思维导图助力数学教学的核心知识导图

“节”是指教材中的“节”，是教授知识内容中最小的一个单位。它一般是指教科书中根据学习内容的特点编排呈现的知识点，也可以由某些重要的知识点组合构成。因此，“节”型知识导图就是根据教材中某一节知识要点而设计的思维导图，或由某些具有相关联系的重要知识点组合构成的思维导图，能够体现概念或命题之间的联系，使这些具体的知识点网络化。

运用思维导图设计“节”型核心知识体系具有十分重要的意义，它能够对其他类型思维导图的制作起到一定的示范作用，是基础性的导图。一方面，在设计其他类型知识体系的过程中，将沿用同样的步骤、原则和方法；另一方面，“节”型导图所建构的内容是通过对教材进行梳理得到的具体知识要点，其细致的建构过程能为其他类型思维导图的建立提供很好的范例，具有很强的示范性。因此，运用思维导图构建“节”型核心知识导图是我们首先要学习和研究的类型之一，也是重要的学习和研究的类型之一。

笔者以上海教育出版社初中数学八年级第二学期第二十章第二节“一次函数的图像与性质”内容为例，进行“节”型核心知识导图的设计。

（一）教学目标

（1）能理解一次函数y=kx+b的关系式；知道函数图像是一条直线，会用描点法画出一次函数的图像。

（2）能根据一次函数y=kx+b的图像和表达式，探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。

（3）能运用一次函数的相关知识解决简单的实际问题；培养学生数形结合的能力。

（4）经历对一次函数图像的画法以及图像特征的研究过程，从中领略从特殊到一般、分解与组合的策略以及数形结合的思想。

（二）内容分析

一次函数的内容在初中数学中处于核心地位，与高中阶段的相关知识有着非常密切的联系，是高中函数知识学习的基础，也是中学考试中不可缺少的重要内容之一。另外，一次函数知识在实际生活中有着广泛的体现，能够将数学知识与实际生活相联系，起到纽带和桥梁的作用。初中数学教材中引入变量和函数内容，体现了学生的学习逐渐从初等数学向变量数学的转变，而一次函数在这部分内容中具有基础性，其研究方法具有一般性和代表性。

本节内容安排在“正比例函数的图像和性质”和“一次函数的概念”之后，学习的目的是能够用两点法画出一次函数的图像，并且理解与掌握一次函数的性质。在知识点的联系上，本节内容是正比例函数的图像和性质的延伸与扩充，学习的方法和理念也能够为后面二次函数的学习和探究奠定基础，也为高中阶段的代数和解析几何内容做好铺垫。数学知识之间是相互联系的，初中阶段的“一元一次方程”“二元一次方程组”“一元一次不等式及方程组”的理解、掌握以及问题的解决，都是以一次函数的掌握为基础的。因此，本节内容起着承上启下的作用，是学生进一步学习“数形结合”数学思想方法很好的素材。

一次函数的概念采用的是形式定义的方法，因其表达式是关于自变量x的一次式而得名。这里的“一次”与一次多项式、一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”含义相同，即自变量的次数是1次，表达式中规定了“k≠0”，而b可为任意实数。这是因为当“k=0”时，函数表达式不是1次而是0次，从而函数y=b不是一次函数。

（三）教学分析

1.重视复习相关内容，以帮助学生理解与掌握一次函数的图像和性质(www.xing528.com)

在正比例函数解析式y=kx（k≠0）中，只有一个常数k，所以在对性质进行探究时，可分为k＞0和k＜0两种情况进行分析。正比例函数是当“b=0”时的特殊的一次函数，而一般的一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中存在两个常数k和b。借鉴前面思考问题的方式先将k依次按照k＞0和k＜0两种情况进行探讨，那么关于一次函数就可以分别探究k＞0，b＞0；k＞0，b＜0；k＜0，b＞0；k＜0，b＜0四种情况的图像与性质。

2.注意引导学生理解和把握研究对象与研究结果的内在联系

解析式y=kx+b（k≠0）的函数图像是本节首先要研究的内容，探究函数的性质是对图像进行观察、分析和归纳的过程，所以在本小节中，函数图像可以认为是教学研究的对象，函数的性质是归纳出来的结论，是教学研究的结果。因此，在教学中不能把一次函数的图像与性质割裂开来进行教学，而要将它们联系起来进行教学。这样，不仅有利于学生理解和体会“结合”的数学思想，还有利于学生养成心中有图的学习习惯。

3.重视教学活动设计，引导学生通过实践、观察，以探索、发现、归纳、总结数学规律

相对概念与运算的学习以及方程与不等式的学习来说，学生对于函数的学习与理解要困难许多。在一次函数的解析式中既有常量又有变量，并且其中的常数也是随着问题的变化而变化的，太多的变化因素常常让学生搞不清方向。因而，学生就很难从整体上认识和把握这种变化规律，就更不要说体会“万变不离其宗”的精髓所在了。因此，要改变以往根据一两个函数例子就得出结论的教学方式，注意引导学生通过大量的事实研究来归纳、概括和提炼抽象结论的过程。在这个过程中，学生不仅可以主动地投入研究过程中，还可以对函数的图像与性质形成结构化的认识，从而从整体上实现把握一次函数变化规律的目的。

在探索一次函数的性质时，学生通过引导，经历画图，图形观察，结合函数解析式与图像的思考、归纳、交流等活动，探究一次函数的常数项k，以及当k＞0和k＜0时图像的变化规律（即增减性，教学时不必提出这个名词）。学生通过观察函数图像会发现，直线上点的纵坐标的值是随着横坐标值的逐渐变大而逐渐增加的，这说明函数值的大小是随着自变量x值的改变而有规律地发生改变的，即当自变量x由小变大时，函数值也随着变大；通过具体实例让学生发现，当k＞0时，一次函数都具有这个性质；通过对上述问题（3）的观察，让学生按照同样的探究方式讨论，同样能够发现当k＜0，自变量x增大时，函数值y反而在减小，最后总结出一次函数的性质。这个过程体现的数学思想是，让学生经历了一个由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程。

4.重视数学探究思想和方法的教学

让学生体会这些基本的数学思想、策略和方法，不仅是学好本章内容的基础，而且对学生进一步学习数学以及分析、处理问题也有积极的作用。因此，本章要以研究一次函数为载体进行教学，以加强数学思想方法的教学。在进行教学时，教师需进一步对有关的数学思想、策略、方法及其运用进行讲评，从而帮助学生加深认识。

本节有关一次函数的性质，是指由函数图像的特征所体现的直观性质，是通过对图像进行观察、分析和归纳得到的。对这些性质的表述，教师要使用描述性的语言，既朴实又简明。在教学中，教师还要指导学生把握数形结合的思想方法，正确观察一次函数图像的形态，再归纳图像的特征，同时要让学生认识函数解析式y=kx+b中常数k、b的特点与图像的特征之间是相互确定的。一次函数的图像与性质知识导图如图6-2所示：

图6-2　一次函数的图像与性质知识导图

首先，在解析式求法分支中，有关求一次函数y=kx+b解析式常量的问题中，使用待定系数法，若已知直线上的两点，则代入两点坐标于解析式中，可得到方程组，解方程组则可求得解析式的常量。若已知直线上一点和k、b两个常量之一，将已知点坐标和常量代入解析式中，则可得到一个方程式，解方程即可求得另外一个常量的值。

其次，各常量的几何意义或与x轴的交点分支中，常数k确定直线的方向，常数b则代表直线与y轴的交点。当b＞0时，直线与x轴的交点在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在x轴的下方；当b=0时，直线与x轴的交点为原点（0，0），这条直线就是解析式为y=kx的正比例函数图像。对这些知识点的总结，可以帮助学生迅速地解决相关问题。