上海新高考·数学　转化与化归专题攻略

知识结构

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．

命题方向

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学学习内容和解题过程中．

例题精讲

一、抽象与具体的转化

二、特殊与一般的转化

三、等式与不等式的转化

图1

同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB．

从而点D是△ABC的垂心．

所以△ABC的外心与垂心重合，因此△ABC是正三角形，且点D是△ABC的中心．

四、正难则反的转化

例题4 若二次函数f（x）＝4x2－2（p－2）x－2p2－p＋1在区间［－1，1］内至少存在一点C（c，0）使f（c）＞0，则实数p的取值范围是_________．

解：若在区间［－1，1］内不存在点C（c，0）使f（c）＞0成立，

则解得p≤－3或，因此，p的取值范围是－3＜p＜．

五、边角转化

例题5 在△ABC中，H为垂心，＝6，又sin2 A＋sin2 C＝sin2 B＋sinAsinC．

（1）求∠B的大小；

（2）当△ABC外接圆的半径R最小时，判断△ABC的形状．

解：（1）设AH交BC于点D，由正弦定理得

此时△ABC为等边三角形．(www.xing528.com)

图2

六、代数与几何的转化

八、解析几何与函数的转化

由于－6≤x≤6，所以，当时，d取得最小值

跟踪训练

1．定义在R上的函数f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意实数a，b，有f（a＋b）＝f（a）·f（b）．

（1）求证：f（0）＝1；

（2）证明：f（x）是R上的增函数；

（3）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围．

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝0．

（1）求∠B的大小；

（2）若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

6．已知实数x，y，z满足求xy＋yz＋zx的值．

7．如图，点P为斜三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱BB′上的一点，PM⊥BB′，交AA′于点M，PN⊥BB′交CC′于点N．

（1）求证：CC′⊥MN；

（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

（第7题）

8．设椭圆C1的方程为b2x2＋a2y2＝a2b2（a＞b＞0），曲线C2的方程为，且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P．

（1）试用a表示点P的坐标；

（2）设F1，F2是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△PF1F2的面积函数S（a）的值域；

（3）记min｛y1，y2，…，yn｝为y1，y2，…，yn中最小的一个，设g（a）是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形面积，试求函数f（a）＝min｛g（a），S（a）｝的表达式．