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拓展目标
1.提升两种数学素养：几何直观，模型思想。
2.学习三类思维方法：割补法，平移法，特殊点法。
3.掌握四项基本技能：能运用辅助线使不规则图形转化成规则图形，认识一半模型，创造性地使用等积变形、图形对称性等原理同，理解图形面积的倍数关系。
4.体验一种数学情感：几何证明中逻辑推理的严谨与完美。
活动1 对半均分
如图23-1所示，长方形ABCD中，AB为6cm，BC为7cm，E，F分别是BC和CD边上的中点，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
图23-1
阴影部分是一个不规则的四边形。
解答 解法一：如图23-2，连接对角线。
把不规则的阴影部分分成两个三角形：三角形AEC，三角形ACF。
所以S阴影部分=S△AEC+S△ACF
作辅助线法
图23-2
对半均分 因为E，F分别是BC和CD边上的中点，
解法二：S阴影部分=S长方形ABCD-（S△ABE+S△AFD）
=7×6-7×6÷2÷2-6×7÷2÷2
=42-10.5-10.5
=21(cm2）
答：阴影部分的面积是21 cm2。
活动2 一半模型
如图23-3所示，长方形ABCD的长和宽分别是11cm，6cm，其中EF∥AD，阴影部分小三角形的底都在AD，BC上，顶点在EF上。求阴影部分的面积。
图23-3
分析 图23-4以图23-3的下半部分EBCF为例，将四个三角形进行变形，则阴影部分的四个三角形的面积之和等于长方形EBCF面积的一半；同理，上半部分五个三角形的面积之和也等于长方形AEFD面积的一半。
底不动，顶点平移法
图23-4
解答 S长方形ABCD=11×6=66（cm2）
答：阴影部分的面积为33 cm2。
想一想：图23-5中阴影部分占整个图形面积的一半吗？
（其中⑤是梯形，⑤⑥⑦三个图形的边上的点都为中点）
图23-5
阴影部分占整个图形面积一半的有_________。（填序号）
解答 ①～⑦阴影面积全都占整个图形面积的一半。
一半模型 一般在平行四边形中，任取一点与四个顶点连线，所构成的三角形占平行四边形面积的一半。（在梯形中也常见）
活动3 等分长宽
图23-6
如图23-6所示，正方形ABCD的边长为48cm，P是AD边上的任意一点，E，F，G是BC边上的四等分点，H，I，J，K分别是AB，CD边上的三等分点，求阴影部分的面积。
解答 解法一：如图23-7（1）所示，连接PC，则
S△EFP=(48÷4）×48÷2=288(cm2）
同理，S△PGC=288（cm2），
S△PCH与S△PJK的和为
(48÷3）×48÷2=384(cm2）
作辅助线法 连接PC， 把四边形PGCH分成两个三角形，三角形PCH与三角形PJK的底相等，都是边长的三分之一，两者的高之和正好等于正方形的边长。
S阴影部分=288×2+384
=960(cm2）
图23-7
解法二：如图23-7（2）所示，把P点移到点D，
得S△EFP=S△GCP，
S阴影部分=S△JKP+S△EFP+S△GCP
=(48÷3）×48÷2+
(48÷4）×48÷2×2
=384+288×2=960(cm2）
答：阴影部分的面积为960 cm2。
特殊点法 既然P点为AD边上的任意一点，那么可以假设P点与D点重合，此时阴影部分如图23-7所示。(www.xing528.com)
活动4 均分几份
如图23-8所示，已知E，F分别是AB，AD的中点，阴影部分的面积是33，长方形ABCD的面积是_________。
分析（1）因为E，F分别是AB，AD的中点，添辅助线均分。
（2）想一想，每个白色三角形占总面积的几分之几。
（3）想一想，阴影部分占总面积的几分之几。
图23-8
解答 如图23-9所示，画辅助线。
图23-9
一半模型歌（一）
一半模型有很多，四边形中最常见；
等积变形来推导，同底等高面积同；
中点现身想一半，画线辅助很清晰。
思维小训练
1.如图23-10所示，E是平行四边形ABCD中AD上的一点，连接BE，CE构成三角形BCE，F是EC的中点，已知图中阴影部分的面积为13 dm2，求平行四边形ABCD的面积。
图23-10
2.如图23-11所示，三角形ABC的面积是16dm2，D，E，F分别是BC，AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。
图23-11
3.如图23-12所示，长方形ABCD中，AB为6cm，BC为7cm，E是BC的中点，DF=2CF，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
图23-12
4.如图23-13所示，三角形ABC的面积为48dm2，D，E分别是AB，BC的中点，阴影部分的面积是多少平方分米？
图23-13
5.如图23-14所示，平行四边形ABCD的面积为64dm2，M，N分别是BC，CD的中点，求三角形AMN的面积。
图23-14
6.如图23-15所示，长方形ABCD的顶点B与其两对边中点E，F相连所构成的三角形BEF面积为15cm2，求长方形ABCD的面积。
图23-15
7.如图23-16所示，正方形ABCD的边长为8cm，两条对角线相交于P点，AE=BF=CG=DH=2.5cm，求阴影部分的面积。
图23-16
8.如图23-17所示，三角形ABC的面积为180cm2，且三角形BDE、三角形DEC和三角形ABE的面积相等，求三角形ADE的面积。
图23-17
思维小达人
如图23-18所示，边长为12 cm的正方形中有一块阴影部分，这块阴影部分的面积是__________cm2。
图23-18
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