埃舍尔:无穷概念的数形艺术作品及数形互助

荷兰著名版画大师埃舍尔创作了无数带有数学意味并且精确无比的艺术作品．左边这幅以表现“无穷”概念为主题的作品，是由无数形状完美的蜥蜴组成，并使它们的头尾汇聚，运用对称、旋转等方法，从外向内无限缩小，以表现世界事物的无限性，给人以丰富的哲理想象空间．

知能概述

以数助形、以形辅数是数形互助的两个方面．

以数助形，即把几何问题代数化，把几何条件或结论表示成相应几何元素的数量关系，用方程、不等式、函数等代数方法解决问题．

以形辅数，即把代数问题几何化，恰当地构造几何图形，运用图形特征、几何方法解决问题．

问题解决

例1　已知a，b均为正数，且是一个三角形的三条边的长，则这个三角形的面积是________．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路的几何意义是直角边长分别为m，n的直角三角形斜边的长．

算术记号是写下来的图形，几何图形是画下来的公式．

——希尔伯特

视角转换

已知x，y为正实数，x2＋y2＝1，求x＋y的取值范围．

例2　如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，又AE和BD分别是BC和AC边上的中线，且AE⊥BD，则AB的长为（　）．

（美国数学邀请赛试题）

解题思路　设GE＝x，GD＝y，则AG＝2x，BG＝2y，，建立关于x，y的方程组，整体求出x2＋y2．

例3　已知正数a，b，c，A，B，C满足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k．求证：aB＋bC＋cA＜k2．

（俄罗斯数学奥林匹克竞赛题）

解题思路　两个正数的乘积的最简单的几何意义可看作一个几何图形的面积，而a＋A＝b＋B＝c＋C＝k，可联想以k为边长的正三角形，又k2可看作边长为k的正方形的面积，以形辅数，本例有不同的构图方法．

例4　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分线交AC于D，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F．求证：

（湖北省竞赛题）

解题思路　可根据条件，分别计算出各个线段的长度．

以数助形，通常是以最少量的字母表示有关的几何量，从而将几何图形数量化，再进行计算证明．

以形辅数，化数为形，变抽象为直观，解题的关键是通过对问题中条件与结论的观察、比较、联想，恰当地构造相应的图形．

例5　设0＜x＜1，求证：

（全国中学生数学智能通讯赛试题）

最后一式显然成立，故结论得证．

证法2　先证下面的引理：设P为△ABC内一点，则AB＋AC＞PB＋PC．

如图①，延长BP至D，则有AB＋AD＞BD，PD＋DC＞PC，

相加，得AB＋AD＋PD＋DC＞BD＋PC，∴AB＋AC＞PB＋PC．

下面证明原理．

构造图②所示的边长为1的正方形ANMD，BCMN，

并设MP＝x，则CP＝

由引理，知AC≤PC＋PA＜AM＋MC，

故

例6　如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交边BC于点E．

（1）求证：AF＝DF＋BE；

（2）设DF＝x（0≤x≤1），△ADF与△ABE的面积的和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S；若不存在，请说明理由．

（海南省竞赛题）

构造图形解题，本质是代数语言向图形语言的转换，需熟悉下列基本代数关系式的几何意义：

（1）c＝

（2）

（3）x＝

（4）ac＋bd＝ef．

恰当地引入变量，运用代数不等式、配方法、函数性质等知识及方法，是解几何不等问题、探求几何最值的重要方法．

思接千载，视通万里．数形互助，能有效增加解题的美感，是发展创造性思维的一个有效途径．

解　延长CB至点G，使得BG＝DF，连接AG．

因为四边形ABCD是正方形，所以，在Rt△ADF和Rt△ABG中，

AD＝AB，DF＝BG，∠ADF＝∠ABG＝90°，故Rt△ADF≌Rt△ABG．

则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG．

又AE是∠BAF的平分线，则∠EAF＝∠BAE．

故∠DAF＋∠EAF＝∠BAG＋∠BAE，即∠EAD＝∠GAE．

由AD∥BC得∠GEA＝∠EAD，∴∠GEA＝∠GAE，得AG＝GE，

∴AG＝BG＋BE，因此，AF＝DF＋BE．

（2）S＝S△ADF＋S△ABE＝DF·AD＋BE·AB，

因为AD＝AB＝1，所以，S＝（DF＋BE），

由（1）知AF＝DF＋BE，故S＝AF．

在Rt△ADF中，AD＝1，DF＝x，则

由上式知，当x2达到最大值时，S最大．

而0≤x≤1，所以，当x＝1时，S的最大值为

几何直观

几何直观主要指利用图形描述和分析问题，“不著一字，尽得风流”，几何直观、形象、简捷．著名数学家希尔伯特在其名著《几何直观》中写道：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果．”

例7　阅读材料：

例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．

解：，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．

设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值．而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以，即原式的最小值为

根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1），点B________的距离之和（填写点B的坐标）；

（2）代数式的最小值为________．(www.xing528.com)

（湖北省十堰市中考题）

理解直角坐标系上两点间距离的意义是解题的关键：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则

培养几何直观能力可以从以下方面入手：

（1）面对几何对象，注重直觉思考；

（2）提高运用图形描述和分析问题的意识；

（3）感受几何解释．

在著名法国数学家阿达玛看来：“在创造阶段，科学家的思维载体往往是各种各样的，因人因事而异的符号、图形或其他形象，亦即此时的思维方式往往是形象的和直觉的，而不是逻辑的．”

直觉是发现和发明的源泉．

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝78°，∠BCD＝162°，设直线AD与BC的交点为E，则∠AEB 的大小为________．

（“新知杯”竞赛题）

（第1题）

（第2题）

（第3题）

2．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，则梯形DEFG面积的最大可能值为________．

（“新知杯”竞赛题）

3．在边长为10的正方形ABCD中，内接有6个大小相同的正方形，P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，则这六个小正方形的面积是________．

（北京市竞赛题）

4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，F是BC边上的动点（不与点B，C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线于点E，连接CE．下列结论：

①若BF＝CF，则CE2＋AD2＝DE2；

②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝；

③△ABD和△CBE一定相似；

④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝

其中正确的是________．（填写所有正确结论的序号）

（内蒙古自治区包头市中考题）

（第4题）

（第5题）

5．如图，等边△ABE的顶点E在正方形ABCD内，对角线AC和线段BE交于点F，若，则△ABF的面积为（　）．

（“希望杯”邀请赛试题）

6．如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动，设P点运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则△ABC的面积为（　）．

A．10　B．16　C．18　D．32

（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）

（第6题）

（第7题）

7．如图，正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，已知线段OD，AD的长都是正整数，＝20，则满足上述条件的正方形ABCD面积的最小值是（　）．

A．324　B．331　C．354　D．361

（北京市竞赛题）

8．已知正方形ABCD的边长为1，E，F分别为边BC，CD上的点，且满足BE＝CF．则△AEF的面积的最小值为（　）．

（四川省竞赛题）

9．求函数的最小值．

（四川省竞赛题）

10．设a，b，c为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad．求三边长分别为，的三角形的面积．

（“五羊杯”竞赛题）

11．如图①，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．

（1）求证：△ABF≌△BCE；

（2）如图②，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；

（3）如图③，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．

（第11题）

（广西壮族自治区中考题）

12．如图，设E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，△ABE，△ECF，△FDA的面积分别是a，b，c，求△AEF的面积S．

（第12题）

（四川省竞赛题）

13．如图，在△ABC中，已知BC＝AC，∠BCA＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，使得AD＝AE，且2CD＝BE，设P为线段BD与∠CAB的角平分线的交点，求∠PCB的度数．

（第13题）

（青少年数学国际城市邀请赛试题）

14．设x，y，z为实数并满足，求x＋y＋z的值．

（美国数学邀请赛试题）

15．三角形三边内部各有一点，两两连接把三角形分成四个面积相等的部分．求证：这三点分别为其所在边的中点．

（匈牙利数学竞赛题）

16．一天，英国著名数学家巴尔正在伦敦的大街上散步，当他走到克里斯蒂拍卖行的门口时，发现了一张附有土地图形的广告．

广告的大意是这样的：有总面积为560英亩的土地要拍卖．土地共分为三个正方形（如图所示），面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三个正方形恰好围着一个池塘△ABC，请准确计算出池塘的面积．

巴尔站在熙熙攘攘的人流中，只用了很短的时间就算出了准确答案，你知道他是怎样计算的吗？

（第16题）

（例1）

（例3）

例7　（1）（2，3）　（2）10

1．21°　如图，过点D作DOCB，连接OA，OB．由BC＝CD，得四边形BCDO为菱形，从而AB＝BC＝OB，∠ABO＝78°－（180°－162°）＝60°，△ABO为等边三角形．设∠AEB＝α，则∠1＝∠2＝α．由四边形内角和为360°，得78°＋162°＋（60°＋α）＋（180°－162°＋α）＝360°，解得α＝21°．

（第1题）