数学教学中使用思维导图的教学设计

（一）“函数、导数及其应用”的教学内容分析

1.“函数、导数及其应用”教学内容的选择

“函数是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用：函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切；函数概念及其反映出的数学方法已广泛渗透数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础；函数的概念是运动变化、对立统一等观点在数学中的具体体现。”“随着对函数研究的不断深化，产生微积分，它是数学发展史上具有划时代意义的伟大创造之一，被誉为数学史上的里程碑。”“导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最值等问题的有效工具，因而也是解决运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具。”

上面的文字分别选自人教版必修1的第一章、选修2-2第一章的章头引言。如同文字的叙述，函数及其导数在高中数学中的地位是不可代替的，因此在高考中所占的比例最大，并且是高考命题的热点。以导数为工具解决函数问题的题型，是每年全国卷的压轴题，并且命题越来越重视考查思维含量，以检验学生对重点知识的掌握情况以及应用知识解决问题的能力，进而检测学生进入高校的后续学习能力。2017年的考试大纲特别提出了高考要注重基础性、综合性、应用性、创新性，这就意味着2017年的考题会尽可能设计在知识交汇处，在新颖的背景下让学生辨认出相关知识，再用通法解决问题的题目。其实，这样对学生的要求高了，题海战术会越来越显示出弊端，我们必须科学复习，让学生领悟知识的真谛，而不是靠刷题去掌握一些典型题目的固定解法。

因此，我们选择“函数、导数及其应用”作为实验内容，依据思维导图的相关教学理念以及一轮复习的特点，设计出基于思维导图的一轮复习方案。“函数、导数及其应用”共包括一二节内容，即“函数及其表示”“函数的单调性与最值”“函数的奇偶性与周期性”“二次函数与幂函数”“指数与指数函数”“对数与对数函数”“函数的图像”“函数与方程”“函数模型及应用”“变化率与导数及导数的计算”“导数的应用”“定积分与微积分基本定理”。比较而言，“函数的单调性与最值”“函数的奇偶性与周期性”“一次函数”“导数的应用”比较重要，也是难点。

2.“函数、导数及其应用”教学内容的分析

第二节是“函数的单调性与最值”。函数的单调性是函数最重要的性质之一，知道了函数的单调性及单调区间，就知道了函数的最值，也能大概画出函数的图像。单调性的定义是继函数定义后的又一难点。新课是从观察函数的图像出发，总结出函数单调性的符号表示，进而能用定义去判断函数的单调性或者求函数的单调区间。高考对单调性的要求较高，因此在一轮复习中，不仅要会用定义去判断，证明函数的单调性，还要深入、全面地领悟它的内涵，熟悉它变形之后的几种形式，拓展对单调性的研究，以便在考试中加快解题速度。数形结合依然在本章发挥着重要的作用，要会用基本初等函数的性质分析函数的单调性与最值，知道一些基本的单调性运算法则以及复合函数的单调性复合原则。

第三节是“函数的奇偶性与周期性”。函数的奇偶性是函数对称性的特例。研究对称性可以使函数的研究事半功倍，它在新课中的教学方法与单调性一样，观察图像得出代数特征，通常学生能够记住f（-x）=f（x）或者f（-x）=-f（x），但可能对它的本质特征了解得不够透彻，容易忽略函数方程中所蕴含的定义域要求。因此，在一轮复习中可以先从函数的对称性复习，复习函数是轴对称和中心对称图像的充要条件的代数表示。再将函数奇偶性的代数表示纳入其中，这样学生会更深刻地认识函数的本质特征。如果遇到对称函数平移之后，也能写出它的特征方程。周期函数的概念是在必修4“三角函数”一章才出现的，其实周期函数不只是三角函数，而且多重对称的函数会是周期函数，因此将周期性的概念放在本章研究，要了解函数周期性的概念，会求简单函数的最小正周期。另外，在高考中也会出现函数奇偶性、单调性、对称性的结合。

第四节是“二次函数与幂函数”。在人教版必修1的数学教材中，幂函数是放在对数函数之后学习的一类函数模型。二次函数是初中学习的内容，但从高考来看，二次函数作为幂函数中的一种特殊函数，是考查的重点，因为二次函数能够很好地考查函数的单调性、对称性等性质。而初中对这一块的学习基本停留在描点画图阶段，学生对二次函数的知识掌握得不够系统，因此在一轮复习中要把二次函数纳入幂函数模型中，作为一块重点的内容复习。幂函数的教学在新课中给出了五种有代表性的函数，这五种函数的画法、性质都需要熟练掌握，还要从这五种拓展到幂函数的性质，特别是单调性与函数图像的画法。由于在学习指数函数与对数函数之后会做与二次函数复合的函数问题，因此二次函数与幂函数的复习放在指数函数与对数函数之前。

第十一节是“导数的应用”。这一节是本章乃至整个高中数学课程的重点。本节分成三个课时：第一课时是“导数与函数的单调性”，导数在高中数学中的主要用途就是研究单调性，而课本中对于导数和单调性的关系解释得并不是很清楚，因此本节要从充分条件、必要条件及充要条件的角度让学生探讨两者之间的关系，并且规范求函数单调性的步骤。第二课时是“导数与函数极值、最值”，极值是课本中的一个新概念，学生易将取极值的必要条件当作充要条件，因而导致增根或者不检验直接得出答案，因此求极值的题目应当在理解极值定义的基础上运用单调性进行求解。而且，理解极值是局部概念，极大值不一定比极小值大；而最值是整体概念，最值的求解只需求出极值和端点值进行比较。因此，这两节层层递进。第三节是“导数的综合应用”，本部分内容在全国卷中是压轴题，虽然笔者所在学校的学生基础较差，但需要认真对待，因为本节的题目含有较多的数学思想方法以及解决问题的策略。因此，学生在分析、反思这些题目时，思维会得到训练，并且对函数题型的领悟会有利于整体数学水平的提高。

（二）“函数、导数及其应用”的教学流程

基于对本章教学内容的分析，本着一轮复习要夯实基础的原则，让课堂教学成为师生思维碰撞的重要方式。本章的教学流程包括以下五个环节：

1.立足课本，整体规划

在复习本章的内容之前，应当让学生先绘出思维导图。高一学习的内容在高三时肯定会有遗忘，让学生绘图既能检验学生对知识的掌握程度，又能提前预习，有利于提高课堂效率。课本是学生学习的依据，因此任何复习都应该紧扣课本，重视课本中的概念、定理、法则、典型例题，注重知识的重组与概括。本章的思路是函数的概念—性质—具体函数—函数应用。学生对知识的整理可能是无序的、凌乱的，或者有许多遗忘的地方。教师要根据学生绘制的图发现问题，并及时纠正错误或者不完善的地方，从而帮助学生构建一个完整有序的章节知识体系图。图8-7展示了“集合与函数”的教学准备内容，以引导学生对本章的知识有一个宏观的认识。

图8-7　“集合与函数”思维导图

2.研析考纲，主次分明(www.xing528.com)

一轮复习中对知识掌握的程度要求是以考纲为依据的，因此要带领学生研析考纲，考纲中通常会出现“了解”“理解”“掌握”等词，首先要知道这些词是什么意思。

“了解、知道、初步认识”：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。

“理解、认识、会”：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。

“掌握、能”：在理解的基础上，把对象用于新的情境。

“运用、证明”：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。

3.分节复习，夯实基础

在学生对整章知识有了一个框架的掌握，对考纲也有了透彻的研究之后，再对每一节进行复习，绘制每一节的思维导图。在绘制思维导图时要注意以下两点：

图8-8　“单调性和最值”思维导图

4.活用知识，领悟本质

高考对知识的考查是以题目为载体的，因此在基于思维导图的一轮课堂教学中，要注重活用知识，从而提高学生的解题能力。解题，其实就是在条件与结论之间建立联系，所以要引导学生首先要会用自己的语言重述题意，将题目中的每一个条件与自己头脑中的相关知识建立联系，寻找解决问题的方法，并注重题后的检验、反思。

5.典例反思，提高能力

为了提高学生复习的效率，避免“题海战术”，教师要重视学生对题目，特别是错题的反思，这样不仅可以完善学生的知识体系，还可以帮助学生养成独立解决问题的习惯。在课上，教师需要花些时间引导学生从不同角度进行反思，最初可能会耽误一些时间，但习惯养成之后就会事半功倍。