初中数学概念性知识教学案例：教与学实施成果

数学概念是数学科学知识体系的重要基础之一，也是数学思维的一种形式，它是反映数学对象本质属性和特征的思维形式。数学概念的学习与数学知识的掌握、知识结构的形成、数学能力的提高密切相关，因此，上好概念课对提高教学质量极其重要。在教学活动中怎样实施概念课的教学呢？以下结合教学实例介绍几种数学概念的教学方法。

一、发现式教学

概念的发现教学是鼓励学生借助归纳推理从实例中发现数学概念的教学，其学习理论基础是概念形成，即通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念。概念的发现教学模式一般可以概括出以下四阶段：辨别和分类；假设和解释；概括；验证和调整。

第一阶段：辨别和分类

在这一阶段，教师呈现给学生的应该是一些要求学生对事物进行知觉辨别或分类的任务。这个时候，教师应更多地作为引导者，不要过多干涉学生感知事物的活动，更不要包办代替，而要为学生提供动手操作的机会，让学生充分地利用多种感觉器官参与活动，这样有利于学生全方位地感知概念，分析概念的共同特征。

第二阶段：假设和解释

在这一阶段，学生需要对他们分类的事物作出假设或解释。比如，为什么把这些事物归为一类，假定这类事物具有的共同特征是什么？这时教师应该扮演促进者的角色，通过提出一些启发性问题，激发学生的思考，引导他们把假设和解释表达得更为清晰。

第三阶段：概括

在这一阶段，学生应该试着根据概念的属性对概念加以描述（也就是找到那些正例才有而反例没有的属性），甚至进一步对概念下一个定义。不过，对这个概念的命名就不可能通过学生的独立探索能够发现，这时教师应该作为讲授者把传统上我们给这个概念赋予的名称告诉学生。

第四阶段：验证和调整

在这一阶段，学生将用其他一些例子（不是自己用来归纳出概念的那些例子）来检验自己关于概念的定义或描述是否正确：把已经知道的那些属于该概念的正例拿来检验是否符合自己给出的概念的定义或描述，同时也把那些已经知道不属于该概念的反例拿来检验是否确实不符合自己给出的概念的定义或描述。如果发现有不适合的情况，就需要对定义或描述做适当的修订。必要时，可能还要回到前三个阶段重新考虑。这阶段教师作为裁判员，对学生的验证过程进行裁决和指导。

总之，观察—猜想—操作—验证是进行试验的基本方法和步骤。在初中数学教学中，有许多方面，比如图形的变换，勾股定理的证明，多边形内角和的探索等，都是鼓励学生开展数学实验的好素材。

案例：《函数》教学设计

这里可以用人教版八年级上册第十四章第二节《函数》的教学设计来说明概念的发现教学模式。第一节《变量》的教学中，教师提供了教材上的行程问题、票房收入、弹簧长度等五个问题，学生通过观察发现这些问题反映了不同事物的变化过程，在变化过程中，一些量的数值发生变化，一些量的数值始终不变，经教师提供常量和变量这两个术语后，学生对照他们见到的数据，不难理解常量和变量两个概念。本节课是在学生掌握了常量和变量的基础上利用发现教学模式学习“函数”这一重要数学概念。

1.观察实例与辨别实例的特征

教师继续用上节提供的五个实例让学生深入探究。让学生指出每个问题中哪些是常量，哪些是变量，观察同一个问题中的变量之间有什么联系，激发学生思考。例如问题（1）中，让学生填表观察两个变量，行驶时间t和行驶里程s的变化情况；问题（2）中，经过计算让学生发现售票数量x与票房收入y之间的变化情况。

2.假设与解释

通过教师引导性提问，学生需要发现所列表格中两个变量取值之间的关系，于是学生发现，在两组数据中，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之确定一个值。这五个实例的两个变量都具有同样的特征。

3.抽象和概括

上述五个例子，学生要概括函数的定义是有困难的。这里教师直接提供函数的定义。由于事先有五个实例的分析，学生对照实例能初步理解函数定义和与之相关的x变量（自变量）和y变量（自变量的函数）。但这种理解是初步的，所以可以说定义性概念学习处于陈述性阶段。

4.验证和调整

教师为学生出示教材中“思考”的两个问题：（1）心电图；（2）我国人口数统计表，学生将用这两个例子来检验自己关于函数的定义或描述是否正确。例如在心电图中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数，教师将对学生检验过程进行指导。下一步教师将用变式练习让学生对函数的理解更加深刻。变式练习是把学习得的定义性概念运用于解决日常生活中的问题，包括解决汽车油箱中的油量y与行驶里程x的关系；人均占有耕地面积y与这个村人数n的关系等。在这些练习中，学生必须应用学习得的函数定义，分析实例中的常量、变量、自变量和自变量对应的函数等相关概念。

应指出，以上在教师指导下的发现学习形式，函数学习的关键性部分不是学生发现的，而是教师或教科书提供的，但教师让学生参与了发现的过程。要知道，要求完全的发现教学设计是不现实的。

概念是客观事物本质属性（本质特征）在人们头脑中的反映。数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。在初中数学教学中，增强概念课的教学，准确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，搞清概念是提升解题水平的关键。只有对概念理解得深透，才能在解题中作出准确的判断。所以在数学教学过程中，数学概念的教学尤为重要。

学生数学水平的发展取决于他对数学概念的牢固掌握与深刻理解与否。而在现实中，很多学生对数学的学习，只注重盲目的做习题，不重视数学概念的掌握，对基本概念含糊不清。做习题不懂得从基本概念入手，思考解题依据，探索解题方法。这样的学习，必然越学越糊涂。因而作者认为数学概念的教学在整个数学教学中有其不可替代的作用与地位。

教师赏析案例1

反比例函数

一、教学目标

1.进一步熟悉画函数图像的主要步骤，能利用描点法正确画出反比例函数的图像。

2.通过反比例函数的图像的分析，探索并掌握反比例函数的图像的性质，并能利用函数图像和性质解决与之相关的问题。

3.感悟“数形结合”“变化与对应”和“转化”的数学思想，并能应用数形结合和转化思想。

二、教学重点

会作反比例函数的图像；探索并掌握反比例函数的主要性质。

三、教学难点

反比例函数的主要性质和应用。

四、教学过程

这节课所讲内容为人教版数学九年级下册第二十六章第一节《反比例函数》。教学环节共计九个环节，该节课教学过程设计完整有序，既体现知识结构，知识点，又注意突出学生活动设计，体现教学民主、培养学生良好的学习品质，课堂结构完整，密度恰当。

教师和学生的课前准备工作都做得非常好，预习要求适当、贴合学生实际，有一定自学要求，高而不高。教师讲授环节条理清晰、重点突出，完成目标情况良好，课堂效率较高：体现出以学生为主体的课堂模式，重视对学生能力的培养。

首先，在新课讲授之前，以旧引新，引起学生的学习兴趣。再者，在探究新知的时候，学生先自己动手探究讨论思考，然后老师再引导总结。培养了学生的动手能力，逻辑思考能力。最后，学习新的知识后，让学生再比较正比例函数和反比例函数的异同点与开始以旧引新相呼应。然后再小检测，及时巩固所学知识，学生黑板展示，老师点评可以提高学生做题规范意识。结束部分由学生自我小结。充分发挥学生主体作用。使学生在和谐融洽的课堂氛围中学习，推进了知识的掌握和智力的发展，达到了良好的教学效果。

总体来说，该节课教学目标清楚明白、具体，易激发兴趣，引导自主探究、合作交流、练习设计体现知识的综合运用，形式多样，分量与难度适中，学法指导得当，教学目标达成，教学思路清晰，课堂结构安排合理，时间安排也合理。是一节比较好的概念教学设计。

教师赏析案例2

教学借助探索引导学生进行概念及规律的学习案例探索规律（北师大版初一年教材）

一、教学目标

1.通过引导学生观察（阅读）、分析、总结等一系列过程，经历探索一些已知数量间的关系，会用符号表示简单的规律并会根据已掌握的相关知识，通过运算验证规律的过程。

2.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的活动过程。

3.通过情境设置，激发学生爱国主义思想；通过交流合作，体验在解决问题的过程中与他人合作的重要性。

二、教学重、难点及关键

1.教学重点：学会探索数量关系，运用符号表示规律。

2.教学难点：学会从不同角度探索数量关系的方法。

3.教学关键：引导学生“正确阅读”。

三、教学方法及学情分析

1.目标指导教学法：目标指导教学是本人任教三十多年来结合本人的课堂工作实际，把目标教学法与指导自主学习结合起来形成的个人教学法。主要过程包括：展示目标，目标诊测；点评诊测，创设情境；自主探索，质疑问难；分层练习，自主小结等四个环节。

2.学情分析：本部分内容是在学习了第一章第二章及第三章等内容后的一节内容。学生基本上掌握了第一章“丰富的图形世界”中的“展开与折叠”“从不同方向看”“生活中的平面图形”第二章“有理数”中的“有理数运算”等。第三章“代数式”中的列代数式及代数式运算等。初步具备了探索的基础知识。初步认识了一定的数量关系或具有变化关系的数量关系。也初步明白了如何表示具有一定规律的相互关系。本节课是引导学生初步认识如何从数学的外部及内部两个层面去探索一些量之间的关系。

四、教学过程

（一）展示目标，目标诊测

1.展示目标（略）

2.目标诊测

①计算（a+1）、a、（a-1）这三个代数式的和等于_____。你能在数轴上表示出这三个数吗？如果能，应当如何表示？

②你了解过我国南宋时期杰出的数学家和数学教育家杨辉吗？

（二）点评诊测，创设情境

1.点评诊测试：

①（a+1）+a+（a-1）=2a

②宋元数学四大家之一的杨辉，他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。

创设情境：同学们，这个图形叫杨辉三角。杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就。杨辉三角，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算术》，故又名贾宪三角形。在欧洲，帕斯卡（1623—1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

（三）自主探索，质疑问难

1.自主探索：同学们，探索是我们成长过程中非常宝贵的财富。一个人的成长过程中充满了探索之经历，只不过我们有时没有刻意去认识什么是探索。在生活与学习中有很多知识需要我们去探索，通过探索性研究，发现各种量之间隐含的关系及规律，认识这些规律并利用这些规律为我们的生活我工作服务。今天我们就从生活中的天天看到的日历开始，探索其中隐含的一些规律吧！请思考如下几个问题

①这是2018年9月的日历，你能发现日历中相邻两个数字间有什么规律吗？

②你能发现日历中相邻三个数字间有什么规律吗？

③你能发现日历中相邻三个数字间有什么规律吗？

④日历中3×3方框内九数之和与方框中正中间的数有何等量关系？

⑤你能发现日历中的H形区域内，七个数之和与正中心的数有何关系吗？

2.质疑问难：①你能发现日历中的相邻四个数，相邻五个数之间的关系吗？

②以上这些关系都能用代数式表示吗？如果能，那么它们之间有什么规律呢？

（四）分层练习，自主小结

1.分层练习：

①将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条抓痕。继续对折，对折时每次抓痕与上次的抓痕保持平行。连续对折6次后，可以得到几条抓痕？如果对折10次呢？对折n次呢？

②用火柴棒按下图的方式搭三角形。

第一题

并填写下表：

2.自主小结：

探索规律的一般步骤：

①观察特例；②猜想规律；③表示规律；④验证规律。

（五）反思提升，分层作业

1.反思提升

2.分层作业

A类：①填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况。

②随着n的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？

③估计一下，哪个代数式的值先超过100？

B类：习题3.7联系拓广

C类：习题3.8问题解决。

D类：自选题

1.如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b，再分别连接图b中间的小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：(www.xing528.com)

①将下表填写完整

②在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示）

五、教学后反思

1.本节课是否完成教学目标。

2.本节课学生学习方法是否得到正确的引导。

3.本节课中，学生的阅读能力，表达能力是否得到提升。

4.本节课教学方法是否可以再次优化。

5.本节课学生练习是否适中。

这节课所讲内容为北师版数学七年级上册第三章第5节《探索与表达规律》。包括五个教学环节，该节课设计很有特色，创设情景，通过建站，让学生亲自解决问题，自己动手收集、整理、筛选资料，突出体现了以人为本、以学生发展为本的教育理念。

本节课的创设情境引入精彩到位，很好地抓住了学生的性格特点，极大地激发了学生的学习积极性。从一开始便抓住学生的心思，紧接着日历中的问题，长方形对折，火柴棒搭三角形的问题。都是生活中的很常见的，以一种很直观的方式呈现在学生面前，使本来很难理解的知识变得富于挑战性又不是不可解决。内容的特殊性决定了课堂上教学活动开放，教师放手让学生自主探究、自由探究、独立作业、归纳小结，学生参与面广，较好地落实了学生的主体地位，从数学历史杨辉三角引入开始、到归纳小结的结束，学生自始至终参与观察、分析、思考、归纳、猜想、判断、验证数学规律的全过程，较好地贯彻了新课程标准所要求的课程理念，也起到了很好的效果。

总的来说，这节课很好体现以学生为本的教学理念。关注了学生的思维发展，培养学生归纳和总结知识的好习惯。

教师赏析案例3

《多边形的内角和》

教学流程安排

教学过程设计

这节课所讲内容为是《多边形的内角和》，本节课共计六个教学活动。本节课各种学习活动设计具体、充分注意学生学习习惯的培养，因材施教，调动学生自主学习的积极性，遵循常规但不拘泥，根据学生的差异和特点，从具体到抽象对教材进行处理。

在新课的引入时，采用以旧引新，用三角形内角和，引出四边形内角和，五边形内角和再到六边形和多边形的内角和。激发学生学习兴趣，利用对比方法进行新知识讲授。寻找新旧知识的关联和生长点，注重知识的发生发展过程。

在教学过程中，学生在探索多边形内角和的过程中先把四边形、五边形转化成三角形。进而求出内角和，这体现了由未知转化为已知的思想。在教师适当的引导下，通过四边形、五边形特殊，多边形内角和的探索，让学生从特殊到一般归纳总结出多边形内角和公式，体会数形间的联系，感受从特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法。较好地完成了本节课的教学目标。

本节课引导学生由旧知识去探索新知识，体会几何中转化思想的运用，体会从特殊到一般的认识问题的方法。教学目标达成，教学思路清晰，教学结构合理。

教师赏析安全4

二元一次方程组

本节课所讲内容为北师版数学七年级下册第八章第1节《二元一次方程组》。包括五个教学环节，该节课设计很有特色，创设情景，通过建站，师生共同讨论解决问题，突出体现了以学生发展为本的教育理念。

本节课的情景导入更精彩，通过经典的鸡兔同笼问题引发同学们的思考，让学生主动去探讨问题，解决问题，把课堂还给学生，充分发挥了以学生为主体的教学理念。同时通过问题以旧迎新，顺应了学生的发展，更有效的提高课堂效率。但是，该老师对于新知不能很好地进行针对训练，可以选择经典的练习题让学生独立解决，可采用找学生上黑板的方式进行，可以更好地提高课堂效率。

总的来说，这节课很好地顺应了学生的思维发展，循序渐进的讲授新知，可有效地促进学生的发展。

八年级下分式突破与提升

请你尝试建立自己的数学学习“素养卡”

八年级下学期，不少同学由于初学分式，对分式及其性质理解不透，导致作业或考试时常常犯一些错.今天，我将过去任教班级中部分同学在学习、作业或考试中所犯的一些错误，以学习“素养卡”的形式呈现给广大同学们，希望你们引以为鉴。

在以下的讲解中，将针对同学们在学习分式中的常见错误，都给出了专家的细心“诊断”，并开好“正解巩固处方”及“突破提升方剂”，请听讲的同学们注意写好笔记，并能根据课后的“能力拓展”提升数学学习素养。

一、分式定义部分。

定义理解不透产生的“素养缺失”（1）

定义理解不透产生的“素养缺失”（2）

二、分式基本性质

基本性质理解不透产生的“素养缺失”（1）

基本性质理解不透产生的“素养缺失”（2）

基本性质理解不透产生的“素养缺失”（3）

三、分式方程与分式计算去分母混淆出错（1）

小结：从以上6位同学的分式学习“素养卡”不难看出，实现分式学习的突破与提升，关键在于正确理解分式的概念与分式的性质，对于分工的概念主要从“分式有意义的条件”“分式无意义的条件”，以及“分式的值为零的条件”是三个维度去理解与掌握，对于分式的性质，首先在自主“数学阅读与理解”上下功夫。紧紧抓住①性质中的“同乘（同除）同一个不等于零的整式”②注重运算符号及运算的先后顺序。最后建议同学们每当练习出现错误时，必须主动反思是什么原因出现了错误，如何做才是正确的。

同学们，初中数学并不难，它与我们生活密切相关。在学习数学的过程中，只要我们养成“自主阅读，勤于思考，规范表达”等好习惯，我相信这对你终生学习有很大的帮助。

本节课是针对学生在学习分式中易出错的知识点，进行再次详细讲解，并且巩固练习。首先就错误方面进行了分类第一个是分式概念，第二个是分式的基本性质，第三个是分式方程与分式计算去分母混淆出错。然后进行错误例子展示，错误地方进行重点讲解。展示过后然后进行正确解答的讲解。就其涉及的知识点进行再次讲解。讲解过后，及时的例题训练加深学生的印象。在题目的讲解中先易后难，循序渐进。更好地让学生接受知识。最后，在小结部分，又再次指出分式学习的突破与提升，关键在于正确理解分式的概念与分式的性质。引导学生主动反思自己的错误，如何做才会正确？有助于学生以后学习，并且也使学生习惯性反思自己，有助于其自身的进步。

我认为此节课的授课，一方面帮助学生解决了分式学习的困难，另一方面也引导学生多反思，多总结，充分发挥自己是学习的主体作用。

学生学习案例2《分式概念及基本性质》供学生学习用

一、分式的概念

（1）分式满足的三个条件：①形如的式子；②A、B为整式；分母B中含有字母，三个条件缺一不可。

（2）分式有意义的条件：分母不等于0。

（3）分式的值等于零的条件：①分子等于0；②分母不等于0，二者缺一不可。

（4）分式的值为负数（正数）的条件，分式的分子和分母异号（同号）。

例1：使分式有意义的取值范围是（　）

A.x =2

B.x≠2

C.x =-2

D.x≠2

分析：分式有意义的条件：分母不等于0，所以当2x-4≠0，即x≠2时，分式有意义。故选B。

解题规律：分式的概念隐含分母不为零这一条件，从分式的分母的值为零与否，可以判断分式是否有意义；反之，已知分式是否有意义，也可以求出字母的值或取值范围。

例2：已知分式的值是零，那么x的值是（　）

A.-1

B.0

C.1

D.±1

分析：分式的值等于零的条件：①分子等于0；②分母不等于0.所以当分子x-1=0时，x-=1，当x-=1时，分母x+1≠0，故分式的值是零的x值是C选项。

解题规律：在解有关分式的值为零这类问题时，先令分子为零，求出字母的值，然后代入分母中检验，舍去使分母为零的值，确保分式有意义。

二、分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为其中A、B、C是整式。

分式的基本性质是分式化简、变形、计算的依据，是学习的重点。在应用时应注意基本性质中“不等于0的整式”这一限制条件。

例3：（1）填空：

解析：（1）右边的a2b分母等于左边的分母ab乘以a，所以右边的分子应是左边的分子a-b乘以a，即a（a-b）=a2-ab。

（2）右边的分子x+y等于左边的分子x2+xy=x（x+y）除以x，所以右边的分母也应是左边的分母x2除以x，即x2÷x=x。

解答：（1）a2-ab　（2）x

解题技巧：比较左右两边的分子或分母，看是乘以（或除以）某个整式得到的，从而用右（左）边的分母或分子乘以（或除以）这个整式.遇到多项式的，首先应分解因式。

三、分式的符号法则

分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两项的符号，分式的值不变.

特别提醒：分式的符号法则的根据是分式的基本性质。

分式的分子、分母的符号变化时，应注意它们是一个整体，不能只改变某一项符号。

例4：不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”号。

解析：（1）改变分子、分母的“负”号，分式值不变；（2）改变分子和分式本身的符号，分式值不变；（3）改变分母和分式本身的符号，分式值不变。

方法技巧：（1）分式的分子或分母的符号，可以直接写在分数线的前面；（2）有理数除法的符号法则“同号的正，异号得负”，在分式（两式相除）中同样适用。

四、通分与约分

通分与约分是利用分式基本性质的变形，是以后分式计算的基础。

化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。通分的方法是先求各分母的最简公分母，然后用每一个分式的分母去除这个最简公分母、用所得的商去乘它的分子、分母。一般地，各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。确定几个分式的最简公分母是通分的关键。

约去分子、分母中的公因式的变形过程叫做约分，约分就要先找到分子和分母的公因式，因此，通常先把分子和分母分解因式，然后约分。

例5：下列约分正确的个数有（　）

1个　2个　3个　4个

解析：（1）分子、分母中的m分别与a和b相加，而不是相乘，故分子、分母没有公因式，（1）错误；（2）（m-n）3=-（n-m）3，约分后结果为-1，（2）错误；（3）分子、分母完全相同，约分以后应为1，（3）错误；（4）分子a2-2a-3=（a-3）（a+1）分母a2+2a+1=（a+1）2，约去公因式（a+1），结果为，（4）正确。

解题技巧：分子、分母完全相同，约分后，分式的值为1；分子、分母互为相反数，约分后其值为-1。

例6：（1）化简（2）通分

分析：（1）要先将分子和分母分别分解因式，再找出公因式；（2）先确定两个分式的最简公分母是（m+3）（m-3）。再利用分式的基本性质分别变形。

说明：通过约分可将分式化简为最简分式（分子、分母不含有公因式的分式）或整式，约分的关键是确定分子和分母的公因式；通分的关键是确定各分母的最简公分母另外应注意通分时的解题格式，避免出错。

本节课总共四方面的内容，帮助学生学习分式的概念，基本性质，分式的符号法则，通分和约分。

在每一个知识点之后，首先会讲具体内有哪些，然后举一个例题。目的是对所学内容加深印象。例题过后有题目的具体分析，最后总结此类题的解决规律。可以有目的的复习重要知识点，然后针对性的训练知识掌握情况。由一题，总结一类题解答方式。有利于锻炼学生的观察，归纳，类比等能力。学生可以学会解题方法，也可以发展自己的思维能力。从而使学生提高解题素养，增强学生的学习兴趣。

总的来说，总体设计的完整有序。但是我认为在最后面应该适当地添加一些习题，这些习题需要紧扣前面所涉及的知识点，难度循序渐进，题量适中。