想一想 如何求一个正整数的所有因数？
例如：如何找出64和90的所有因数呢？
我们可以用64分别除以1，2，3，4，5，…，一直除到除数和商是同一个数时结束.另外，根据前面的学习，我们知道64不是3的倍数，也不是5的倍数，所以我们就不用去除以3和5.于是我们有64÷1=64，64÷2=32，64÷4=16，64不能被6和7整除，接着，64÷8=8.现在就不用往下除了，在这些算式中我们就可以找出64的所有因数：1，64，2，32，4，16，8（也就是算式中的除数和商）.
同样，找90的因数时，我们有90÷1=90，90÷2=45，90÷3=30，90÷5=18，90÷6=15，90÷9=10，90÷10=9.这时除数和商交换位置了，我们就不用往下除了.
从以上方法我们可以看出，找一个数的所有因数，就用这个数从1开始去除，一直除到除数和商相同或交换位置，这些算式中的除数和商就是这个数的所有因数，重复的因数只写一个.
我们还可以用乘法算式的方法来找某些数的因数.例如：找出24的所有因数，我们就想哪两个数相乘的积是24：1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24.所以24的所有因数是1，2，3，4，6，8，12，24.
既然我们会求一个正整数的所有因数，那么一个正整数有几个因数呢？
找一个数的所有因数的方法不止我们现在介绍的这些，在随后的学习中，我们还有新的方法.
问题1 下列每个数各有几个因数？
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，…
因数只有一个的整数是__________________________________ .
因数有两个的整数是_____________________________________ .
因数有两个以上的整数是________________________________ .
一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作素数（primenumber）；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫作合数（compositenumber）.
例如：2，3，5，7，11，13，…都是素数；4，6，8，9，10，12，14，15，16，…都是合数.
从素数和合数的定义我们可知，素数的因数只有2个，合数的因数多于2个.
我们知道1只有它本身这一个因数，因此
1既不是素数，也不是合数.
之前我们学习过正整数按能否被2整除可以分为奇数和偶数，由以上可知正整数还可按因数个数分为1、素数和合数这三类.
注意：在素数中，2是唯一的一个偶素数，而奇素数却有无限多个.
因数和倍数、素数和合数、奇数和偶数是不同的概念，要注意区分.
试一试 判断题（正确的在题后的括号里打“√”，错误的打“×”）.
（1）一个合数至少有3个因数.（ ）
（2）一个正整数不是素数就是合数.（ ）
（3）5的倍数一定是合数.（ ）
（4）所有的奇数都是素数.（ ）
（5）所有的素数都是奇数.（ ）
（6）所有的偶数都是合数.（ ）
（7）除了2以外任何一个正偶数都是合数.（ ）
（8）大于2的素数必为奇数.（ ）
问题2 奇数与素数、奇数与合数、偶数与素数、偶数与合数之间有什么区别和联系吗？
例1 判断21，31，43，57，85和91是素数还是合数.
解 21的因数有1，3，7，21；
31的因数有1，31；
43的因数有1，43；
57的因数有1，3，19，57；
85的因数有1，5，17，85；
91的因数有1，7，13，91.
通过检查每个数的因数的个数，可以知道31，43是素数，21，57，85，91是合数.
可以利用我们之前学习的整除的特征来判断：
21，57都能被3整除，所以除了1和它们本身这两个因数外，还有因数3，所以21，57是合数.
同样，85能被5整除，所以85也是合数.91是7的倍数，所以91也是合数.
思维拓展
通过上面的例题，我们如何判定一个正整数是素数还是合数呢？
素数的判定：
（1）查表法(www.xing528.com)
要判断一个数是不是素数，可以查看素数表.如果表内有这个数，那么它就是素数，否则就不是素数.
素数表的制作，可以用筛选法.同学们，下面让我们一起来制作100以内的素数表吧！
学习活动卡
表1-1是100以内的正整数.
表1-1 100以内的正整数
（1）1既不是素数也不是合数，故把1先划掉.
（2）剩余数中的第一个数2是素数，把它留下.把2后面所有2的倍数即偶数全部划掉.
（3）2后面第一个数3是素数，把它留下.把3后面所有3的倍数全部划掉.
（4）3后面没有划去的第一个数5是素数，把它留下.再把5后面所有5的倍数全部划掉.
……
这样继续下去，所有留下的素数就组成一张100以内的素数表.
同学们，请将你筛选出的100以内的素数填入表1-2.
表1-2 100以内的素数表
观察你制作出的素数表，你能总结出100以内的素数表的特点吗？
（2）试除法
如果没有素数表，可以用试除法来判断.
例如：判断197是不是素数.根据能被2，3，5，7，11，13整除的数的特征，我们可以判定197不能被2，3，5，7，11，13整除，接下来用17去试除：197÷17=11……10.此时商11比除数17小，说明197不可能有两个比17大的因数.如果197能被比17大的素数整除，那么所得的商一定比17小.但通过试除，比17小的素数都不是197的因数.因此我们可断定197只有1和它本身两个因数，即为素数.
又如：判断167是不是素数.通过试除我们知道167不能被2，3，5，7，11整除，接着我们用13去试除：167÷13=12……11.因为商12＜除数13，且有余数，所以167是素数.
像上面这种判断一个数是不是素数的方法就是试除法.用由小到大的素数一个个去除，如果发现所给的数能被某一个素数整除，那么它就是合数；如果除到商比除数小还未能整除，就可断定所给的数是素数.
给定一个正整数，我们可以先根据经验，以及学习过的能被2，3，5，7等数整除的数的特征来试着判断一下它是否为合数，然后再考虑用查表法和试除法来判断它到底是合数还是素数.
练习1.5
1.在自然数1到20中，
（1）奇数有_________________，偶数有_____________________ ；
（2）素数有________________，合数有_____________________ .
2.在正整数中，
最小的素数是________，最小的合数是________，
最小的奇数是________，最小的偶数是________.
3.把30表示成2个素数的和________.
4.一个长方形的周长是16，且长和宽都是素数，则这个长方形的面积是________.
5.既是60的因数又是素数的有_______________.
6.在正整数中，1是（ ）.
A.最小的奇数B.最小的偶数
C.最小的素数D.最小的合数
7.在正整数中，4是（ ）.
A.最小的奇数B.最小的偶数
C.最小的素数D.最小的合数
8.判断题（正确的在题后的括号里打“√”，错误的打“×”）.
（1）素数与素数的积一定是素数.（ ）
（2）能被1和它本身整除的数都是素数.（ ）
（3）两个素数的和一定是偶数.（ ）
（4）任意一个正整数至少有两个因数.（ ）
9.已知两个素数的和是40，求这两个素数乘积的最大值.
10.自然数123456789是素数还是合数？
11.连续九个自然数中至多有几个素数？
12.面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽都是合数，则这个长方形的周长可能是多少厘米？
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