上海新高考·数学专题攻略：a的取值范围及理由

知识结构

命题方向

近几年高考试题中的复数题难度不大，多为基础题，但不排除未来有出中档题的可能，建议考生有所准备．题型有两类：一是计算题，主要考查复数的概念、代数式、复数集内的方程等知识点；二是考查数学思想（转化思想、分类思想、数形结合思想等）方法．

例题精讲

一、复数的概念

所以不存在实数a使z为纯虚数．

二、复数的运算

例题2 设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝（　）．

A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i

解：设z＝x＋yi（x，y∈R），由z·i＋2＝2z，得（x2＋y2）i＋2＝2（x＋yi）＝2x＋2yi，所以

所以z＝1＋i，故选A．

三、复数的几何意义

图1

四、实系数方程

例题4 若方程2x2＋3ax＋a2＋2a＝0至少有一个模为1的根，求实数a的值．

解：若此根为实数，则其只能为1或－1，且Δ＝9a2－4·2（a2＋2a）≥0，

即a2－16a≥0，解得a≥16或a≤0．

若x＝－1，代入原方程得a2－a＋2＝0，而此方程无实根，与a∈R矛盾；(www.xing528.com)

若x＝1，代入原方程得a2＋5a＋2＝0，解得．

当0＜a＜16时，原方程有共轭虚根，则＝1，即a2＋2a－2＝0，

五、与复数相关的不等式

例题5 已知复数z1满足（1＋i）z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R．若｜z1－｜＜｜z1｜，求a的取值范围．

跟踪训练

1．设虚数z满足｜2z＋5｜＝｜z＋10｜．

（1）求虚数z的模；

（2）若为实数，求实数m的值；

（3）若（1－2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z．

2．设z∈C且｜z｜＝1，但z≠±1，判断是否为纯虚数，并说明理由．

3．已知＝1，复数z′满足｜z′＋4－3i｜＝1．

（1）求复数z与z′对应点的轨迹方程；

（2）求｜z′－z｜的最大值．

4．设α，β分别是方程x2＋2x＋a＝0（a∈R）的两个复根．

（1）若｜α－β｜＝4，求实数a的值；

（2）求｜α｜＋｜β｜的值．

5．已知复数z1，z2满足条件：｜z1｜＜2，｜z2｜＜2，是否存在非零实数a，使得z1＋和同时成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．