统计学原理:一元线性回归的预测

（一）回归预测的基本公式

简单回归预测的基本公式如下：

式中，Xf是给定的X的具体数值；是Xf给定时Y的预测值；和是已估计出的样本回归系数。

回归预测是一种有条件的预测，在进行回归预测时，必须先给出Xf的具体数值。当给出的Xf属于样本内的数值时，利用该式去计算称为内插检验或事后预测。而当给出的Xf在样本之外时，利用该式去计算称为外推预测或事前预测。通常所说的预测是指事前预测。

【例6-8】假定已知某居民家庭的年人均可支配收入为8000元，要求利用例6-5中拟合的样本回归方程与有关数据，计算该居民家庭的消费支出。

解：将有关数据代入拟合好的样本回归方程，可得：

（二）预测误差

在实际的回归模型预测中，发生预测误差的原因可以概括为以下四个：

1.模型本身中的误差因素所造成的误差；这一误差可以用总体随机误差项的方差来评价。

2.由于回归系数的估计值同其真值不一致所造成的误差；这一误差可以用回归系数的最小二乘估计量的方差来评价。

3.由于自变量X的设定值同其实际值的偏离所造成的误差。

4.由于未来时期总体回归系数发生变化所造成的误差。

在以上造成预测误差的原因中，3、4两项不属于回归方程本身的问题，而且也难以事先予以估计和控制。因此，在后面的讨论中，假定只存在1、2两种误差。

思考与练习

1.解释相关关系的含义，说明相关关系的特点。(www.xing528.com)

2.简述相关与回归之间的关系。

3.简述总体回归模型、总体回归函数与样本回归模型、样本回归函数四者之间的区别与联系。

4.一元线性回归模型中有哪些基本假定？

5.简述回归分析的步骤。

6.简述回归系数显著性检验（t检验和p检验）的基本原理和步骤。

7.下面是20个城市写字楼出租率和每平方米月租金的数据：

表6-6　20个城市写字楼出租率和每平方米月租金

（1）绘制出租率与每平方米月租金的散点图，判断二者之间的关系形态。

（2）计算出租率与每平方米月租金之间的相关系数。

（3）对相关系数的显著性进行检验（α=0.05）。

（4）设出租率为因变量，每平方米月租金为自变量，求出估计的回归方程，并解释回归系数的意义。

（5）计算总体方差和估计标准误。

（6）计算所拟合的样本回归方程的决定系数。

（7）检验回归系数的显著性（a=0.05）。

（8）若每平方米月租金为110元，估计出租率。