黄金矩形：数学趣味知识中的美丽与应用

黄金矩形是一种非常美丽和令人兴奋的数学对象,其拓展远远超出了数学的范围,可见于艺术、建筑、自然界,甚至于广告。它的普及性并非偶然,心理学测试表明,在矩形中黄金矩形最为令人赏心悦目。

公元前5世纪的古希腊建筑师已经晓得这种协调性的影响。巴特农神殿就是应用黄金矩形的一个早期建筑的例子。那时的古希腊人已经具有黄金均值及如何作它的知识,还知道如何近似于它以及如何用它来构造黄金矩形。黄金均值φ(phi)的读音,与古希腊著名雕塑家菲狄亚斯(Phidias)名字的头三个字母相同想来并非只是巧合。相信菲狄亚斯在他的作品中用了黄金均值和黄金矩形。既然毕达哥拉斯所处的那个社会能够选择五角星作为等级的一种记号,那么用φ表示黄金均值也就很难说与菲狄亚斯没有一点关系。除了影响建筑之外,黄金矩形还出现在艺术中。在公元1509年L.帕西欧里的《神奇的比例》一书中,达·芬奇为人体结构中的黄金均值作了图解。黄金均值用在艺术上是以生动的对称技巧为标志。A.丢勒、G.西雷特、P.曼诸利安、达·芬奇、S.达利、G.贝娄等人,都在他们的一些作品中用黄金矩形去创造富有生气的对称。

从几何意义上讲,在给定线段AC上黄金均值可以这样构成,在AC上取一点B,使得则|AB|为黄金均值,也以黄金分割、黄金比以及黄金比例等著称。

一条线段一旦分割出黄金均值,那么黄金矩形也就很容易通过以下步骤作出:

1)给定任一线段AC,用B点将线段AC分割出一个黄金均值段,作正方形ABED。

2)作CF⊥AC。

3)延长射线DE,使得线DE与CF交于F点。

则ADN是一个黄金矩形。

黄金矩形也可以不用已有的黄金均值段作出:

1)作任意正方形ABCD。(www.xing528.com)

2)用线段MN将正方形平分为两半。

3)用圆规,以N为中心,以|CN|为半径作弧。

4)延长射线AB直至与以上的弧相交于E点。

5)延长射线DC。

6)作线段EF⊥AE,并令射线DC与EF交于F点。

则ADFE为一黄金矩形。

除了出现在艺术、建筑和自然界外,今天黄金矩形还在广告和商业等方面派上用场。许多包装采用黄金矩形的形状,能够更加迎合公众的审美观点。例如标准的信用卡就近似于一个黄金矩形。

黄金矩形还跟许多其他的数学观念相联系。诸如无穷数列、代数、圆内接正十边形、柏拉图体、等角螺线、极限、黄金三角形和五角星形等等。