从幼儿园阶段到12年级，美国数学教材内容的安排呈螺旋式递进，也充分体现出《数学标准》中聚焦、一贯性和严谨的三大原则。此处重点探讨初中6～8年级的知识点安排情况。在初中阶段，乘除法在比例和比例式的推理中起到了很大的作用。同时，从算术衍生到代数，四则运算的基本法则起到至关重要的作用。对于定量关系的深入学习，学生在8年级形成了正式的“函数”概念。从粗浅的数据表示方式到统计课程的学习等，这些都体现出螺旋式递进的方式。以下重点讨论三大部分内容的具体体现。
1.比例与比例关系
6年级学生重点学习以下两方面的内容：
（1）关于比例的表示方式、推理以及等值比例的数据收集。主要解决“整数形式”的等值比例问题，例如“每3个柠檬的价格为1美元”，“每5杯葡萄汁混合加入2杯桃子汁”，这些问题需要学生把数据填入表格进行比较。首先，学生使用表格来表示等值比例的时候，使用的方法是重复的加法，这种方法称作为“加法式结构”。例如：“3个柠檬1美元等值于6个柠檬2美元，或者9个柠檬3美元”，柠檬每增加3个，价格增加1美元。这样，用图象的形式来表示则为：一条起始点为原点的射线，水平方向（柠檬的个数）每增加3个单位，垂直方向（总价格）增加1美元。与此同时，学生也需要认识到表格中每列（行）之间都是倍数的关系，这才是等值比例的核心问题。如果没有意识到这个问题，学生可能会犯这样的错误，误以为1∶3和3∶5是等值比例。此时，需要应用到的是“乘法式结构”，也就是对于a∶b=1∶3的形式，a和b同时乘以2仍然为等值比例。
（2）解决问题的方法。尽管从传统的角度来讲，解决比例式问题的最便捷途径为建立方程求解，但是对于6年级的学生并不要求他们能做到这一点。如果学生对于等值比例非常熟悉的话，可以用很多简便、高效的方法。最开始，学生可能会使用整数计数的方法来寻找等值比例，例如“5米每2秒”等值于“10米每4秒”或者“15米每6秒”，是通过距离和时间同乘以2或者3而得到。逐渐地，学生需要理解这其中也可能包括分数、小数形式的存在，比如距离和时间同除以2，得到“2.5米每秒”。更为一般的结论为：如果时间乘以（或除以）N，则距离的数值也需要乘以（或除以）N。当学生逐步适应表格内数值将会出现分数、小数形式的时候，就需要学会用“单位比率”来求解数值。度量衡单位转换也要用到单位比率，例如：“12英寸/英尺”，“1 000克/千克”，都能用于特定单位之间的转换。
7年级学生重点学习比例和比例关系四方面的内容：
（1）辨别等比例关系。如何辨别数量之间是否存在等比例关系是7年级学生学习的重点和难点，例如：2个人需要花5小时把围栏刷漆完毕，问同样的围栏4人需要花多少时间完成工作（假设所有的人工作效率相等）？对于这个问题，我们不能用比例式
来求解，因为从本质上讲，越多人工作，所花的时间必定越少。所以如果人数翻倍的话，时间应该变为原来的一半，即2.5小时。另外，学生需要认识到：图象形式中不通过原点的直线，以及表格形式中数值之间不存在常数比值，这些情况都不代表等比例关系。例如：圆形阳台的面积（S）与直径（D）之间不成等比例关系，只有周长（C）与直径（D）之间成等比例关系。这点可以从表达式C=π·D中看出，常数比值为无理数π。
（2）等比例关系的表达式。当学生需要把成等比例关系的量表示出来的时候，用的表达式是y=c·x，其中c为常数比值，也就是单位比率。可以看出，在表格中当x每增加1个单位，y的增加量等同于单位比率的数值；在图象中，水平方向每增加1个单位，垂直方向的增加量等同于单位比率的数值。例如：学生A每2秒能跑5米，则他跑步的单位速率为2.5米/秒，所以距离d（米）和时间t（秒）之间的关系为：d=2.5·t。
（3）多步问题。学生把已经掌握的知识综合应用于更为复杂的多步问题，可能涉及增长率和减少率的计算等，更需要认真地求解。例如判断以下两个滑板问题的区别：①打折20%后，滑板的售价为140美元，问打折前的价格为多少？②滑板的售价现为140美元，如果价格上浮20%，则价格变为多少？这两个问题中，20%是相对于不同部分价格的20%，因此答案并不相同。
（4）与几何、统计、概率的联系。对于7年级学生将学会如何求解比例作图，即通过已知的长度，求解未知长度。学生可以使用两种方法，一种通过两个图形相应长度的比值等于比例因子的方法求解；另一种通过一个图形内两边长比值等于另一个图形内相应边长比值的方法求解。与此同时，在学习统计概率的时候，学生需要理解随机抽取的样本大致具有全部个体的典型特征，因此，在样本中，具有某种特性的个体数和样本数的比值接近于全体具有此特性的个数和全部个体的比值，也就是随机抽样检查的科学性。
2.表达式和方程
6年级学生重点学习以下三方面的内容：
（1）对于算术的理解扩展到代数表达式。从6年级开始，逐步运用到抽象的代数表达式，这在某些尤其是复杂问题的处理上更能体现出优势。假设一个变量，便能解决更多先前只能用算术方法解决的问题。例如：Daniel去祖母家玩，祖母给了他5.50美元，然后他买了一本书花了9.20美元，最后留下2.30美元，问去祖母家之前Daniel有多少钱？求解方法为假设Daniel原来有的金额为x美元，表达式列为x+5.5-9.2=2.3。如果用算术方法，则需要用往前推导的方式，即2.3+9.2-5.5。相比之下，第一种方法更直接明了，而第二种方法要求学生有一定的逻辑思维能力。为了使得带未知数x的表达式更清晰明了，对于运算符号“×”，将逐步被其简化形式“·”所代替，或者直接省略不写，例如：表示成3x，或者3·x，而不表示成3×x。
（2）单步方程和不等式的推理和求解。在小学阶段，学生学习了如何书写仅含数字的等式，到了6年级，学生开始系统地学习方程和不等式的求解。学生首先学习方程的基本性质，即方程两边同时加、减、乘、除的性质，随后使用这些基本性质求解方程。当学生使用变量求解实际问题时，需要清晰地阐述变量所代表的意义。例如：用11美元可以购买多少张44美分一张的邮票？首先假设变量n为可以买到邮票的张数，明确变量n的值域为大于零的整数，列方程为：0.44n=11。求解方法为两边同时除以非负数0.44，答案为25，符合假设变量的要求。
（3）表示并分析自变量和因变量的关系。分析变量之间关系中很重要的一部分是辨别自变量和因变量，自变量为主动改变而引起因变量发生变化的因素或条件。例如：一共10美元，如果买一本书价钱为p，则找零多少？选择变量C代表找零的金额，表达式为C=10-p。在这个关系式中，主动改变的金额为书的价钱p，因为p才导致改变C的数额，因此p是自变量，而C是因变量。除了方程，学生还必须学会用表格、图象表示变量关系。在图象中，自变量的数值一般在x轴上表示，因变量的数值在y轴上表示。
7年级学生重点学习以下两方面的内容：
（1）使用四则运算规则来化简表达式。基于6年级的内容，学生在7年级将要学会化简更为复杂的表达式，有的还包括有理数系数。例如：化简7.2-［3.1（2-8x）］，3+（-2）［4.5+（-8）x］。学习增长率和减少率的表示方法，例如：增加5%，意味着在原来的基础上“乘以1.05”，也就是说a+0.05a=1.05a。对于单利和复利的学习加深了这一概念的理解。还有一类为给定图形周长和面积的计算题，可以有很多种解法，答案均为相同的表达式。(www.xing528.com)
（2）用算术表达式和代数表达式求解生活问题。学生已经能够灵活应用整数、负数、小数、分数等有理数进行计算。例一：两个骑车爱好者沿着马路相向而行，上午8点钟他们距离63英里，两人相遇时间是上午11点钟，假设一人骑车速度为12.5英里/时，问另一人的骑车速度为多少？这个类型的题目更适用于使用代数方法，假设另一人的骑车速度为s英里/时，两人在3个小时之内骑行了63英里，因此建立方程：3s+3·12.5=63，或者3（s+12.5）=63，求解得s=8.5英里/时。例二：总人数为1 000人的学校将举办一场演唱会，初定票价为p美元，但每增加1美元参加人数减少50人，票价的取值范围为多少才能保证至少600人参加？通过分析条件学生可以建立不等式1 000-50p≥600。在求解不等式的时候必须注意到的一点是，两边同时乘以、除以一个负数，不等式要变号。
8年级学生重点学习以下三方面的内容：
（1）根式和整数指数的运算。学生在8年级开始利用整数指数的运算规则改写表达式，例如如何证明100=1，因为10s100=10s+0=10s，所以100必定等于1。此结论可以拓展到任意数字为底的情况，得到同样的结果。指数为有理数分数的情况则要到高中时才会学到，因此，在初中阶段，学生仅需要知道如何进行整数指数的运算。指数计算应用于很多生活实际问题，例如：一个人每分钟呼入6升左右空气，假设一个人活到75岁，则这个人需要呼入多少升空气？计算过程为：每天有60×24≈1.5×103分钟，所以每天呼入空气大约为6×1.5×103≈104升，75年有365×75≈3×104天，因此75年呼入空气大约为3×104×104≈3×108升。
（2）等比例关系、直线和直线方程之间的联系。8年级的学生开始正式接触函数，把前几年学习到的众多概念串联在一起，从而形成真正的函数概念。函数犹如一个“变量输入-输出机器”，“输入”给定范围内的数值，函数可以计算“输出”得到的结果。寻找两个变量之间的关系，也就是寻找函数表达式。用表格的方式把相应表达式的本质体现出来，例如：在匀速运动中，距离随着时间的增加而增加，时间每增加相同的量，距离的增加量也相同。用图象的方式也能把两个变量之间的关系更直观地体现出来。
（3）分析并求解直线方程和直线方程组。
8年级学生能运用所学知识建立起方程，并求解实际问题。例一：一块肥皂的重量等于
块肥皂的重量再加上
磅，问这块肥皂多重？假设这块肥皂重量为b，建立方程为
。另一类问题为求解方程组，见以下两个例题。例二：亨利和乔斯为了参加足球队而增重，亨利原本体重为205磅，每周增加2磅，乔斯原本体重为195磅，每周增加3磅。问他们何时体重相同？例三：班级演出的门票为学生每人3美元，成人每人10美元，大礼堂能容纳450人。整个演出的门票全部卖出，收入为2 750美元，问有多少学生买了门票？线性方程组的解有三种情况：有且仅有一组、无数组、无解。学生需要能够用图象法、代数法解释其中的区别。
3.统计和概率
6年级学生重点学习以下两方面的内容：
（1）理解统计数据的变化性。学生在之前学过用点图表示数据，6年级新的内容为学习使用直方图，相比点图，直方图更适用于大量数据的表示。其中一个重点内容为数据分布的衡量方式：趋势中心和范围。比较简单的方式是用“中位数”表示该组数据的“中心”。“四分位数”是较低一半和较高一半的中位数，为数据组的分布范围提供了信息。包含中心、四分位数、极值的表示方法为盒须图。盒须图适合比较两组或多组相似数据，直观体现出数据组的特点。学生还需要学会计算数据中心的另一种方式：平均数。由于平均数对于数据的敏感性，极值对其的影响相比中位数会更大。对于不同的情况，学生将要学会决定使用中位数还是平均数来表示数据中心。
（2）总结并描述分布状态。学生需要理解平均数并不能很好的代表较大数据群，中位数往往能更好地表示数据中心，并且“四分位距”也是衡量数据分布范围的有效工具，它衡量了在数据组中位于中间50%的数据，具有一定的代表性。
7年级学生重点学习以下三方面的内容：
（1）机会过程和概率模型。学生开始通过机会事件（例如：硬币、骰子、纸牌、转盘等）收集数据、分析数据，并把理论概率结果与多次试验的结果相联系。如果知道生成机器的构造，例如有一包已知红球、白球个数的袋子，则可以预期一系列随机选择红球或白球的可能性，这是“概率模型”；如果并不知道内部结构，例如有一包未知红球、白球具体个数，仅知道总个数的袋子，则可以通过记录样本选择的结果，推测包中红球、白球的总体情况，这是“统计模型”。另外，有限次独立事件的可能结果通过乘法规则进行求解，例如投掷两次或三次硬币，同时扔两个骰子。学生应该能够使用表格、树形图解决问题，显然扔两个骰子将出现36种等概率事件，适合使用二维表格。对概率有基本的理解后，学生应该能够对实际问题建立模型解答，例如：经过很多年的记录，某河每年暴发春季洪涝的概率为40%，问在未来五年内暴发至少三次洪涝的概率为多少？
（2）随机取样。在较低年级，学生开始使用数据回答简单的统计问题，但是很少关注如何采集数据。7年级一个重点问题为如何选择随机样本。例如：本学校中7年级学生有多少人喜欢踢足球？学生在回答此类问题时，必然会意识到他们没有足够的时间和精力采访所有的7年级学生，所以最好的方法是随机采访若干名7年级学生完成调查。样本可以很好地估计整体情况，但是取样不同可能会造成结果有细微差别。例如：在装有总共50个红球和白球的袋子中，抽取200次并记录球的颜色，取样过程可以为手动，或者用其他技术手段，结果40%为白球，60%为红球。
（3）非正式的比较推断。估算一个群体的平均值或者中位数，最好的方法就是从群体中选择随机样本，用样本的平均值和中位数估算。很多情况下，实际问题的度量中心在本质上是用来比较的，比如两次考试成绩平均分的比较；公司职员中男性与女性的平均工资的比较。学生需要能够对于给定群体的参数进行数据分析，并给出结论。
8年级重点学习以下内容：
寻找二维变量之间的规律。学生对于坐标几何和线性方程已有足够的了解，在这个基础上，学生能够在坐标平面绘制二维变量，并能够用线性方程分析变量之间的关系。对于二维变量，学生能够构造散点图，根据散点图，判断整体趋势为正关系、负关系或者非线性关系，以及用相关系数表示两者关系的强弱。如呈现线性关系，学生从点群的“中心”画出“趋势线”，体现出大体趋势，而个别极端值对于趋势线的影响也需要进行讨论。画出趋势线后，分析该直线的斜率，也就是增长率，并结合题意讨论斜率的现实意义。例如：两次测试分数之间的趋势线具有较强的正关系，趋势线的数值为0.6，在测试1中能够得到高分的学生普遍在测试2中也能得到高分，反之亦然。学生在之前简单概率学习的基础上进一步学习条件概率，以及用概率分布解决问题，其中包括求解期望值等。
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