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符合条件的最简真分数有哪些

时间:2023-08-15 理论教育 版权反馈
【摘要】:活动2最简真分数分子与分母的乘积是66,符合条件的最简真分数有哪些?容斥原理解答分母是385的真分数有384个。

符合条件的最简真分数有哪些

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拓展目标

1.提升两种数学素养:数感,数据分析观念。

2.学习两种思维方法:列举排除法,逐步调整法。

3.训练三种基本技能:能灵活运用分数的基本性质解题,运用容斥原理求最简真分数个数,掌握已知两分数分子与它们的和求分母的方法。

4.体验一种数学情感:有序思考、灵活运用的快乐。

活动1 基本性质

分析 当分数的分子5加上15后增加了3倍,要使分数的大小不变,分母也应该增加3倍。

解答 15÷5×16=48

答:分母应加上48。

想一想:要使分数的大小不变,分母也加上15,这样做行吗?

分数的基本性质 分数的分子和分母都乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。

活动2 最简真分数

分子与分母的乘积是66,符合条件的最简真分数有哪些?把它们一一写出来。

最简分数 分子与分母互质的分数,叫作最简分数。

分析 所求的分数应满足三个条件:

(1)分子与分母的乘积是66;

(2)分子要比分母小;

(3)分子与分母是互质数

真分数 分子比分母小的分数,叫作真分数。

分解质因数法 把66分解质因数,再从它的质因数中选出分子和分母即可。

解答 66=2×3×11

满足条件的分数有:

活动3 分数个数

分母是385的真分数有________个,最简真分数有________个。

分析 (1)根据定义,分子为1~384的这384个自然数都是真分数。

(2)当分子是5,7,11的倍数时都不是最简分数,可以先分别求出1~384中5,7,11的倍数的个数,再减去其中重复的个数即可。

容斥原理

解答 (1)分母是385的真分数有384个。

(2)因为385=5×7×11,

所以384个分子中,

5的倍数有7×11-1=76(个)

7的倍数有5×11-1=54(个)

11的倍数有7×5-1=34(个)

35的倍数有11-1=10(个)(www.xing528.com)

77的倍数有5-1=4(个)

55的倍数有7-1=6(个)

所以1~384中能被5,7,11整除的数共有:

76+54+34-10-4-6=144(个)

最简真分数有384-144=240(个)

活动4 巧定分母

第3步:假设。分母相等时,5×n=b×m,分子应满足4×n> 43×m;

第4步:推理。如果b是5的倍数,那么它们的公分母就是b本身,所以m最小为1;如果b不是5的倍数,那么m必须含有因数5,所以m最小是5。

解答 根据以上分析:

答:a=55,b=55或a=270,b=54时等式成立。

分数性质歌

分子分母同乘除,分数大小值不变;

母大子小真分数,母子互质才最简;

最简真分有多少,分母分解质因数,

挑选搭配来列举,容斥原理定个数。

思维小训练

4.分子与分母的乘积是130,且是最简真分数的分数有哪些?把它们一一写出来。

6.分母是195的真分数有多少个?最简真分数有多少个?

7.分母是105的最简真分数有多少个?

思维小达人

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