数学趣味知识：古代三大不可能的作图问题解析

数学的美不在于它的答案,而在于它的方法。存在着这样的问题,它的解答就是最终被判定为不可解。

不知什么缘故,“不可解”似乎像是一个令人失望的答案,然而用以抵达这一结论的思维过程却是极具魅力的,而且在这一进程中还能激发出新的思路。古代著名的三大作图问题便是一个例子。三大作图问题是:

三等分角问题——把一个给定的角分为三个相等的角。

倍立方问题——作一个立方体使其具有给定立方体两倍的体积。

化圆为方问题——作一个正方形使其具有给定圆的面积。

这些问题在两千多年的时间里,一直激励着数学的思维和发现,直至19世纪,这三个作图问题才被最终证实为不可能只用圆规和直尺作出。

上述结论可以这样推知:一根直尺可用于作直线,其方程为线性的(一次方程),例如y＝3x－4等等。

另一方面,一只圆规能作出圆和弧,其方程为一次的,例如x2＋y2＝25等等。而这些方程的联立不会产生高于二次的方程。然而从代数上看,解上述三个作图问题所获得的方程并非是一次或二次的,而是三次或者是带有超越数的,而这样方程的解或数只用圆规和直尺是无法得到的。(www.xing528.com)

三等分角问题:

像135°或90°这样的特殊角只用圆规和直尺是能够三等分的。但对于任意给定的角,只用圆规和直尺要三等分则不可能,因为用来解这个问题的方程显示为三次的形式:

a3－3a－2b＝0。

倍立方问题:

在试图将一个立方体体积加倍的努力中,曾有人尝试将其长度加倍,然而这样实际上作出了一个八倍于原立方体体积的立方体。

由于π是一个超越数,它不可能通过有限步骤的有理运算和求方根的办法表示出来,从而只用圆规和直尺也不可能将一个圆化为等积的正方形。虽然我们看到以上三个作图问题只用圆规和直尺是不可能作出的,然而人们却创造了不少解决它们的精巧方法和设计。后者对于激发数学思想的发展,同样起着重要的作用。尼科梅德斯蚌线、阿基米德螺线、希庇亚斯割圆曲线、圆锥曲线、三次曲线、四次曲线以及一些超越曲线,都发端于这古代三大作图问题的某些思考。