数学基础知识复习整理|思维导图在数学教学中的应用

中学数学基础知识是指新课程标准中规定的代数、几何、微积分、概率与统计等的概念、定理、公式、法则、性质以及由内容所反映的数学思想和方法。其中，概念、定理、公式、法则、性质是陈述性知识；数学思想和方法属于程序性知识。数学基础知识与数学基本技能就是传统所讲的“数学双基”。笔者重在探讨利用思维导图对数学基础知识的复习整理，对于数学基本技能的复习在此不做探讨。

数学知识的本质就是概念与命题之间的内在联系，而思维导图能直观形象地表现由事实、概念、命题及原理构成的知识，将知识高度浓缩，将各种概念及其关系进行加工、概括，并以类似于人脑对知识储备的层级结构形式进行排列，即它注重学习者的知识建构，注重学习者理解数学概念的过程，强调从事物的关系中把握和拓展概念本身。它可以作为一种模板，帮助学习者组织、建构知识，并使之概括化、网络化，使学生学会学习，促进其陈述性知识向程序性知识转化，从而提高教学效果。思维导图将思维过程和知识结构用图的形式展示出来，可以更好地把握思维过程和知识的整体架构，以便于将新知识整合到已有的知识体系中。利用思维导图进行学习，能够使学习者更好地把握一门学科的结构，体现了建构主义学习理论的观点。

利用思维导图指导学生复习整理数学基础知识，应以教材知识的拓展加深，按知识的内在联系构建科学的知识网络体系，优化数学认知结构为目的。在具体复习整理时，教师应引导学生思考三个问题：一是知识的发生、发展过程；二是数学概念、公式和定理的归纳、概括和证明的过程；三是值得研究的问题以及解决问题方法的孕育、尝试和形成过程。既要从整体上表现概念中的各个组成部分的关系，突出重点和关键部分，也要从细节上把握局部知识。下面，笔者分别以概念、命题、数学思想和方法为例，对如何利用思维导图进行整理复习加以说明。

（一）利用思维导图指导学生对概念进行整理复习

数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，主要由原始概念和基本概念组成，是数学知识最基本的形式。要深入理解一个数学概念，可以从以下八个方面去认识：

第一，概念的相关背景，即知识的发生发展过程，来龙去脉。只有这样，学生对学到的数学知识才不会感到突兀，会认为它不是无中生有的，而是源于各种需要产生的。

第二，举出概念的典型正反例证、概念的特例及变式，以此来区分容易混淆的概念，把握概念内涵的各个方面，识别概念外延的不同表现形式，这样在应用概念时才不会张冠李戴。

第三，把握概念的各种表征形式（如代数表征、几何表征等）、概念的等价定义，并形成概念域，掌握其本质，这样学生就能够在概念的不同表征形式之间灵活转换，从而提高知识的迁移识别能力。

第四，思考上位概念是什么，下位概念是什么，与以前学过的哪些概念有内在联系，与之相似的概念要进行对比辨析，如方程与函数，不等式的区别与联系，方程的曲线与函数图像的关系等，以形成具有内在联系的、清晰可辨的概念体系。

第五，思考此概念常与哪些概念构成哪些命题，其中的关系怎样，能解决什么问题，具体步骤是什么，等等。

第六，概念本身蕴含的数学思想方法是什么，这些思想方法在解决问题时有什么指导作用。

第七，概念的类比是什么。常见的有二维到多维的推广，如平面上的概念推广到空间中，加法运算与乘法运算的类比，等比数列与等差数列的类比等。这样就拓广了概念的体系，加强了对概念本质的理解。

第八，概念的应用。概念的应用分为概念在知觉水平上的应用以及概念在思维水平上的应用。应通过设置不同层次、不同思维水平的题目来巩固概念，如设置一些简单题目测查对概念的识别，设置一些综合性题目考查概念在思维水平上的应用等。另外，一些典型的例题要找出来，还要注意概念在实际生活中的应用。

这样就从不同角度、不同层面上认识了概念，形成了一个概念系统，在应用概念解决问题时就容易展开联想，形成解题思路。(www.xing528.com)

因此，利用思维导图指导学生对概念进行整理复习时，首先应选择一个核心概念作为中心主题，然后从上述八个方面去思考并进行发散，当然不是每个概念都需要从这八个方面分别扩展。另外，在画图时应力争简洁、美观，多用图形、符号，鼓励学生采用个性化的表达方法，激发其创造性。对于分支概念，可以另画导图加以发散，这样既在整体上有了把握，也在细节上有了认识。学生在画完思维导图后要与同学交流，以便发现不足，进而加以改进。教师也要把绘制得比较好的导图在课堂上进行展示，并给予必要的反馈和评价，逐步让学生知道怎么绘制好的思维导图。现以人教版必修5第二章“数列”中的“等差数列”为例，以说明用思维导图对概念进行整理复习的方法。本章的主要内容有“数列的基本概念”“等差、等比数列的定义”“数列的通项”“数列的前n项和及有关性质”；在学习过程中涉及的主要数学思想有转化思想、方程思想和类比思想三种。

（二）利用思维导图指导学生对命题的复习

命题包括公理、定理、公式、法则等。数学命题是由数学概念组合而成的，反映了数学概念之间的关系。要理解一个命题，应从五方面入手：一是命题的起源或背景是什么，命题是为了研究什么问题产生的。二是命题的证明方法是什么，方法是如何想到的，其中蕴含着什么数学思想。三是构成命题的概念是什么，每个概念的含义都要弄清楚，还要明辨这些概念是什么关系。四是命题的表征，如代数表征是什么，几何表征是什么；命题的变式有哪些，命题的推论、命题的特例或推广是什么。五是命题的应用，即该命题能解决什么样的问题，还有哪些命题也能解决这种问题，这些命题与该命题有什么区别或联系。另外，命题应用的范围或条件是什么？下面，笔者以“余弦定理”和“基本不等式”两个内容说明用思维导图对定理、公式进行复习整理的方法。

1.余弦定理的复习整理

余弦定理是人教版必修5“解三角形”一章中的一个定理，产生于天文、航海和地理测量的需要，表达的是三角形边角之间的关系。余弦定理的证明方法有向量方法和几何方法两方面。其中，向量方法是用代数方法解决几何问题，蕴含着数形结合的数学思想方法；而几何方法，即构造直角三角形的方法，利用勾股定理和三角函数知识进行证明，蕴含着一般到特殊的思想方法。余弦定理有其符号表达式、变式，它是勾股定理在斜三角形中的推广，并且余弦定理在四边形和四面体中都有其推广定理，其中在四面体中的推广蕴含着类比思想。当然，定理的推广不需要学生掌握，可作为课下阅读材料。余弦定理可解决三类问题：①已知三角形的三条边长，可求三个内角；②已知三角形的两边及夹角，可求第三边；③已知三角形的两边及其一边对角，可求其他的角和第三条边。这三类问题的解决过程蕴含着边角转化的数学思想。另外，用余弦定理可判断一个角是锐角、直角或钝角，向量的数量积运算也有此作用，这一点可联系起来看，是知识之间横向联系的体现。余弦定理与正弦定理有着内在联系，应当对照学习。从证明方法到表达式再到应用，既要比较它们的不同，又要体会它们的共同之处。

2.基本不等式的复习

公式的学习要注意公式的引入、公式的推导、公式的串联、公式的变式、公式的特例、公式的几何解释、公式成立的条件或应用的范围、公式的应用、公式的推广，以及公式的推导过程中所揭示的思想方法等方面。基本不等式是人教版必修5第三章“不等式”的第四节，教材是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标引入的，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。基本不等式的证明方法是综合法，其符号表达式是，与之有关的几个不等式共同构成的不等式链。基本不等式可解决一些求最值的问题，但要注意应用的条件，即“一正，二定，三相等”，当不满足条件时就需要构造，变形使之符合条件，或者只能利用函数的单调性求最值。与基本不等式有着紧密联系的一个函数是双钩函数，可利用几何画板画出它的图像，让学生根据图像和解析式研究其性质。基本不等式的推广是，算术平均数不小于几何平均数。从以上几个方面来理解基本不等式就比较全面、比较到位了。

（三）利用思维导图对数学思想方法的复习整理

数学思想是指人们对数学理论和内容本质的认识，是一种隐性知识，渗透在概念、定理、公式、法则等显性知识中，是联系数学知识的纽带，它能将孤立、分散的知识串联起来，形成一个整体，便于将不同领域的数学知识联系起来，使数学知识的结构更加紧凑。数学方法则是数学思想的具体化形式，具有可操作性。实际上，两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题，在中学阶段没有必要区分数学思想和数学方法，通常混称为“数学思想方法”。数学思想方法应用范围广、迁移性强，影响着概念、定理、公式和数学基本技能的掌握和融会贯通。数学思想方法是数学的一种指导思想和普遍适用的方法，对人们提出、解决数学问题具有指导作用。

高中数学所涉及的数学思想方法主要有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想、微分与积分思想、概率与统计思想、集合对应思想、用符号代替数的思想等。中学数学中的基本数学方法有三种：一是数学中常用的求解方法，如配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法、构造法、数学模型法等；二是数学中的重要推理方法，如综合法与分析法、完全归纳法与数学归纳法、演绎法、反证法与同一法；三是数学中的几种重要科学思维方法，如观察与尝试、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、比较与分类、归纳与类比、直觉与顿悟等。

对于数学思想方法的教学，首先，教师要注意在平时基础知识的教学中多次渗透，深入挖掘蕴含在数学教材内容中的思想方法并加以揭示；其次，在知识的形成过程，特别是定理、性质和公式的推导过程以及习题的求解过程中，渗透基本的数学思想方法；再次，在小结复习的教学过程中揭示、提炼与概括数学思想方法；最后，还需要加强数学思想方法的训练与应用。

复习阶段主要是总结、提炼和揭示渗透在某知识块中的数学思想方法，并提供一些需要应用这些数学思想方法去解决的问题。利用思维导图对数学思想方法进行复习整理，就是要把本部分知识所蕴含的数学思想方法概括提炼出来，使之显性化。在整理时以“数学思想方法”为主题中心词。首先，思考本章都有哪些思想方法，每一种思想方法作为思维导图的一个分支；其次，思考每一种思想方法的内容，以及它们蕴含在什么知识或问题的解决过程中，有哪些具体应用的例子；再次，思考这些数学思想方法是否在以前的哪部分数学内容中出现过，在这部分内容的具体应用的例子是什么；最后，归纳、总结每一种数学思想方法的内涵、应用的情景、具体如何用等。因为数学思想方法非常抽象，难以把握和概括，所以在整理时教师的指导很关键，教师应结合具体的例子揭示一些数学思想方法的内涵，并给出一些问题引导学生去思考，让学生在教师的指导下独立地总结出这些思想方法来。另外，教师还需提供一些问题，并让学生应用其整理出的数学思想方法去解决，以进一步加深对这些思想方法的理解。