上海新高考·数学专题攻略

知识结构

命题方向

向量本身就是一种“数”与“形”的结合．因此，为我们解决代数、三角、几何等问题带来了新的生长点．灵活运用向量解决数学问题不仅会给学生带来一种全新的感觉，也可以从中享受到一种数学的直观美、简洁美、奇异美．同时对激发学生的学习兴趣，培养其创新精神和实践能力都是大有裨益的．因此，高考命题在不断加大对向量的考查力度．

例题精讲

一、三点共线的充要条件的应用

二、平面向量基本定理的应用

图1

解：如图2，过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D，在Rt△ODC中，

图2

三、平面向量的数量积的应用

例题3 如图3，在圆C中，点C是圆心，点A，B在圆上，的值（　）．

图3

A．只与圆C的半径有关

B．只与弦AB的长度有关

C．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关

D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值

四、向量的数量积在数列中的应用(www.xing528.com)

五、在解析几何中的应用

例题5 如图4所示，设点A和B为抛物线y2＝4x上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

图4

由于A，B是原点以外的点，则x≠0．

因此，点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0（x≠0），它表示的是以（2，0）为圆心2为半径的圆，去掉原点．

跟踪训练

1．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若且A，B，C三点共线（该线不过原点），则S2 020等于（　）．

A．1 010 B．1 001 C．2 000 D．2 001

2．已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P1，P2，P3，…，Pn，…，满足其中数列｛an｝，｛bn｝分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若点P1是线段AB的中点．

（1）求a1，b1的值；

（2）点P1，P2，P3，…，Pn，…能否共线？证明你的结论；

（3）证明：对于给定的公差不为零的数列｛an｝，都能找到唯一的一个数列｛bn｝，使得点P1，P2，P3，…，Pn，…都在一个指数函数的图像上．

5．已知椭圆Ω：9x2＋y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O，且不平行于坐标轴，l与Ω有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

（1）若m＝3，点K在椭圆Ω上，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，求的范围．

（2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

（3）若直线l过点，射线OM与Ω交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．