多少世纪来人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣。从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。在古代亚洲的城市,人们在考古挖掘中发现了它们。有关幻方的最早记录,是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”。传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。
在西方世界最早提到幻方的是公元130年伊士麦(现称士麦那,土耳其西部的一个港口城市)的勒恩的著作。公元9世纪,幻方在占星学领域逐渐蔓延,阿拉伯占星家用它们来占星和算命。最后,大约公元1300年,通过希腊数学家莫斯切普罗的著作,幻方及其性质被传播到西半球(特别在文艺复兴时期)。
幻方的一些性质:
幻方的阶数是由幻方的行或列的数目来规定的。
幻方的“幻”在于它具有令人迷惑的性质。其中一些性质如下:
1)每行、每列及对角线上数的和为同一个数,这个数即变幻常数,能够通过以下方法之一获得:
1,2,3,……n2构成的。
2)取任意大小的幻方并从左上角开始,沿着每一行依次写下连续的数。则每条对角线上数的和即为变幻常数。
3)任意两个与中心等距离的数(在同一行,同一列,或同一条对角线)互补。一个幻方的数互补是指它们的和是同样的,而且都等于该幻方最大数与最小数的和。
把已有的幻方变换为另一个幻方的方法:
1)把一个幻方的每一个数同时加上或乘以任一确定的数,所得的依然是一个幻方。
2)如果把与中心等距离的两行及两列交换,所得结果还是幻方。
3)在一个偶数阶幻方里交换两个象限,所得结果仍为幻方。
4)在一个奇数阶的幻方里交换适当的象限和行,所得结果仍为幻方。(www.xing528.com)
关于幻方的论述比其他娱乐数学的课题都要多。B.富兰克林(BenjaminFranklin)花了很多时间用在设计幻方上。构造5阶幻方具有相当的挑战性(即用头25个自然数组成5×5方阵,使得每行、每列和每条对角线上数的和是同样的)。行数和列数为奇数的幻方称奇数阶幻方；如果行数和列数是偶数则为偶数阶幻方。偶数阶幻方的一般性构造方法人们仍在探求。但另一方面,却已有不少的方法可以构造任意大小的奇数阶幻方。其中劳伯尔(La Loubere)发明的楼梯法,在幻方热心者中最为知名。
楼梯法:
1)从位于顶行中央的小方格的数字1开始。
2)下一个数放在位于右上对角的小方格里,除非该格已被占据。如果下一个数落在幻方所在框架外头想象的小方格里,那就必须在你的幻方中找出安放它的位置,这个位置在你的幻方中与想象的方格处于对等的部位。
3)如果你的幻方中,原拟放下一个数(右上角)的小格已被占据,则可以直接将此数写在原数下面的小格内。
4)继续2)和3)的步骤,直到幻方剩下的数都各得其所。
现在我们尝试用楼梯法来构造5×5幻方(用头25个自然数)。检验一下方法中那些使得幻方改变的环节,看看它们是怎样运作的。楼梯法(对于3×3幻方)用你所构造的任何一个幻方,将它的每一个数都乘一个你所选择的常数,所得的结果仍是幻方吗?
对于偶数阶幻方而言,有许多方法是为特殊的偶数而设计的。
例如:对角线方法只用于4×4幻方。
作法:
由自然方阵(一个按行依次写下连续数的方阵)开始。如果某数位于对角线上,则必须与它的互补数交换位置。
用一个4×4的幻方,通过适当的行或者列的交换,使得结果仍是幻方。如果适当交换象限,结果也还会是幻方。
如果你能设计出构造其他偶数阶幻方的方法,那么或许你也能发现对所有偶数阶幻方都适用的一般性方法。同样你也有望找到或设计出构造任意奇数阶幻方的其他方法。
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