尼科梅德斯蚌线：数学趣味知识中的解决办法

在探索某些数学问题的解答时常常会引发新的概念和发现。古代著名的三大作图问题——三等分角问题(即把给定角分为相等的三部分),倍立方问题(即作一个立方体使它的体积两倍于给定立方体的体积)及化圆为方问题(即作一个正方形使它的面积等于给定圆的面积)——刺激了数学的思考,结果许多想法在解决这些问题的努力中被发现。虽然最终表明这古代三大作图问题不可能只用圆规和直尺作出,但却找到了解决它们的其他办法,蚌线就是其中之一。蚌线是一种历史悠久的曲线,它是由尼科梅德斯(约公元前200年)首先发现并用于倍立方问题和三等分角问题的。

构造一条蚌线要从一条直线L和一点P开始。过P画射线与L相交。在每条这样的射线上,以L为界向外截出一段固定的长度a并取点。那么这些点轨迹便形成蚌线。

蚌线的弯曲程度依赖于a与b之间的关系。即a＝b,a＜b或a＞b。蚌线的极坐标方程是:

r＝a＋b·secθ。

三等分已知角∠P可采取如下办法:取∠P为直角三角形△QPR的一个锐角。以P为极点,QR为固定线L画一条蚌线,使得它由L向外截出的固定长度等于斜边长|PR|的两倍2h。在R点作RS⊥QR并交蚌线于S点。现∠QPT即为∠QPR的三分之一(T为PS与QR的交点)。

证明:(www.xing528.com)

令M为TS的中点,则|RM|＝h,这是因为△SRT为直角三角形,其斜边中点到各顶点等距离。

现因|MS|＝|MR|＝h,所以∠1＝∠2＝k°。而∠3是△SMR的一个外角,从而∠3＝2k°。又因|MR|＝|PR|＝h,又有∠3＝∠4＝2k°。

∵PQ与RS共面,且同垂直于QR,∴PQ∥RS。

∵∠2＝∠5＝k°。

由此,∠QPR被三等分。