初中数学：公倍数与最小公倍数

问题1 小明和他的表哥隔一段时间会去看望外公.小明住得近，每3天去一次，表哥住得远，每7天去一次.已知2020年5月1日小明和表哥在外公家遇见，那么下一次在外公家遇见是什么时候？

这个问题可以转化为求3和7的最小的公有倍数.

所以从上图中可以看出，5月22日小明和表哥又一次在外公家遇见.

几个整数公有的倍数，叫作它们的公倍数（common multiple），其中最小的一个叫作它们的最小公倍数（least commonmultiple）.

想一想 （1）5和6的最小公倍数是多少？

（2）从中你发现了什么？

（3）两个整数的公倍数有多少个？最小是多少？最大是多少？

问题2 （1）3和15的最小公倍数是_____________；

（2）18和36的最小公倍数是_____________；

（3）8和9的最小公倍数是_____________；

（4）8和15的最小公倍数是____________.

通过求这四组数的最小公倍数，你发现什么规律了吗？

如果两个整数中一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数.如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数.

问题3 如18和30，这两个数既不是倍数关系，也不互素，那么如何求这两个数的最小公倍数呢？

例1 求18和30的最小公倍数.

解法1 枚举法.

例1通过枚举可知18和30的公倍数有90，180，270，….所以18和30的最小公倍数是90，而它们的公倍数是90的倍数，用字母表示这个公倍数为90n（n为正整数）.

由上图可知，18和30的最小公倍数是90.

解法2 分解素因数法.

如图，只要取出18和30的所有公有的素因数（1个2和1个3），再取各自剩余的素因数（3和5），将这些数连乘2×3×3×5，所得的积90就是18和30的最小公倍数.

所以2×3×3×5=90，18和30的最小公倍数是90.

求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数.

解法3 为了简便，分解素因数的方法可以用短除法来表示.

18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90.

讨论：分析本例中每个方法的优劣，并说一说什么情况下用哪种方法恰当.

解法3短除法中，左边的除数2和3是18和30公有的素因数，3和5是取出公有的素因数后各自剩余的素因数，它们应是互素的.

例2 求36和96的最小公倍数.

解

36和96的最小公倍数是2×2×3×3×8=288.

由例2可得到结论：两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积.

例3 求8，12，30的最小公倍数.

解

8，12，30的最小公倍数是2×2×3×2×1×5=120.(www.xing528.com)

例3短除法在得到商是4，6，15时，虽然它们除了1没有公有的素因数，但求三个及三个以上整数的最小公倍数与求最大公因数略有不同，应除到它们两两互素为止.

求三个整数的最小公倍数，先取它们所有公有的素因数，

再取其中两数公有的素因数，最后取出各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这三个数的最小公倍数.

例4 求24，30，60的最大公因数和最小公倍数.

解

例4求公因数、公倍数时，注意求三个数的最大公因数与最小公倍数的区别，先找出三个数公有的素因数2和3，得到商4，5，10，再找出其中两个商公有的素因数，直到两两互素为止.

由此也可以得到，三个两两互素的数的最小公倍数是这三个数的乘积，如7，8，9的最小公倍数是

7×8×9=504.

例5 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是180，求这两个数.

解 分解素因数法：

180=2×2×3×3×5.

12可以写成互素的两个数1和12或3和4的乘积，

1×15=15，12×15=180；3×15=45，4×15=60.

所以这两个数分别是15，180或者45，60.

例5也可用短除法求解.

练习1.8

1.如果两个整数a 和b互素，那么这两个数的最小公倍数是________.

2.已知A=2×3×3×7，B=2×2×3×3，则A和B的最小公倍数是________.

3.若整数a是整数b的倍数，则a和b的最小公倍数是________.

4.A和B都是正整数，将它们分解素因数得：A=3×5×a，B=3×7×a，如果A和B的最小公倍数是315，那么a=________.

5.m和m+1（m是正整数）的最小公倍数是（ ）.

A.1B.mC.m+1D.m（m+1）

6.若a与b互素，c是a的因数，则a，b，c的最小公倍数是（ ）.

A.aB.abC.acD.abc

7.在100以内的正整数中，8与12的公倍数有（ ）.

A.2个B.3个C.4个D.5个

8.一个三位数除以6的余数是5，除以8的余数是7，除以9的余数是8，这样的三位数最小是多少？

9.求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：

（1）72和90； （2）10，12和15； （3）20，24和32.

10.已知两个互素数的最小公倍数是216，且这两个数都是合数，求这两个数.

11.两个数的最小公倍数是120，最大公因数是4，求这两个数.