等边三角形平面镶嵌实例|三维空间镶嵌研究与应用

简单地讲,平面镶嵌就是用同样形状的平板砖,无缝隙而又不重叠地铺满整个平面。给定平板砖的形状,在实际铺设之前我们能够通过数学的方法预先确定它们是否能够形成镶嵌。演算前要先知道一个数学事实,即圆周角为360°。

让我们研究一下用正五边形来覆盖地板,这只要用一些器具和几何知识就可以了。一个正五边形有五条相等的边和五个相等的角。为了计算正五边形角的大小,我们把正五边形分为五个全等三角形。由于对任意的三角形而言,其内角和为180°。由此我们可以确定正五边形的一个内角为108°。这样一来,当我们试图将同样的正五边形边对边放在一起时,我们发现其间必有缝隙,因为正五边形只能铺出108°＋108°＋108°＝324°,而无法铺满一圈或360°的周角。

现在让我们尝试用等边三角形来镶嵌地板。一个等边三角形的内角为60°。我们看到六个相等的等边三角形摆在一起,是能够铺满一圈的。那么用正方形、正六边形、正八边形、或者它们的结合体来镶嵌又怎么样呢?下面我们给出一些平面镶嵌的实例。(www.xing528.com)

类似地,空间也能进行镶嵌,只是平板砖要用三维立体来替代。下图是切掉角的正八面体。它们是仅有的能够填满空间的阿基米德多面体。享有盛誉的荷兰艺术家埃舍尔(M.C.Escher)在他的作品中运用了许多数学概念,诸如莫比乌斯带、短程线、投影几何、视幻觉、三叶形、镶嵌等等。在他著名的作品中有不少采用他自己创造的动人的镶嵌,例如,《变态》、《马术师》、《小而又小》、《正方形的界限》、《圆的界限》等等。除艺术外,他对空间镶嵌的研究和应用,对建筑的内部装饰以及商品包装等领域也怀有特殊的兴趣。