实践性教学：论初中数学概念教与学

实践能力是很多学科必备的技能，总体来说，大多数学科之间都具有渗透性，如数学和物理，化学与生物，政治与历史，语文和英语等，它们之间都具有较强的联系，而数学核心素养的六大技能之间同样具有深刻的联系，比如，对于同一组数据的分析，学生需要进行数据分析、数学运算和逻辑推理等才能得出最完整、最具有说服力的结论，对于很多较复杂的数据，如果只是简单地分析整组数据的众数、中位数和平均数等基础数据，难以得出完善的结论，因此，画图、计算与逻辑推理是相当必要的。例如，对于本书中几何概型的讲解，其中有很多典型例子，如：“一个人到单位的时间可能是八点到九点之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点上……”对于这些实验结果的分析，需要进行必要的实践学习。初中数学教师在数学概念性知识的教学过程中，实践性教学是一个非常重要的原则。

示例1：人教版中的“数据的分析”，教学目标：1.使学生理解数据的权和加权平均数的概念；2.使学生掌握加权平均数的计算方法；3.通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。教学重点：会求加权平均数。教学难点：对“权”的理解。难点的突破方法：首先应该复习平均数的概念：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，叫做这组数据的平均数。复习这个概念的好处有两个：一则可以将小学阶段的关于平均数的概念加以巩固，二则便于学生理解用数据与其权数乘积后求和作为加权平均数的分子。在教材“讨论”栏目中要讨论充分、得当，排除学生常见的思维障碍。讨论问题中的错误做法是学生常见错误，尤其是中差生往往按小学学过的平均数计算公式生搬硬套。在讨论过程中教师应注意提问学生平均数计算公式中分子是什么、分母又是什么？学生由前面复习平均数定义可答出分子是数据的总和、分母是数据的个数，这时教师可递进设疑：那么，题目中涉及的每个数据是每个占有耕地面积还是人均占有耕地面积呢？数据个数是指A、B、C三个县还是三个县的总人数呢？这样看来小明的做法有道理吗，为什么？通过以上几个问题的设计为学生充分思考和相互讨论交流就铺好了台阶。要使学生更好地去理解权的意义，可以再举一些生活、学习中的例子。比如：初二五班有4个小组，在一次测验中第一组有7名同学得了99分，1名同学得了61分，第二组有1名同学得到了100分、7名同学得62分。能否由得出第二小组平均成绩这样的结论？为什么？这个例子简单明了又便于学生想象理解，能够让学生从中体会到得99分的7个人比1个得61分的学生对平均成绩影响更大，从而理解权的在讨论栏目过后，引出加权平均数。最好让学生将公式与小学学过的平均数计算公式做比较看看意义上是否一致，这样做利于学生把新旧知识联系起来，利于对加权平均数公式的理解，也利于理解“权”的意义。

示例2：人教版中的“数据的代表”，教学目标：1.加深对加权平均数的理解；2.会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题；3.会用计算器求加权平均数的值。教学重点：根据频数分布表求加权平均数。教学难点：根据频数分布表求加权平均数。难点的突破方法：首先应先复习组中值的定义，在七年级下册教材中已经介绍过组中值定义。因为在根据频数分布表求加权平均数近似值过程中要用到组中值去代替一组数据中的每个数据的值，所以有必要在这里复习组中值定义。教师应给学生介绍为什么可以利用组中值代替一组数据中的每个数据的值，以及这样代替的好处、不妨举一个例子，在一组中如果数据分布较为均匀时，比如教材探究问题的表格中的第三组数据，它的范围是41≤x≤61，共有20个数据，若分布较为平均，41、42、43、4...60个出现1次，那么这组数据的和为41+2+…+…+0=-1010。而用组中值51去乘以频数20恰好为1020≈1010，即当数据分布较为平均时组中值恰好近似等于它的平均数。所以利用组中值x频数去代替这组数据的和还是比较合理的，而且这样做的最大好处是简化了计算量。为了更好地理解这种近似计算的方法和合理性，教师可以让学生去读统计表，体会表格的实际意义。

示例3：在人教版初中数学“方差”教学过程中，“方差”的主要教学目标是：1.了解方差的定义和计算公式。2.理解方差概念的产生和形成的过程。3.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。教学重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。教学难点：理解方差公式。难点的突破方法：方差公式比较复杂，学生理解和记忆这个公式都会有一定困难，以致应用时常常出现计算的错误，为突破这一难点，教师可以安排几个环节，将难点化解。（1）首先应使学生知道为什么要学习方差和方差公式，目的不明确学生很难对本节课内容产生兴趣和求知欲望。教师在投课过程中可以多举几个生活中的小例子，不如选择仪仗队队员、选择运动员、选择质量稳定的电器等。学生从中可以体会到生活中为了更好地做出选择判断经常要去了解一组数据的波动程度，仅仅知道平均数是不够的。（2）波动性可以通过什么方式表现出来？第一环节中点明了为什么去了解数据的波动性，第二环节则主要使学生知道描述数据，波动性的方法。可以画折线图方法来反映这种波动大小，可是当波动大小区别不大时，仅用画折线图方法去描述恐怕不会准确，这自然希望可以出现一种数量来描述数据波动大小，这就引出方差产生的必要性。（3）第三环节教师可以直接对方差公式作分析和解释，波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到。所以方差公式是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量，教师也可以根据学生程度和课堂时间决定是否介绍平均差等可以反映数据波动大小的其他统计量。(www.xing528.com)

示例4：人教版初中数学“数据与统计”教学过程中，教师可以依托实践调查与思考进行教学。比如，教师给出一组数据，即课本上的例题，请学生根据上述数据回答问题：（1）该组数据的中位数是什么？（2）若当气温在18℃-25℃为市民“满意温度”，则我市一年中达到市民“满意温度”的大约有多少天？教学目标：1.进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表。2.通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异。3.能灵活应用这三个数据代表解决实际问题。教学重点：了解平均数、中位数、众数之间的差异。教学难点：灵活运用这三个数据代表解决问题。难点的突破方法：首先应复习平均数、众数和中位数的定义，将这三者进行比较，归纳三者的各自特点，以保证学生在应用过程中不致盲目乱用。以下是这三个数据代表的异同。平均数、中位数和众数都可以作为1组数据的代表，主要描述1组数据集中趋势的量。平均数是应用较多的一种量。另外要注意：平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端值的影响较大。众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势，中位数的计算很少也不受极端值的影响。平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动。中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势。实际问题中求得的平均数，众数，中位数应带上单位，例题的讲解要到位，分析要清楚，既要讲明白例题，也要使学生通过这个例题知道怎样去应用这三个数据代表分析问题，具体的注意事项将在练习题的意图分析中介绍。

示例5：人教版数学九年级下册中的“统计和概率的简单应用”，这一章教学内容非常贴近生活，主要学习的内容分为6小节：中学生的视力情况调查、货比三家、统计分析帮你预测、抽签方法合理吗、概率帮你做估计、收取多少保险费才合理。可见，如今数学课本知识与生活的联系越来越强，已经不再只是专注于数学理论知识和解题方法，而是越来越注重以人为本的教学模式，让学生在学习过程中将调查视力、买东西的价格、预测生活中一些情况、抽签等实践性内容与数学中的统计与概率联系起来，从学习中了解生活，将现实生活渗入数学学习，提高学生的数学核心素养。教师在教学这一课时，应该深入贯彻目前的以人为本教育理念，让以人为本的课堂助力学生减负增效。组织学生通过课题活动运用统计、概率知识来帮助自己做出估计、判断和决策。比如，教师组织学生调查本校九年级学生的课外阅读情况，包括短期内的阅读时间、速度和长期的阅读情况，在此过程中，学生首先需要制定一个调查方案，确定调查的方式、对象和时间，然后对调查收集的数据进行整理、描述、分析，获取相关信息，提出合理的建议。对于这个课题，学生通过分析最终获得的完整数据，可以得出本校九年级学生的近视情况，与学生的生活习惯、学习习惯和使用电子设备的习惯等联系起来，便可以得出这些主要因素与近视或者近视程度的联系，进而提出一些有效的建议，针对本年级学生的近视情况，帮助他们缓解近视、避免近视。