28和36的最小公倍数以及总路程内公倍数的应用

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拓展目标

1.提升两种数学素养：推理能力，应用意识。

2.学习三类思维方法：分组讨论法，假设法，推理法。

3.掌握三项基本技能：能分辨实际问题是与公因数相关还是与公倍数相关，能利用求最大公因数的方法解决裁纸问题，能利用求最小公倍数的方法解决相关问题。

4.体验一种数学情感：数学思想方法的在生活中的实用性。

活动1　巧裁方形

一张白纸长1.32 m，宽1.08 m。裁成同样大小的正方形纸片，裁完后正好没有剩余，并使它们的面积尽可能地大。能裁成最大的正方形纸片的边长是多少？可裁成多少片？

解答　1.32 m=132 cm

1.08 m=108 cm

因为（132，108）=12，

所以正方形纸片的边长是12 cm。

（132÷12）×（108÷12）=99（片）

答：能裁成最大的正方形纸片的边长是12 cm，可裁成99片。

最大公因数的实用性

要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸片，且面积最大，不能有剩余，那么正方形纸片的边长应是长方形的长和宽的最大公因数。

活动2　少移电杆

从甲地到乙地公路的一侧安装电线杆，原来每隔28 m要安装一根，加上两端的2根共有82根，现在改为每隔36 m安装一根，除两端的2根不需要移动外，中间还有多少根不需要移动？

最小公倍数的实用性　从甲地出发，既是28 m的倍数又是36 m的倍数的地方，若原来装有电线杆，则原有电线杆不需要移动。问题实际上是求出28和36的最小公倍数，再求总路程里有几个这样的公倍数。

解答　解法一：[28，36]=252

(82-1）×28=2268(m）

2268÷252=9（段）

9-1=8（根）

解法二：[28，36]=252

252÷28=9（根）

（82-1）÷9-1=8（根）

答：中间不需移动的有8根。

分组法　去掉甲地第一根电线杆，原来电线杆中每9根一组，即第9根电线杆不需移动。81里面有9个9，再去掉最后1根。

活动3　均分糖果

幼儿园老师给A，B，C三个班的小朋友们分水果糖，如果只分给A 班，则每个小朋友可分到20颗；如果只分给B 班，则每个小朋友可分到15颗；如果只分给C 班，则每个小朋友可分到12颗。如果平均分给这三个班的小朋友，每个小朋友可分到________颗。

解答　[20，15，12]=60，水果糖总颗数至少是60颗，可设水果糖的总数为60k颗（60是公倍数，k为自然数），

最小公倍数分析法　水果糖总颗数=20×A班人数=15×B班人数=12×C班人数，由此可知，水果糖总颗数应是20，15，12的公倍数，求出最小公倍数60。

那么三个班的总人数：(www.xing528.com)

60k÷20+60k÷15+60k÷12=12k（人）

每个小朋友可分到：

60k÷12k=5（颗）

活动4 小心陷阱

黑、白两只小兔进行跳跃游戏。小白兔每次跳50 cm，小黑兔每次跳75 cm。它们每跳1次的时间相同，且同时从起点开始。在游戏中，每隔120 cm有一陷阱。请问：

（1）其中哪只小兔先掉进陷阱？

（2）此时另一只距离最近的陷阱多少厘米？

解答　（1）小白兔第一次掉进陷阱所跳的次数：

[50，120]=600，600÷50=12（次）

小黑兔第一次掉进陷阱时跳的次数：

[75，120]=600，600÷75=8（次）因为8次＜12次，所以小黑兔先掉进陷阱。

答：小黑免先掉进陷阱。

（2）此时小白兔离起点的距离为50×8=400（cm）

而400÷120=3（个）……40（cm），且40 cm＜60 cm（120÷2），所以此时小白兔距离最近的陷阱40 cm。

答：此时小白兔距离最近的陷阱40 cm。

最小公倍数分析法　先计算出两只小兔第一次掉进陷阱时离起点的距离，即求出50与120，75与120的最小公倍数。然后再计算它们分别跳的次数，比较跳的次数就可知道哪只小兔先掉进陷阱，再去计算此时另一只离起点的距离，从而计算出与最近陷阱的距离。

倍数应用歌

巧裁图形公因数，少移电杆公倍数；

均分糖果设总量，陷阱类题找公倍。

因数倍数很实用，处处留心皆学问。

思维小训练

1.有一批砖，长25 cm，宽15 cm，至少用多少块这样的砖才能铺成一块正方形？（砖不能切割）

2.用长8 cm，宽4 cm，高5 cm的长方体木块叠成一个大的正方体，至少需要多少块这样的长方体木块？（木块不能切割）

3.有3根钢管，分别长240 cm，180 cm，200 cm，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？

4.把21个梨和24个苹果平均分给若干名小朋友，分完后梨剩下3个，而苹果还少3个，最多有多少名小朋友？

5.公共汽车总站有3条线路，第一条每6分钟发一辆车，第二条每 9分钟发一辆车，第三条每15分钟发一辆车。每天早晨6：00，三条线路同时发车，发出的最后一班车是22：00，该总站一天中三条线路同时发车有多少次？ 最后一次三条线路同时发车是什么时刻？

6.父子俩在一条长27 m的雪路上散步，父亲在前，每步60 cm，儿子在后，每步45 cm。两人从路的一端走到另一端至少留下多少个脚印？（重合的脚印算作1个）

7.120名小朋友围成一圈，从某个小朋友开始从1到25报数。如果报数一轮一轮地循环下去，那么将有多少名小朋友报过数 字11？

8.甲、乙两只袋鼠玩跳跃游戏，甲袋鼠每次跳20 dm，乙袋鼠每次跳12 dm，它们每次跳跃的时间相同，且一起从起点开始。途中每隔18 dm有一陷阱。其中哪只袋鼠先掉进陷阱？此时另一只距离最近的陷阱有多少分米？

思维小达人

大雪后，聪聪和姐姐一起步测一个圆形花坛的周长，他们的起点、走路的路线、位置和方向完全相同，鞋子的尺码也相同。聪聪每步长约45 cm，姐姐每步长约54 cm。测量完毕后，雪地上留下了60个脚印。这个花坛的周长是_________m。（重合的脚印算作1个）