数学教学中使用思维导图

“章”是按照教材编排所呈现的“章”。“章”型核心知识导图中包含有“节”型导图的全部内容，是比“节”型核心知识导图更加丰富、更具有整合性的知识体系。在对“章”型知识体系进行建构时，需要梳理的知识点更多，知识之间的关系也更复杂、更紧密，能够突出知识的统摄性和整合性功能。因此，通过对各章的知识内容进行梳理、整合，增加学习者的知识储备，可以拓宽他们思考问题的思路。

下面，笔者以上海教育出版社初中数学九年级第一学期第二十六章“二次函数”内容为例，进行“章”型核心知识导图的设计。

（一）教学目标

1.经历从实际问题引入二次函数的过程，并能够理解二次函数的概念。

2.知道二次函数的图像是抛物线，会用描点法画出用解析式法表示的二次函数的大致图像。

3.知道通过平移二次函数y=ax2的图像得到二次函数y=ax2+c，y=a（x+m）2和y=a（x+m）2+k的图像的规律；会用配方法把二次函数的解析式y=ax2+bx+c化为y=a（x+m）2+k的形式。

4.能根据二次函数的解析式指出这个函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最高点或最低点等特征，知道图像上升或下降的情况，认识函数的直观性。

5.在已知二次函数的三组对应值（即抛物线上三点的坐标）的条件下，会用待定系数法确定二次函数的解析式；能用二次函数的知识解决简单的实际问题。

6.经历对二次函数图像的画法以及图像特征的研究过程，从中领略从特殊到一般、分解与组合的策略以及图形运动、数形结合的思想。

（二）内容分析

二次函数是一种比较常见的数学模型，掌握二次函数的性质可以有效地解决现实生活中的问题。解析式中两个变量的关系可以描述现实世界中两个紧密联系的变量关系，因此具有极广泛的应用性。学习二次函数既需要现实生活情景，也需要在前面已掌握的相关知识的基础上进行学习。八年级学生已经学习了函数的基础知识，包括自变量与因变量之间的关系，探究函数性质的方法，因此他们具备了进一步学习函数的认知基础。

在“二次函数”这一章中，按照数学课程标准中九年级对二次函数内容分层的设计，课本中将内容分三节安排：第一节，由生活中的事物引出二次函数的概念。教材编写人员为了帮助学生在头脑中建立二次函数的概念，在教材中首先以生活中计算正方形的面积为出发点，给出二次函数的定义。第二节，对特殊二次函数进行研究，通过观察特殊二次函数的图像探究其直观性质。通过函数解析式帮助学生加深对二次函数概念的理解。第三节，对一般形式的二次函数进行探究，通过对一般二次函数的图像进行观察，探究其直观性质，并用于解决简单的实际问题。

为了帮助学生建立二次函数的概念，在编写中从学生熟悉的正方形面积的研究出发，通过建立函数解析式以及归纳解析式的特点，给出二次函数的定义；再通过例题的分析和解决，从而帮助学生理解二次函数的概念。与一次函数类似，对二次函数也从解析式的角度来定义。

学生已经知道画函数图像的基本方法是描点法，又经历过从正比例函数y=kx的图像与性质到一次函数y=kx+b的图像与性质的研究过程，他们从中不仅获得了用描点法画函数图像，以及利用图像研究函数性质的初步经验，还体会到从特殊到一般的策略以及图形平移运动的思想在函数研究中所起到的作用。本章对二次函数的图像及其基本性质的研究，也采用在一次函数研究中使用的策略和思想方法，以研究特殊形式的二次函数y=ax2，y=ax2+c为起点，以研究形如y=a（x+m）2，y=a（x+m）2+k的二次函数为桥梁，过渡到研究一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，从特殊到一般、先分解再组合地逐步展开，用图形的平移运动进行连接；主要关注二次函数图像的画法以及图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最高点或最低点、上升或下降等特征。在内容的编排中，基本上采用过程模式，通过提出问题引导探究，在操作实验的基础上导出知识结论，让学生经历从具体感知到抽象概括的过程，从而体验知识形成的过程。同时，将这些内容按照知识发展的逻辑顺序进行分段处理，对不同表示形式的二次函数进行研究，采用相同的方法以及类似的编写方式，形成有层次的、逐步推进的序列，让学生充分调动已有的知识经验参与学习活动，同时对有关数学思想方法和思维策略的运用不断加深体验。

除此之外，本章还举例说明了二次函数知识的初步应用，让学生体会二次函数是研究和解决生产、生活实际问题的有用工具，从而对数学源于生活又服务于生活进一步加深认识。

（三）教学分析

1.重视复习相关内容，帮助学生掌握二次函数

对二次函数的学习，是以前面所学的函数知识、图形运动、平面直角坐标系等相关知识为前提，通过观察一次函数和反比例函数的图像，让学生对函数的性质有一定的了解，各类函数之间既有联系又有区别。在课堂教学中，将所学知识进行整合和复习，可以有效地调动学生头脑中已有的知识经验、学习方法和思维方式，有利于二次函数的学习。

关于抛物线的图像，它的变化涉及图形运动方面的知识内容。例如，抛物线y=ax2以y轴为对称轴，抛物线y=a（x+m）2+k以直线x=-m为对称轴，抛物线y=ax2+bx+c可由抛物线y=ax2平移得到，这些图形的变化可以通过观察得到结论。其中，在引导学生进行讨论时，教师要考虑到图形沿着平行于x轴的方向移动（左右平移），以前在这一方面要求学生达到的程度比较低，教师应多讲解这部分的内容，以提高学生的认知程度，或者教师也可以选择适当降低该部分内容的学习要求。(www.xing528.com)

对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c的探究，可运用学生所熟悉的配方法将解析式化为y=a（x+m）2+k的形式，然后再进行相关研究。学生曾在解二次方程时运用配方法解方程，因此该方法已经被学生熟练掌握。在本章相关内容的学习中，一方面，教师要让学生进一步熟悉配方法；另一方面，还要让学生知道配方法在函数研究与一元二次方程这两种运用中的异同。

2.重视知识之间的联系，运用从特殊到一般的策略，有层次地推进教学

引导学生进行二次函数的图像和直观性质的讨论，采用的策略是从特殊到一般、先分解再组合的方式，是一个逐步递进的过程。这一策略具体体现在两方面：一是从研究特殊形式表示的二次函数到研究一般形式表示的二次函数；二是按照解析式中的系数是从数字到字母的顺序，以此研究不同的二次函数的表示形式。最初的研究是以简单的、具体的二次函数y=x2为对象，利用描点法画出它的图像，从而引出抛物线的有关概念，然后研究形如y=ax2的二次函数。在此基础上，再对形如y=ax2+c，y=a（x+m）2的二次函数进行研究，运用图形平移的变换思想，并利用对y=ax2的研究成果，从而得出这两类特殊二次函数的图像和直观形式。形如y=a（x+m）2+k的二次函数，可以看作形如y=ax2+c与y=a（x+m）2两类函数的组合，于是利用图形两次平移的合成，得到了二次函数y=a（x+m）2+k的图像和直观性质。最后，对一般形式表示的二次函数y=ax2+bx+c的研究，只要运用配方法将它化为y=a（x+m）2+k的形式，有关问题随之解决。在教学中，一方面要展现对二次函数研究的过程，另一方面要重视关于研究策略和方法的指导，使学生在获得知识的同时，也学会数学思考，从而提高探究性学习的能力。

3.注意引导学生经历不完全归纳的过程，提倡学生合作学习，使学生能够主动地探究和发现函数的图像与性质

在本章的知识内容中，有许多适合学生进行探究学习和合作研究的素材。在设计教学活动时，教师要引导学生发散性地思考问题的解决方法，创设有益于学生思考的教学情境，引导学生经历观察、思考和归纳的过程，进而展开积极讨论。学生在经历问题探究的全过程后，就会体验到发现真理的乐趣，从而提高了学习兴趣，活跃了教学氛围。这样，不仅学生的主体地位得以充分体现，而且在这个过程中，学生合作探究的思维方式也能得到培养。在教学中，教师应鼓励学生通过独立思考、积极探究或合作学习，进行数学知识的再发现、再创造。

4.重视引导学生体会在解决问题时使用数学思想方法的作用

在研究二次函数的图像和基本性质的过程中，充分体现了从特殊到一般、先分解再组合的策略思想，有效地运用图形变换、数形结合的数学思想，具体展示了认识函数以及对函数进行直观性分析的基本方法。可针对这一章节的教学任务，提出研究什么、怎样研究的问题，以促进学生思考数学思想方法的运用；针对这一个问题的解决，让学生反思所用的数学方法以及获得的经验，引导学生体会数学思想方法的作用。例如，在教学函数y=ax2（a≠0）的图像与性质时，a的符号确定抛物线的开口方向，以及抛物线相对于x轴正方向是先降后升还是先升后降，是最低点还是最高点；反过来，由抛物线的上述特征之一可确定符号a的位置。但同时，也要让学生知道c同抛物线与y轴的交点位置之间的关系，知道a、b同抛物线的对称轴的位置之间的关系。

5.重视信息技术的使用

在本章的教学中，使用某些计算机绘图软件（如几何画板），可以方便、高效地画出二次函数的图像，让学生通过观察图像，从而更好地分析和归纳它们的特征，或者验证所获得的结论；也可以利用计算机的有关功能，显示二次函数图像上一个动点的坐标变化情况，帮助学生将“形”与“数”结合起来，对二次函数的有关性质进行探索；还可以显示y=ax2+bx+c的函数图像随着系数a、b、c变化而变化的动态，或在有关图形的分析中展现图形变化的过程等，从而帮助学生思考问题、探索规律、突破难点。

6.重视联系实际，关注知识应用

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型。例如，运用二次函数最好的一次例证，是伽利略通过比萨斜塔进行实验而验证的自由落体运动公式。又如，本章所展示的有关现实生活中求最大利润、最大面积等问题，体现了二次函数在实际中的应用。二次函数图像的本质是人们熟悉的、广泛存在的抛物线，在现实生活中容易看到它的“身影”，是比较常见的。在教学中，要重视二次函数与现实的关系，关注知识的实际应用。既要从实际问题中引进二次函数的概念，又能将二次函数的知识用于解决实际问题，让学生体验由感性到理性的认知过程，体会学与用的结合对理解数学的促进作用，从而感受到数学的实际应用价值。

经过以上对二次函数教学目标、教学内容的具体分析，结合思维导图的绘制方法、原则以及核心知识思维导图的设计思路，将“二次函数”的知识导图设计如图6-3所示：

图6-3　二次函数的知识导图

首先，在解析式的求法分支中，使用待定系数法求函数解析式的情况有两种：一是知道抛物线上三点的坐标，求函数解析式，解决问题的方法是把三个点的坐标代入y=ax2+bx+c解析式中，会得到一个方程组，解方程组得到a、b、c的值；二是知道抛物线上两点的坐标，也知道a、b、c三个未知数中一个数的值，则将两点的坐标和已知其中之一的数值代入y=ax2+bx+c解析式中，也会得到一个方程组，解方程组就可以得到a、b、c中另外两个未知数的值。在解这一类的问题时，会用到“方程”的知识点，能够灵活地运用各种不同模块的知识，发展学生的发散性思维。另外，还可以使用配方法，这种方法的使用是在已知抛物线的顶点和抛物线上的一点时，将函数的一般解析式y=ax2+bx+c用配方法转换成顶点式y=a（x+m）2+k，然后将顶点坐标，即（-m，k）和已知另外一点的坐标代入顶点式中，就可得到一个方程式，解方程式的解即可得到a的值。

其次，在常量的几何意义分支，解析式y=ax2+bx+c中，若表示系数的a、b同号，则说明抛物线的对称轴在y轴的左侧；若a、b异号，则说明抛物线的对称轴在y轴的右侧。表示常数的项c，若c＞0，则抛物线与y轴的交点在x轴上方；若c＜0，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方。

最后，在与x轴交点的分支中，若表示判别式的式子b2-4ac＞0，则抛物线与x轴有两个交点；若b2-4ac=0，则抛物线与x轴有一个交点；若b2-4ac＜0，则抛物线与x轴没有交点。

以上三个分支对知识点的分析能够帮助学生迅速地判断问题，特别是在做一些选择题时，能够帮助学生迅速地选择正确答案。