单个总体均值的检验-《统计学原理》

（一）总体为正态分布，总体方差已知

来自总体的样本为（X1，X2，…，Xn）。对于假设：H0：m=m0，在H0成立的前提下，有检验统计量

【例5-2】某机床厂加工一种零件，根据经验知道，该厂加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为m0=0.081mm，总体标准差为s=0.025。今换一种新机床进行加工，抽取n=200个零件进行检验，得到的椭圆度为0.076mm。试问新机床加工零件的椭圆度的均值与以前有无显著差异？（a=0.05）

解：

·H0：μ=0.081

·H1：μ≠0.081

·a=0.05

·n=200

·临界值（s）：

检验统计量：

决策：在a=0.05的水平上拒绝H0。

结论：有证据表明新机床加工的零件的椭圆度与以前有显著差异。

（二）总体分布未知，大样本

来自总体的样本为（X1，X2，…，Xn）。对于假设：H0：m=m0，在H0成立的前提下，如果样本足够大（n≥30），近似地有检验统计量：

【例5-3】某电子元件批量生产的质量标准为平均使用寿命为1200 h。某厂宣称他们采用一种新工艺生产的元件质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取了100件作为样本，测得平均使用寿命为1245 h，标准差为300 h。能否说该厂生产的电子元件质量显著地高于规定标准？（a=0.05）

解：

·H0：μ≤1200

·H1：μ＞1200

·a=0.05

·n=100

·临界值（s）：

检验统计量：

决策：在a=0.05的水平上拒绝H0。

结论：不能认为该厂生产的元件寿命显著地高于1200 h。

（三）总体为正态分布，总体方差未知，小样本

来自总体的样本为（X1，X2，…，Xn）。对于假设：H0：m=m0，在H0成立的前提下，有检验统计量

【例5-4】某机器制造出的肥皂厚度为5 cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂为样本，测得平均厚度为5.3 cm，标准差为0.3 cm，试以0.05的显著性水平检验机器性能良好的假设。(www.xing528.com)

解：

·H0：μ=5

·H1：μ≠5

·a＝0.05

·df=10-1=9

·临界值（s）：

检验统计量：

决策：在a=0.05的水平上拒绝H0。

结论：说明该机器的性能不好。

【例5-5】一个汽车轮胎制造商声称，某一等级的轮胎的平均寿命在一定的汽车质量和正常行驶条件下大于40000 km，对一个由20个轮胎组成的随机样本做了试验，测得平均值为41000 km，标准差为5000 km。已知轮胎寿命（千米）数服从正态分布，我们能否根据这些数据做出结论，该制造商的产品同他所说的标准相符？（a=0.05）

解：

·H0：μ=5

·H1：μ≠5

·α=0.05

·df=10-1=9

·临界值（s）：

检验统计量：

决策：在α＝0.05的水平上拒绝H0。

结论：不能认为制造商的产品同他所说的标准不相符。

【例5-6】某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产品的质量服从正态分布，每包标准质量为1000 g，某日随机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标准差是24 g。试问在a=0.05的显著性水平上，能否认为这天自动包装机工作正常？

解：

第一步：确定原假设与备择假设。

H0：m=1000；H1：m1≠1000

第二步：构造出检验统计量，计算检验统计量的观测值。由于总体标准差未知，用样本标准差代替，相应检验统计量是t-统计量。

第三步：确定显著性水平，确定拒绝域。a=0.05，查t-分布表（自由度n-1=8），得临界值是t0.025（8）=2.306，拒绝域是|t|≥2.306。

第四步：判断。由于|t|＜2.306，检验统计量的样本观测值落入接受域，所以不能拒绝。样本数据没有充分说明这天的自动包装机工作不正常。