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拓展目标
1.提升两种数学素养:数感,数据分析观念。
2.学习两种思维方法:列举排除法,逐步调整法。
3.训练三种基本技能:能灵活运用分数的基本性质解题,运用容斥原理求最简真分数个数,掌握已知两分数分子与它们的和求分母的方法。
4.体验一种数学情感:有序思考、灵活运用的快乐。
活动1 基本性质
分析 当分数的分子5加上15后增加了3倍,要使分数的大小不变,分母也应该增加3倍。
解答 15÷5×16=48
答:分母应加上48。
想一想:要使分数的大小不变,分母也加上15,这样做行吗?
分数的基本性质 分数的分子和分母都乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
活动2 最简真分数
分子与分母的乘积是66,符合条件的最简真分数有哪些?把它们一一写出来。
最简分数 分子与分母互质的分数,叫作最简分数。
分析 所求的分数应满足三个条件:
(1)分子与分母的乘积是66;
(2)分子要比分母小;
(3)分子与分母是互质数。
真分数 分子比分母小的分数,叫作真分数。
分解质因数法 把66分解质因数,再从它的质因数中选出分子和分母即可。
解答 66=2×3×11
满足条件的分数有:
活动3 分数个数
分母是385的真分数有________个,最简真分数有________个。
分析 (1)根据定义,分子为1~384的这384个自然数都是真分数。
(2)当分子是5,7,11的倍数时都不是最简分数,可以先分别求出1~384中5,7,11的倍数的个数,再减去其中重复的个数即可。
容斥原理
解答 (1)分母是385的真分数有384个。
(2)因为385=5×7×11,
所以384个分子中,
5的倍数有7×11-1=76(个)
7的倍数有5×11-1=54(个)
11的倍数有7×5-1=34(个)
35的倍数有11-1=10(个)(www.xing528.com)
77的倍数有5-1=4(个)
55的倍数有7-1=6(个)
所以1~384中能被5,7,11整除的数共有:
76+54+34-10-4-6=144(个)
最简真分数有384-144=240(个)
活动4 巧定分母
第3步:假设。分母相等时,5×n=b×m,分子应满足4×n> 43×m;
第4步:推理。如果b是5的倍数,那么它们的公分母就是b本身,所以m最小为1;如果b不是5的倍数,那么m必须含有因数5,所以m最小是5。
解答 根据以上分析:
答:a=55,b=55或a=270,b=54时等式成立。
分数性质歌
分子分母同乘除,分数大小值不变;
母大子小真分数,母子互质才最简;
最简真分有多少,分母分解质因数,
挑选搭配来列举,容斥原理定个数。
思维小训练
4.分子与分母的乘积是130,且是最简真分数的分数有哪些?把它们一一写出来。
6.分母是195的真分数有多少个?最简真分数有多少个?
7.分母是105的最简真分数有多少个?
思维小达人
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