知识结构
命题方向
有关空间几何体的计算问题，是历年高考中命题的重点和难点，几乎每年都考，考查题目巧妙、灵活、新颖．近几年高考空间几何体计算除了通常的题型外，还有几何体的组合问题、翻折问题，以生活实际为背景的问题、融入数学文化的问题等渐成为亮点，集中考查空间角、距离、表面积、体积等计算问题，考查空间想象能力与思维能力．
例题精讲
一、棱柱、棱锥
例题1 如图1所示，在正四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，底面边长为2，侧棱CC′与AC′所成的角为30°．
图1
（1）求正四棱柱的侧面积；
（2）求正四棱柱的体积．
解：因为侧棱CC′与AC′所成的角为30°，所以∠CC′A＝30°．
因为AB＝2，所以
二、圆柱、圆锥
三、球
例题5 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
解：设正方体的棱长为a．
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．
图5
图6
图7
四、三视图
例题6 某几何体的三视图如图8所示，则该几何体的表面积为（ ）．
图8
A．180 B．200
C．220 D．240
解：几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为
×（2＋8）×4×2＝40，四个侧面面积的和为（2＋8＋5×2）×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240．
故选D．
五、立体几何中的度量
1．空间角
例题7 如图9所示，圆锥的轴截面为等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点，∠AOQ＝60°，QB＝
图9
（1）求异面直线AQ与SB所成的角的大小；(www.xing528.com)
（2）求AS与平面QSB所成的角的大小；
（3）求二面角B－QS－O的大小．
2．空间距离
例题8 如图10，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长是4，点E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，GC＝2，CC′＝4．
图10
（1）求点B到平面EFG的距离；
（2）求异面直线GF与B′D′的距离；
（3）求平面A′BD与平面CB′D′的距离．
解：（1）建立如图11所示的直角坐标系，则
图11
跟踪训练
1．如图所示，在正四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，底面边长为2，高为4，则截面A′BD的面积为________，四面体C′A′BD的体积为________．
（第1题）
（第2题）
（第3题）
2．已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高夹角为30°，则斜高为________cm，侧面积为________cm2，全面积为________cm2．
3．已知圆柱侧面积展开图是个矩形，这个矩形的对角线长为l，且与底边的夹角为α，则圆柱的全面积为________，体积为________．
4．已知圆锥的轴截面是腰长为3，底边为2的等腰三角形，则圆锥的表面积为_________，圆锥的体积为________．
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面和球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度．
6．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH．图2、图3分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图．
（第6题）
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG．
7．如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝
．
（1）求SA与平面SCD所成的角的大小；
（2）求平面SCD与平面SBA所成的二面角的大小．
（3）求异面直线SB与DC所成的角的大小．
（第7题）
（第8题）
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