行为经济学：如何理性决策投保

这里用一个案例来说明标准经济学中是否足额投保的理性保险决策。假设张三的效用函数为U（W），目前拥有的总财富为W0。张三有一处房产，该房产面临火灾风险，房产重建造价为L。火灾发生概率为p，一旦发生火灾，张三将遭受全损，损失为L。

需要说明的是，这里仅分析足额投保与否的选择，即假定保险公司只销售足额保险（类似于现实中汽车损失保险的投保决策）。因此，在本例中，张三只有两个行动方案可供选择：一是向保险公司投保，保险金额为L；二是不向保险公司投保。

1.保险公司仅收取纯保费时的投保决策

假定保险公司仅收取纯保费，纯保费等于火灾风险的期望损失pL，张三该如何选择呢？

按照理性风险决策理论，张三需要将投保和不投保这两个方案的期望效用进行比较，选择期望效用较大的方案。保险决策及其后果可以用收益矩阵来描述，矩阵中的每一行对应的是可供决策者选择的各种行动方案，每一列对应的是可能发生的自然状态，每个单元格的内容是由某一行动方案与某一自然状态共同决定的张三的财富水平。张三投保决策的收益矩阵如表3－1所示。在发生火灾且投保的情况下，张三的财富水平之所以是W0－pL，是因为损失L被保险公司的赔偿完全抵消掉了。

表3－1　张三投保决策的收益矩阵

方案“不投保”和“投保”的期望效用分别为：

在张三的效用函数是凹函数（即边际效用递减）的情况下，根据詹森不等式E[f（x）]＜f[E[X]]，任何凹函数f（x）的期望值总是小于X的期望值的函数值，所以，不投保的期望效用小于投保的期望效用。

EU（不投保）＜EU（投保）

这说明，如果保险公司仅收取纯保费，理性的张三会选择投保。

可以用效用函数图形来描述上述方案选择，图3－3为张三的边际效用递减的效用函数，横轴表示财富W，纵轴表示不同财富水平对应的效用U（W）。按照上述计算，在保险公司仅收取纯保费的情况下，张三不投保时的期望效用为B点的效用水平，投保时的期望效用为C点的效用水平。显然，投保的期望效用大于不投保的期望效用，所以，张三的理性选择是投保。

图3－3　张三的效用函数及投保决策

2.保险公司收取附加保费时的投保决策

接上例，正是由于张三投保的效用大于不投保的效用，保险公司可以在纯保费之上再向张三收取一些附加保费，只要保证附加保费不要大到使张三的选择改变为止。于是，在附加保费不高的情况下，张三的理性选择仍然是投保。(www.xing528.com)

从表3－1最后一列可以看出，在保险公司仅收取纯保费的条件下，张三在投保和不投保两种方案下的财富期望值其实是相同的，均为W0－pL，那张三为何会选择投保呢？根本原因就在于张三是风险厌恶的，正是张三对风险的厌恶使得张三在投保时的效用相对较大，使得张三愿意在纯保费之外支付风险溢价——附加保费，从而使得保险公司也有利可图，使保险交易真正达成。

保险公司最大可以收取多少附加保费呢？如图3－3所示，如果保险公司在纯保费pL基础上收取附加保费，则，当总保费为W0－WD时，张三选择投保和不投保两种方案的期望效用相等。所以，DB的长度对应着保险公司可以收取的最大附加保费水平，或者说，只要保险公司收取的附加保费低于W0－pL－WD，张三的理性选择就是投保。

3.影响理性消费者支付附加保费高低的因素

显然，个体的风险厌恶程度越大，愿意支付的附加保费越高。

更具体而言，首先，从边际递减的效用函数可以看出，相同的人，财富水平越高，风险厌恶程度越低，面对同样大小（损失分布相同）的风险，个体愿意支付的附加保费越低。

其次，相同的人，面对期望损失相同，但标准差不同的风险，风险厌恶程度不同。通常，标准差越小（概率越高、损失额越低），风险厌恶程度越小，愿意支付的附加保费越低。如图3－3所示，个体愿意支付的最大附加保费为BD，当我们在不改变期望损失的条件下提高出险概率、降低损失额后，初始财富状态A保持不变，E点会沿着效用函数曲线向右上移动，AE的斜率会下降，导致BC和BD都会缩短。BD缩短意味着个体愿意支付的附加保费减少。

4.数字化的例子

假设张三的效用函数为，目前拥有的总财富为100万元。张三有一处房产，该房产面临火灾风险，火灾发生概率为1/5 000，一旦发生火灾，张三将遭受损失50万元。在面临火灾风险的情况下，张三有两个行动方案可供选择：一是向保险公司投保，保险金额为50万元，假定保险公司仅收取纯保费；二是不投保。

张三该如何选择呢？按照理性风险决策理论，张三需要将投保和不投保这两种方案的期望效用进行比较，选择期望效用大的方案。张三面临的收益矩阵如表3－2所示。

表3－2　张三投保决策的收益矩阵　单位：元

则，方案“不投保”和“投保”的期望效用分别为：

EU（不投保）＜EU（投保）

理性的张三将选择投保。根据上一部分中提到的计算最大附加保费的方法，已知张三的效用函数为，张三愿意支付的最大附加保费为：

999 900－[EU（不投保）]2＝999 900－999 880＝20（元）

即，只要保险公司收取的保费不超过120元（纯保费100元加最大附加保费20元），理性的张三将会选择投保。