数学美：简洁有效、和谐思维

舞台上,少女随着音乐翩翩起舞,那是向你展示的音乐艺术美,青城天下幽,峨嵋天下秀,那是展示的自然风光美,“风停了,太阳堆起笑脸,将温暖尽情地泻在原野上”,“冬天的风苍白如纸,……懒洋洋的阳光无处悬挂……”,那是给你的动人的语言美,而数学美在何方?“哪里有数,哪里就有美”。

简洁美简洁、有效、直观,这是数学中的一美。简单的这样一个图形:以代表世上一切方形的物体,它给人们简洁、大方,但它并不仅是为了简洁而简洁,还极大地给人以方便,给人以联想；又正如没有人愿把一亿写成100000000,而要写成108,把千万分之一写成10000000,而是乐于写成1－7更没有多少人身上带着几万元甚至几百万的钞票在大街上走来走去,而是带着一张银行卡,只需记着由0,1,2,……9中几个数字组成密码就可敲定,就这么几个数字,就这么简单。化繁为简,化难为简,力求简洁、直观。数学不仅仅是在运算上,论证也更是如此。数学的公式与公理就是简洁美的最佳证据之一。几个公理、定理、概念、命题就能把庞杂的数学分支处理好,井然有序,完整地体现着直观、和谐美。

和谐美看一看1、2、3、4、5、6、7这几个数字,代表不同的音阶,就能谱出优美动人和谐的曲调,让世人在音乐中陶醉。

再看看越来越复杂的数系吧,它们同样是和谐的。整数和分数统一为有理数,有理数和无理数统一在实数内,而复数又包含着实数与虚数。在这些数系之中,1是最简单的数,但同时可以说一切又起源于1。由1演变为所有自然数2,3,4…,后来又有它的相反数—1,—2,—3…,之后又加进0,再就是两个整数所表示的分数,这样就构成有理数系,而南北朝时期,祖冲之就已经在计算π的值,无理数也早就出现了。i在几百年前就有,i可表示成0＋1。i,而它正好有实数中具有代表性的数1和0来表示的。实数、虚数中的1,0,i都有其独特的地位,超越无理数中,π和e又是相当独特的,这5个数1,0,i,π,e都融合在一个奇妙式子中,e…＋1二0,这就是一种和谐美,统一美。

几何中的和谐美也到处体现,它们也使人赏心悦目。简单的点、线段、三角形、矩形、正方形,就能构造出美丽的图案,平面的,立体的,让人美不胜收。再看一看黄金分割律这个奇妙的规律吧。符合这个分割律的物体和几何图形,无不使人们感到和谐与美。我们的人体本身就是黄金分割律的一个杰出的样本,T型台上迈着款款细步的女模,她们姣好的面容,魔鬼般的身材,无一不是黄金分割律的体现,样本中之典型。现实生活中让人叹为观止的一些伟大、精彩的建筑杰作,正是由于它们高、宽、柱间距离比例符合着黄金分割律,而让人欣赏、品味,影响甚深。

看一看:加法与减法统一于代数和,指数函数把乘方与开方统一起来,解析几何又体现了代数与几何统一性。……

毕达哥拉斯有句名言:“一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆形”。而圆和球形正是几何中对称美的杰出体现,圆是关于圆心对称的,也是关于圆心的任一条直线对称的。球形既是点对称,又是线对称,还是面对称的。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称,才构成了美丽的图案,精美的建筑,巧夺天工的生活世界,也才给我们带来丰富的自然美,多彩的生活美。(www.xing528.com)

是不是只有几何中才有对称美呢?sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ就已经体现出对称美。下列是对称的杨辉三角。美吗?当然!

　　新奇美平淡中见新奇、新奇中才有艺术。未曾料到才能引人入胜,峰回路转,柳暗花明,也这正是数学的魅力、数学的美。

数学上的许多发现是令人惊奇的,曾几何时,代数与几何曾认为是平行发展的,几何与代数相比处于支配地位。而17世纪竟发现两者是密切联系在一起的,研究了数千年的漂亮的圆锥曲线竟被一个简单的二次方程:Ax2＋Bxy＋cy2＋Dx＋Ey＋F＝0所包罗无遗。哥德巴赫猜想激励着人们不断去探索或研究,它的证明将会给人带来无尽的惊奇、无穷的乐趣；数学史上的许多高峰也正等待人们去攀登,山越高,路才越奇,越奇才有惊美的发现,也正如此有人说陈景润的证明也许要等上百年才能发现它们伟大实用之处。

动静美静如处子,动若飘仙,正是解析几何中点的轨迹真实写照。思维也是一种美,数学中严密的思维与论证本身就是一种完美。“越思量越美丽”,在思维中发现,在发现中思维。

曾有学生感叹数学的无味与枯燥,也正是如此,数学美对于不同的对象有相对不同的感受。司空见惯者不会有新奇感,全然不知其然、亦不知其所以然,也更不会体验到思维的乐趣。就比如给一个圆形“O”,有人说它是鸡蛋,有的人说它是月亮,有的人也就说只是一个圆,…,不同的角度,不同的理解,不同的感悟。也正因为如此,数学的教学不仅仅是让学生学习着,还应该针对学生情况,老师应当有所预料,有所设计,从学生的角度出发,为他们着想,给学生以惊奇,提高学习的动机与兴趣,让学生欣赏着数学的奇异、趣味,领悟它的和谐,它的简洁,享受它带给我们的乐趣。

在美中学习,在学习中享受美。