质数与合数-小学数学思维拓展，5年级升级版视频讲解版

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拓展目标

1.提升两种数学素养：数感，推理能力。

2.学习三类思维方法：一一试除法，逐步调整法，分类讨论法。

3.掌握三项基本技能：会用歌诀法、试除法判断质数和合数，会用特殊质数快速分拆，会用方程推理解决相关问题。

4.体验一种数学情感：用“质数合数歌”记忆100以内质数的便捷性。

活动1　一一试除法

判断277，589这两个数是质数还是合数。

一一试除法　先判断某数在哪两个连续质数的平方之间，然后用质数按照由小到大的顺序（2，3，5，7……）一一试除，若这个数不能被整除，则一定是质数；若这个数能被整除，则是合数。

解答　（1）因为172=289，277＜289，17以内的质数有2，3，5，7，11，13，用这六个质数一一试除277，都不能整除277，所以 277是质数。

（2）因为232＜589＜292，29以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，用这些质数一一试除589，其中19能整除589，所以589是合数。

答：277是质数，589是合数。

100以内的数可查质数表，100以上的数判断多用一一试除法。

活动2　巧用偶质数

两个质数的和是61，这两个质数的乘积是多少？

解答　2×（61-2）=118

答：这两个质数的乘积是118。

唯一偶质数　因为奇数+偶数=奇数。和是61，所以其中必有一偶数，2是质数中唯一的偶数，确定其中一个是2。

活动3　分拆质数和

将88分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能地大，那么这个最大的质数是多少？

逐步调整法　所分拆的10个质数中最大的质数要尽可能地大，那么其余的9个质数应尽可能地小。最小的质数是2。

解答　假设其中9个质数为2，2×9=18，

88-18=70（70不是质数，不合题意，排除）

70-3=67（67是质数，符合题意）

其余8个质数都是2，另一个调整为5。

88=2×8+5+67

答：这个最大的质数是67。

活动4　巧求质数

三个质数的乘积恰好等于它们的和的5倍，求这三个质数。

三个质数的乘积正好是它们和的5倍，说明其中一个质数必定是5。

解答　设这三个数分别为a，b，c。假设a=5，

由题意可得5×b×c=5×（5+b+c），

化简为b×c=5+b+c，b×c-（b+c）=5，

将此式左右同时加1，

变形为（b-1）×（c-1）=6，而6=2×3=1×6，假设b＜c，

（1）当6=2×3时，（b-1）=2，（c-1）=3，

所以b=3，c=4（合数），不合题意，排除。(www.xing528.com)

（2）当6=1×6时，（b-1）=1，（c-1）=6，所以b=2，c=7，符合题意。

答：这三个质数分别是2，5，7。

分类讨论，逐步调整

质数合数歌

（1）100以内的质数

二三五七一十一，十三十九和十七，

二三二九三十一，三七四三四十一，

四七五三五十九，六一六七手牵手，

七一七三七十九，还有八三八十九，

二十五个还缺一，原来还差九十七。

（2）解题小方法

大数判断试除法，先定质数平方间，

一一试除去判断，都不整除是质数。

1是非质非合数，2是最小的质数，

也是唯一偶质数，牢记心中有帮助。

思维小训练

1.填空题。

（1）最小的质数是________，最小的合数是________，它们的积是质数________和________之和。

（2）两个质数之和为20，这两个质数为________和________时，它们的积最大。

（3）两个质数积的因数个数最多只有________个。

（4）在小于20的质数中，________加上2和减去2都还是质数。

2.判断题。（对的在括号里打“√”，错的打“×”）

（1）一个自然数，如果不是质数，就一定是合数。（　）

（2）两个质数的乘积一定是合数。（　）

（3）因为18和19没有公因数，所以，18和19是互质数。（　）

3.判断127，197是质数还是合数。

4.两个质数的和是99，这两个质数的差是多少？

5.在10个连续的自然数中，最多有多少个质数？

6.三个互不相同的质数，它们的和为42，这三个质数的积最大是多少？

7.两位数中最大的质数是97，现在把它乘以另一个自然数，这个自然数是多少才能符合以下条件？

（1）要使积还是质数；

（2）要使积为合数；

（3）要使积能被7整除。

8.一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和是100，这两个质数分别是多少？

思维小达人

五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是________。