解题反思过程指导及思维导图应用

解题训练是数学复习一个必不可少的环节。通过解题训练，能使学生的基础知识应用得更熟练，理解得更深刻，并学会一些解决问题的通性通法和技巧，以积累解题经验。但很多时候师生都陷在了题海里，为做题而做题，头脑中只有典型题目、典型解法。这种事倍功半的做法让师生都痛苦不堪，学生做了大量的题目，但还是不会分析问题。教师也经常抱怨一类题目做了多次，但稍微一变学生就不会做；一种错误已经更正了，但多数学生仍然会犯。要想解决这些问题，就需要教师精选题目，组织学生科学训练，更重要的是，让学生在做完题后进行反思，这样才能发挥练习的最大功用。解题反思就是要对问题中所涉及的知识、方法、思路、策略进行科学的分析。反思不仅仅是一般性的回顾或重复，而是为了更好地提高学习效率，重在知识的深入理解、掌握和解决问题能力的提升。可以利用思维导图的发散性探索解题思路进行解题后的反思。探索解题思路的思考过程可以用思维导图形象地画出，如图8-1所示。

图8-1　探索问题解决思路的思维导图

然后，使用思维导图结合具体的例子教会学生反思。那么，在做题后该如何反思，反思些什么呢？喻平教授认为，解题后的反思主要是从检验、内省、总结、拓展四个层面进行反思的。检验是指对问题解答过程的正确性进行复查。内省指在解题后，应反思自己的解题思路，总结解题规律，并发现自己在解题中显露出的知识能力的缺陷。总结是指在解题后，应对习题进行归纳、总结和类化工作。一方面，把类似的习题归成一类；另一方面，注意某些题目的应用，便于构成知识系列，同时培养自己的归纳、整理和应用知识的能力。拓展有两层含义：一是追求一题多解，并讨论各种解法的优劣，从而培养自己的发散思维；二是思考能否对问题进行变式、推广，这是个体形成命题域和命题系的有效途径。借鉴上述观点，笔者认为应从以下六方面指导学生进行解题反思：

第一，反思问题中涉及的知识内容。反思题目中用到了哪些概念、公式、法则、定理，以及这些数学对象是如何联系、整合在一起的，这些知识还有什么其他的考查方式等，从而使重要数学方法、公式、定理的应用规律化、条理化。这样，既可以复习这些基本概念，又可以找出哪些概念没有掌握，再对薄弱知识进行进一步学习。

第二，反思解题思路，如自己是怎么想的，教师和其他同学是怎样的思路。这些思路都可以用思维导图画出来，使抽象的思维可视化、直观化，而后可以通过导图与其他同学交流、讨论，比较优劣并完善自己的导图、优化自己的思维。

第三，反思与问题有联系的题目，回顾整个解题活动中曾经与哪些问题有过联系，即思考具体产生了什么联系？为什么会或可以产生联系，是与问题的知识、表述方式、图形等有联系，是与问题的方法、数学思想有联系，还是与问题的条件或结论有联系？所有这些联系之间能否概括出某种规律或经验？经过这样的联系对原问题就会有新的认识，从而起到举一反三、融会贯通的作用。

第四，反思题目变式，一题多变。比如，改变条件或结论，看问题有什么变化，解决问题的方法有什么改变；将当前的命题推广到一般情况，看有什么结论。

第五，反思解题方法和数学思想。解题方法是否简洁、严谨，题目有无其他方法？比较各种方法的优劣，并确定最优解法。反思问题涉及了哪些数学思想方法，这些思想方法是如何运用的，运用的过程中有什么特点，是否在其他情况下运用过，运用时有什么区别或联系，总结出规律，归纳出解决问题的一般方法来。

第六，反思题目应当注意易错的地方，反思结论是否正确。围绕一个问题进行反思的过程如图8-2所示。

图8-2　问题反思思维导图

下面，笔者就以圆锥曲线的一个典型问题为例具体绘图说明。(www.xing528.com)

图8-3　求解问题的思维导图

解题后的反思：反思题目变式，用弦长公式可以求任意曲线的弦长，包括圆、椭圆、双曲线、抛物线等，但需要注意的是，求圆的弦长有更好的方法，因为圆半径、半弦长、圆心距构成一个直角三角形。另外，在求抛物线的弦长时，如果弦所在直线经过焦点，则可利用抛物线的定义求弦长。在题目的解决过程中，用到了两点间的距离公式、直线、圆锥曲线、根与系数的关系等相关知识。求弦长的过程体现了方程思想，处理的是圆锥曲线与直线的位置关系中相交的问题。题目可以进行下面两种变式：

在解决问题的过程中还应注意，联立方程后，一元二次方程的判别式应大于0，这是隐含条件。另外，如需设出直线的方程，则应注意直线斜率不存在的情形的讨论。