问题1 我们已经学习了能被2，5整除的数的特征，那么你知道能被3整除的数有什么特征吗？
下列整数能否被3整除？
3，9，12，21，36，39，42，54，72，96，111，150，252，312，462，555，7740.
请归纳出能被3整除的数的特征.
各个数位上的数字之和是3的倍数的整数能被3整除.
能被3整除的数可以用3n（n为正整数）表示.
问题1 我们知道，能被3整除的数的特征是各个数位上的数字之和是3的倍数，那么能被9整除的数有什么特征呢？是否也有类似的结论？
观察9的倍数：9，18，27，36，45，54，63，72，81，90，…，这些数有什么特征？
因为9=3×3，则能被9整除的数一定能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除.
如果一个整数各个数位上的数字之和是9的倍数，那么这个整数能被9整除.
能被9整除的数可以用9n（n为正整数）表示.
例1 一个三位数，它的个位上的数字是7，十位上的数字是5，且它能被3整除，则这个数百位上的数字是多少？
解 因为能被3整除的数的特征是各个数位上的数字之和是3的倍数，且7+5=12，12是3的倍数，而百位数字不能等于0，所以百位数字为3，6，9.
例2 在□17□的方框内分别填上哪些数字，能使得这个四位数字能同时被2，3，5整除？这样的四位数有多少个？
解 因为这个数能同时被2和5整除，所以个位上的数字是0，从而百位上的数字、十位上的数字和个位上的数字之和为1+7+0=8.又因为这个数还能被3整除，所以根据能被3整除的数的特征，可知千位上的数字可以是1，4，7.所以这样的四位数有3个.
因为6=2×3，所以能被6整除的数既能被2整除也能被3整除.
因为30=10×3，所以能被30整除的数既能被3整除又能被10整除.
想一想 （1）能被6整除的数满足什么特征？
（2）能被30整除的数又满足什么特征呢？
我们进一步探究，还可以得到检验一个整数能否被7，11，13整除的方法：
将一个四位数以上的整数分成“末三位数”与“末三位数前面的数”，然后求得它们的差（大数减去小数），若这个差能被7（11或13）整除，那么这个整数必能被7（11或13）整除，如果差太大，就需要将得到的新数（即前面提到的差）重复经历上述过程，直到能清楚判断为止.
检验一个小于四位数的整数能否被7整除，可以用如下方法：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数字的2倍，如果差是7的倍数，则这个整数能被7整除.如果差太大，就需要重复上述（截尾、倍大、相减、验差）的过程，直到能清楚判断为止.
例3 判断数78050能否被7整除.
解 将78050拆成两个数相减：78-50=28.
∵28是7的倍数，
∴78050能被7整除.
检验一个小于四位数的整数能否被11整除，可以用如下方法：
若一个整数的奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则这个整数能被11整除.（此方法同样适用于较大的数.）我们把此方法称为“奇偶位差法”.
练习1.4
1.整数986________被3整除（填“能”或“不能”）.(www.xing528.com)
2.整数30300________被3整除，________被9整除（填“能”或“不能”）.
3.整数201915________被7整除（填“能”或“不能”）.
4.整数10813________被11整除（填“能”或“不能”）.
5.整数2663________被13整除（填“能”或“不能”）.
6.用2，0，5，8组成一个四位数（每个数字只能使用一次），同时能被2，3和5整除，请写出所有情况.
7.六位数5□4321能被21整除，□中应填什么数字？
8.用1，2，3，4，5，6，7这7个数字组成没有重复数字且能被11整除的七位数，最大的七位数与最小的七位数的差是多少？
9.一个五位数□236□能被63整除，这个五位数是多少？
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对能被3，4，9整除的数的特征的进一步探索
通过前面的学习，我们知道：
各个数位上的数字之和是3的倍数的整数能被3整除.
字母与数字相乘，我们习惯省略乘号，且数字写在字母前面.例如：a×10我们习惯写作10a.
那么为什么各个数位上的数字之和是3的倍数的整数就能被3整除？
如果这个数是一位数，结论显然成立.
四位数、五位数、六位数……推导方法类似.
这样我们就说明了如果一个正整数各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就能被3整除这个结论的正确性.
那么对于结论：
各个数位上的数字之和是9的倍数的整数能被9整除.
我们又怎么说明它的正确性呢？
两位数、四位数、五位数……类似推导.
这样我们也说明了各个数位上的数字之和是9的倍数的整数能被9整除这个结论的正确性.
那么对于能被4整除的数的特征，我们又如何说明它的正确性呢？
这样我们就说明了以下结论的正确性.
如果一个整数的末两位数能被4整除，那么这个数就能被4整除.
同理，我们还能得到能被25整除的数的特征：
如果一个整数的末两位数能被25整除，那么这个数就能被25整除.
同学们，通过以上的学习你能探索出能被8或125整除的数的特征吗？不妨试一试！
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