮的成绩是多少呢？
从上面的介绍中，我们可以看出，虽然两国教材都是以创设问题情境的方式引入，并都配有图片，但也有不同之处。我国教材一共提供了四个实际问题，让学生在教师的引导下，通过对大量实际问题的观察、分析，归纳得到一元一次方程的概念。而且教师可以由此继续推广，创设更丰富、贴近学生生活的现实情境。但美国教材只有一个问题情境，作为一个引子，也是例题之一，并没在知识的讲解上起到更大的作用。另一方面，在图片方面，我国教材的四个问题都配有图片，而且图片的样式也很丰富，丰富的图片在新知识的引入时，很容易引起学生的兴趣。美国教材虽然只有一个图片，但伍兹赢得的美国名人赛奠定了他在美国乃至世界的王者地位，也使他成为历史上最年轻的美国名人赛冠军，美国教材选伍兹作为问题的背景，也可以看成是对本国文化的一种宣传。
3.习题题量的比较
在概率习题的设置上，中国教材分为“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三个层次，美国教材分为“应用”“联系”“扩展”三部分。由于两国教材中的习题都存在一个题目中包含着多个提问，以及一个题目中有几个小题的情况。因此，在对教材中的习题进行统计时，出现一个题目中包含着多个提问的按一道题计，一个题目中有几个小题的按小题总数计。
例如中国教材习题：（1）掷一枚质地均匀的硬币的实验有几种可能的结果？他们的可能性相等吗？由此怎样确定“正面向上”的概率。（2）请指出在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件。①通常温度降到零度以下，纯净的水结冰；②随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；③地面发射1枚导弹，未击中空中目标；④测量某天的最低气温，结果为零下150度；⑤汽车累积行驶1万千米，从未出现故障；⑥购买1张彩票，中奖。
上面题（1）提问三次，按一题计；题（2）中有六个小题，按六题计。
例如美国教材习题：（1）当你抛掷一颗棉花糖时，竖直落地和侧边落地的机会一样吗？也就是说，这两个事件是等可能发生的吗？解释你的理由。（2）气象学家们对有关下雨天、晴天、下雪天等出现的可能性作出了许多的估计。来自温暖电台的气象学家瓦尔德，自称是南卡罗来纳州最好的天气预测员。在毕业典礼前一天，他说：“明天下雨的机会只有10%”。①至少问两个成人，他们认为瓦尔德的陈述是什么意思？把他们的解释写下来；②如果在毕业典礼那天下雨了，是瓦尔德错了吗？为什么？
上面题（1）提问两次，按一题计；题（2）有两个小题，按两题计。
按照这样的标准，统计中美两国教材概率内容的练习题、习题以及复习题的总量并计算出所占比例，如下表1-28所示。其中，括号内的数字是该内容出现的次数。
表1-28 两国教材题量统计
小结：从上表的统计结果可得出，在概率内容习题总量设置上，美国教材的习题总量远远多于中国教材。美国教材无论是练习题还是习题的总量都比中国多，但是美国教材没有设置复习题。根据上文对两国教材知识系统的比较可知，美国教材在每个小节后都会对本小节的内容进行总结，使学生对本小节内容所学知识的理解有进一步的加深。但是相反，在习题设置上，美国教材没有设置总结性的习题。可见，美国教材不太注重教材知识设置的整体性及系统性。
4.习题情境设置特点的比较
我们将情境按照与学生生活的关系分为无情境、个人情境、教育情境、职业情境、公共情境及科学情境六类。在前一部分所有的题目统计中，我们深入对每个题创设的情境类进行统计，得到以下的结果，如表1-29所示。
表1-29 两国教材习题的创设情境统计
图1-4 两国教材习题情境所占比例
从图1-4中我们发现，两个版本的题量虽然有着很大的差异，但在习题情境的分布上却有着一定的相似性，特别是“无情境”问题比重有很高的一致性，这说明两个版本对于数学问题的设计上绝大部分（约60%）都不含情境。“个人情境”方面，加州版题量大约是上教版的两倍，说明了加州课程在数学问题情境的创设上比上海对学生的个人生活方面的情境的关注度较高；在“教育情境”方面，上教版题量远远多于加州版，说明上海课程创设数学问题情境时较多关注学生的教育（环境）生活；另外三类情境，加州版都占据了一定的优势。
课程的设置结果是对其课程标准目标的体现。对照两个版本对于数学问题情境类的分布，联系前文提到的数学课程标准的总目标，加州课程对于问题情境类的创设充分体现了其课程标准中的“体现了年轻人为升学或职业做好准备所需要的知识和技能”；而上海课程注重“教育情境”类数学问题的创设，也反映了其在课程标准中反复强调“打好基础，学会应用，激发兴趣，启迪思维；同时获得积极的情感体验，形成正确价值观”的价值取向，即关注未来职业和继续升学，同时又侧重于数学思维能力等方面的提升，而在其他方面的情境所占比例仍比较小。但是，从上海课程标准提出要“促进学生‘数学素养’的发展”的角度来说，在数学课程的问题情境的创设上注重“公共情境”“职业情境”等充分考查学生应对能力可以说是具备一定借鉴意义的。
5.习题数学特征水平比较
以函数为例，从表1-30、图1-5可以看出，加州版教材中问题表征上数学表达式中不包含运算的占绝大多数，而少数包含运算的几乎都比上教版同等步骤的少，三步运算的比重就已经极少；而上教版中函数部分的数学表达式不含运算的比例不到三分之一，这意味着大多数问题的表征过程中都包含了运算，包含运算的比例最多为两步运算，运算步数最多达到四步以上。
表1-30 两版教材习题数学特征水平比较
图1-5 两国教材习题数学特征水平所占比例
这其中很大的影响因素是由于两个版本教材在函数内容上的结构安排存在着较大的差异。加州版对于“函数”这一块的内容结构较为细致，许多知识点都被单独列为一节的内容，如变量、斜率等概念，因此在单节课程中对于单一概念的问题设计，其运算步骤的长度则相对有限；而上教版在函数内容的结构安排上较为紧凑，单独一节课程中所要涉及的概念数目相对较多，概念发生联系的机会较大，因此，关于运算的长度也就相对较长。由于上海课程目标中对于数学基础知识、基本技能的重视，数学表达式的复杂度也就随着增加。
例如，在对于加州版教材年级“斜率”课程内容的统计中，就发现许多单独考察一个概念的例子，如图1-6、图1-7所示。
我们发现，加州版教材关于“斜率”概念的理解及其运算操作而设置的问题本身运算步骤不长，因此在表征时往往并不涉及运算；在我国上海数学课程中这样的例子虽然也存在，但远远没有像加州教材的这么多。
图1-6
图1-7
6.习题语境特征水平比较
数学特征和语境特征似乎存在着此消彼长的关系，是由两个特征在定义时的性质（前者一定程度上与“数学化”相联系，而后者与“生活化”联系紧密）不同所致。习题的语境特征水平的前两个层次是叙述性表征，而后两个则是描述性表征。根据表1-31中数据，我们得到了两个版本教材在函数内容上的习题语境特征水平分布情况，由此可得到其比重分布条形图1-8。
表1-31 两国教材习题语境特征水平比较
图1-8 两国教材习题语境特征水平所占比例
从以上数据可以获知，加州版教材“函数”内容中习题的表征以图表类表征方式居多，使用纯数字或短语的次之；而上教版相应课程内容中却以纯数字或短语占据绝大多数的比例（约占总量的三分之二），这个比例比加州版教材同等类型习题高出约28个百分点，而图表表征形式的比重只有13.03%，还不到加州版教材同等形式的三分之一。在另外两种表征类型上，两个版本的比重相当。
以上数据分析说明，加州版教材在对习题表征的过程使用最多的方式是用图表进行描述，而上教版教材在这方面使用最多的是用数字或短语和情节进行叙述性表征。
又如，中美两国教材习题中的表述都涉及问题情境或者图表等，因此从文字特征方面对两国教材概率内容的习题表述进行比较。其中，文字特征包括两种类型：（1）只有数字或者文字表述的习题；（2）有图表或者有故事背景的习题。根据以上习题文字特征的分类，对两国教材的习题进行统计并计算出各个类型习题在总量中的比例，如表1-32所示，其中括号内的数字表示在此维度出现的习题总量。
表1-32 两国教材习题类型比较
由表1-32可得以下结论：
（1）上教版教材在“只有数字或者文字”上的比例为6.2%，加州版为1.0%，上教版比加州版多。
（2）两国都很注重习题的图表表示或者故事背景。上教版教材在“有图表或故事背景”上为93.8%，加州版为99.0%。
（3）在“什么样的故事背景”上，两国教材有较大差别。上教版教材习题的故事背景主要是抛硬币、取木块、抽签等相对简单的背景，而且变化不大，整个概率单元所使用的例子相差无几。加州版教材的故事背景十分丰富，不论是例题还是习题，都给人耳目一新的感觉。包括抛硬币、掷骰子、取木块、做游戏、遗传基因、天气情况等。比如：Fujita先生雇Tasa星期天帮他修剪草坪。当Tasa问Fujita先生给她多少钱时，他给她提供了两个选择：①Fujita先生每次给她10美元。②每次Tasa帮Fujita先生修剪后，她就掷一对骰子。如果两个骰子出现的点数之和是7，那么Fujita先生就给她30美元；如果出现的点数总和不是7，那么Fujita先生只给她3美元。你认为Tasa会选择哪个？用数学理由支持你的答案。
美国教材这样的习题比比皆是，丰富的问题情境是美国教材习题的一个亮点。学生在处理此类问题时，完全进入到题目的人物角色当中，有利于提高学习兴趣。而且，丰富的问题情境有助于培养学生的数学观，学习数学对学生而言会变成有意义的事，而不是学习公式的堆积。著名教育家弗赖登塔尔说：“我认为概率是应用数学的一个典型，不管对应用如何理解，要成为数学，它就必须紧密联系现实并自身充满联系。”
7.习题任务特征水平比较
表1-33 两国教材函数内容的习题任务特征水平比较
从表1-33中可以清楚地发现，加州版教材“函数”部分的内容在任务特征水平分布上以“识记型练习”和“概念性理解”的任务要求为主，至于高水平要求部分所占比例很少；而上教版教材在任务较高水平（“问题解决”和“问题探究”）的比重占了30%左右，这一部分大约是加州版教材同等水平的3倍，而在加州版教材所占比例位居首位的“识记型练习”占所有习题量25%左右。上教版习题“概念性理解”水平所占比例最大——这一比例和“问题探究”所占比例均与加州版教材同等水平大致持平，具体表现如图1-9所示。
图1-9 两国教材习题任务特征水平所占比例
对以上数据的分析说明两个教材版本在“函数”内容中数学问题的任务要求方面既存在共性，又有着各自鲜明的特点。两个版本的内容都在“概念性理解”所占比例相差无几，而且是各自任务特征水平中的重要比例部分，说明两地教材在问题任务的要求上都强调了“概念性理解”水平；而存在差异的地方是加州版教材除了重视“概念性理解”以外，还特别重视“识记型练习”的任务，而上教版此外所重视的却是更高要求的“问题解决”方面的任务特征。对照上文宏观比较习题任务特征水平的结果，这种差异很大程度上折射出对两国课程标准在“函数”内容上目标要求的区别。
具体地，我们发现了两国教材中数学问题情境水平的一些特点。
图1-10 两国教材数学问题特点
由图1-10我们可以清晰地了解到两国教材中数学问题的特点，即：加州版教材中数学问题情境中包含运算的比例不多，尤其是涉及多步运算的比例；在对问题的外部表征方式中广泛运用使问题信息更具体、更具有可解释性和可加工性的图表类型；其问题的数学任务特征水平不高，主要集中考查学生的“识记”和“概念理解”等能力。而相比较而言，对于上教版教材中的问题，在表述过程中复杂度较高的数学表达式的使用频率较高，而且计算步骤普遍较多；其数学问题的表征形式较多地使用纯数字或短语等引发学生进行思考的叙述性表示方法，而包含对图表解读和分析的问题较少；数学问题的任务要求往往比加州版教材要求高，主要集中对学生的“概念性理解”和“问题解决”能力的考查。
9.习题达到要求的比较
习题不仅可以巩固学生对知识的理解，也可以通过解题的过程，了解学生对知识的理解及掌握程度，培养学生的学习习惯及态度。因此，研究习题的答案给出方式显得很有必要，对答案的不同要求可以看出教材编写者的编写理念及风格。
从概率部分习题“达到要求”角度对两国习题进行比较，习题的“达到要求”包括以下的两个方面：（1）只要求给出习题答案。（2）要求对习题的答案做出解释。依据以上分类对两国教材概率习题的情况作出统计并算出百分比，见表1-34所示。其中，括号内的数字为此维度习题的总量。
表1-34 两国教材“概率”习题达到要求的比较
根据上表的比较结果，两国在习题的“达到要求”上存在明显的差异：在“只要求给出答案”上，中国教材习题数量比美国教材多；在“对答案做出解释”上，中国教材习题数量比美国教材少。
对解题过程及所得答案进行解释可谓美国教材习题的一大亮点。“为什么或为什么不？”“解释”“用数学理由来支持你的答案”等这样的提问在美国教材习题中随处可见。比如：在中学自助餐厅工作的厨师最近心情不好。当学生Jonalyn绕餐厅一圈后，她想告诉厨师她想要吃的食物，但厨师只是含糊地说：“自己拿喜欢吃的。”Jonalyn不太喜欢菜单上的东西，她最喜欢的午餐是烤奶酪三明治、胡萝卜以及巧克力条曲奇饼。学校的午餐菜单包括一种三明治、一种蔬菜、一种曲奇饼，每种三明治、蔬菜、曲奇饼的数量都一样。（1）可能的不同午餐有多少种？解释你的答案。（2）能吃到她喜爱的午餐的概率是多少？解释你的理由。（3）至少能拿到一种她喜爱的食物的概率是多少？解释你的理由。
查阅两国教材中的习题，美国教材习题很多都以第二人称的口吻编写，中国教材几乎没有。比如：假如你参加了一个有奖节目，你已经赢得了一辆山地自行车，一台美妙的便携式播放器，一个去夏威夷度假的机会，以及一条能使用一年的压缩牙膏。你可以获得之前比赛的奖品并退出比赛，你也可以将这些奖品当作资金挑战主持人提供的方案。你可以从两个袋子中取出木块，如果取出的两个木块颜色匹配，你将赢得美金。如果两个木块颜色不匹配，你必须归还之前赢得的全部奖品。你愿意接受吗？请解释你的理由。
数学学习应该是一个生动活泼的过程。首先，对习题答案做出解释给予学生一个表现、交流的平台。其次，对答案进行解释是一种良好的反思学习的方式，在对习题答案进行解释的过程中，可以充分暴露解题的思维过程，说得出才是真的理解。在交流的过程中，学生可认清自身对知识的掌握情况，是完全理解还是模棱两可，对还不是很理解的知识点、思想、方法、策略等可以进行强化学习。因此，对答案进行解释可以作为学生学习的一种自我评估。由此体现出美国教材对学习习惯的形成、学习方法以及求真精神培养的编写理念。再次，以第二人称的口吻编写，让学生感觉自己就是题目中的人物，很容易激发学生的解题兴趣。
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