数学趣味知识：自守数的神奇之处

1,2,3,4,5,……这些简简单单的自然数,是我们从牙牙学语开始就认识的。它们是那样自自然然,因而显得平淡无奇。但我们如果认真研究一下这些数字,就会发现其中妙趣横生。聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数列之和,这正是由于他对自然数有深刻的了解。高斯小时候在德国的一所农村小学读书。数学老师是位从城里来的先生。他瞧不起穷人的孩子,从不认真教他们,甚至还打骂学生。有一天,他情绪很坏,一上课就命令学生做加法,从1一直加到100,谁算不到就不准回家。所有的孩子都急急忙忙地算起来,老师却在一边看小说,不一会儿,小高斯就算出了结果是5050。老师大吃一惊,奇怪他怎么算得这么快。原来,高斯并不是按1＋2＋3＋4……的顺序计算的。而是把1到100一串数,从两头向中间,一头一尾两两相加,每两个数的和都是101。例如:1＋100、2＋99、3＋98……,直到50＋51,和都是101。这样,100个数正好是50对,因此,101×50就得出5050的总和了。从此,老师再也不敢轻视穷孩子们了。他还从城里买来书,送给高斯,热心帮助他学数学,高斯进步得更快了。小高斯所用的方法,正是许多数学家经过长期努力才找到的等差数列求和的办法。这个故事人人皆知,它说明努力发现和巧妙利用规律是多么重要。现在让我们再看看自然数还有哪些有趣的性质。

我们前面提到过完全数和友好数,除了这两种有趣的数以外,自然数中还有一类数被称为“自守数”。所谓自守数就是自己和自己相乘以后得到的数,尾数不变。在自然数中凡末尾数是1、5和6的数,不论自乘多少次,尾数仍然是1、5、6。例如:

21×21＝421

21×21×21＝9261

325×325＝105625

6×6×6×6＝1296

这样的结论是不是完全正确呢?我们可以用代数方法加以证明。让我们以末尾是6的数为例。这样的数可以表示成a,这里a为任意自然数,那么:

由于a是自然数,得到的结果也必定是自然数,可见它的个位必定是6。高次方情况下也如此,证明从略。用同样方法可以证明1、5结尾的数也是自守数。

如果把尾数取到两位,还有没有自守的性质呢?有。比如末尾是25和76的数就是自守数。

如果尾数取到三位、四位或更高位数,还能找到自守数吗?经过数学家的计算寻觅,发现尾数为376、9376、109376、7109376……以及末尾是625、0625、90625、890625、2890625、……的数都是自守数。

让我们再来看看自然数中的奇数和偶数。

奇数数列是1,3,5,7,…n,…(n为项数)偶数数列是2,4,6,8,…2n,…(n为项数)人们研究奇数,发现如下的性质:

这个结论可以用数学归纳法来证明,不过相当麻烦。其实我们只要画一张最简单的方格图,这个性质就一目了然了。

自然数中偶数数列则有如下的性质:

2＝1×2　2＋4＝6＝2×3

2＋4＋6＝12＝3×4

2＋4＋6＋8＝20＝4×5

……

2＋4＋6＋8＋…＋n＝n(n＋1)

不论用数学归纳法还是用画图方法也都能证明这个结论。此外,对所有的自然数,下面的规律也成立并且十分有趣:

自然数中还有一类数被称为回文数。回文数就是一个数的两边对称,如11,121,1221,9339,30203等等。回文数本身倒也没有什么奇特。不过人们发现大多数的自然数,如果把它各位数字的顺序倒置,再与原数相加,将得数再按上述步骤进行,经过有限的步骤后必能得到一个回文数:

1111就是一个回文数。

又如:198＋891＝1089

79497又是一个回文数。

是不是所有的自然数都有这个性质呢?不是。例如三位数中的196似乎用上述办法就得不到回文数。有人用计算机对196用上述办法重复十万次,仍然没有得到回文数。但至今还没有人能用数学证明办法对这个问题下结论,所有“196问题”也成了世界性数学难题之一。经过计算,在前十万个自然数中有5996个数就像196一样很难得到回文数。

让我们再看一个有趣的数字现象:

随意取4个数,如8,3,12,5写在圆周的四面。用两个相邻数中的大数减小数,将得数写在第二圈圆周。如此做下去不久,必会得到4个相同的数。这个现象是意大利教授杜西在1930年发现的,所以叫作“杜西现象”。

在自然数中还有一些数,看起来貌不惊人,但却十分特别,令人百思不得其解。6174就是其中之一。

把6174各位数字从大到小排列,再从小到大排列,然后用大数减小数,结果还得到6174。

7641－1467＝6174

有趣的是,不仅6174本身,就是任意一个四位数字,只要4个数字不完全相同,用上述办法重复多次,最后终能得到6174这个数。

例如:1234这个数,我们用下列步骤运算:

4321－1234＝3087

8730－0378＝8352

8532－2358＝6174

再举一例,如2883,则有:(www.xing528.com)

8832－2388＝1998

9981－1899＝7982

9872－2789＝7083

7830－0387＝7443

7443－3447＝3996

9963－3699＝6264

6642－2466＝4176

7641－1467＝6174

对三位数字,用这个办法最终将得到495。例如867,运算如下:

876－678＝198

981－189＝792

972－279＝693

963－369＝594

954－459＝495

你还可以用其它数字来验证一下,看看对不对。

五位以上的数字,这个规律就不明显了。

最后再让我们看两组有趣的数:

第一组为:1,6,7,23,24,30,38,47,54,55

第二组为:2,3,10,19,27,33,34,50,51,56

这两组数有什么奇特之处呢?

首先,这两组数都没有公因数,而且两组数各自的和都是285。不过这算不上奇怪,拼拼凑凑,谁也弄得出来。不要着急,我们再往下看。如果计算一下它们的方幂之和,你就会大为惊奇。

因为数字太多,我们不能一一列下去,让我们把结果列出来。

从0次幂到8次幂,两组数的方幂和都相等,谁能不感到惊奇呢?不过算到9次方幂,两组数的方幂和就不相等了,这又是为什么呢?这两组有趣的数和它们有趣的性质吸引了不少人进行研究。

专门研究整数性质的数学分支叫作数论。数论中有许多看似简单实则相当困难,甚至近乎神秘的问题等待人们去解决,哥德巴赫猜想就是其中之一。

建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。

基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate(计算)一词是从希腊文calculus(石卵)演变来的。中国古代《易·系辞》中说,上古结绳而治,后世圣人易之以书契,这都是匹配计算法的反映。

集合的基数具有元素“个数”的意义,当集合是有限集时,该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法(见算术)。

为了计数,必须有某种数制,即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应,所对应的最后的项,就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。

皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理,这里“集合”、“含有”、“自然数”、“后粥”等是不加定义的。

①是自然数。

②不是任何其它自然数的后继。

③每个自然数都有一个后继(a的后记为)

④a/＝b/蕴含a＝b

从上述公理出发,可以定义加法和乘法,它们满足交换律与结合律,加法与乘法满足分配律。