《科学美国人》的编辑要我谈谈最近发表的工作成果，就是关于场物理学基础的数学研究。
有些读者可能会纳闷，我们在学校里不是已经学过物理学的基础吗？根据解释的不同，可以回答“是”或“不是”。我们熟知的概念和一般关系使我们能够理解很大范围的经验，并且用数学来处理这些经验。在某种意义上，这些概念和关系甚至可能是最终的，比如光的折射定律，建立在压力、体积、温度、热和功等概念基础上的经典热力学关系，以及永动机不存在的假说，都是如此。
那么，是什么迫使我们设计出一个又一个理论呢？我们究竟为什么要设计理论呢？后一问题的答案简单说来就是：因为我们喜欢“理解”，即通过逻辑过程把现象归结为某种已知的或（看起来）明显的东西。当我们碰到不能用现有的理论“解释”的新事实时，首先就需要新理论。但这种建立新理论的动机可以说是平凡的，是从外面强加的。还有一种更加微妙的动机也同样重要，那就是追求整个理论前提的统一和简化（即马赫的经济原理，它被视为一条逻辑原则）。
对理解的热情就像对音乐的热情一样。许多小孩子都有那种热情，但多数人长大后就失去了。如果没有这种热情，就不会有数学和自然科学。对理解的热情一再导致一种幻觉，以为人无须任何经验基础，就可以通过纯粹的思想——简而言之通过形而上学——来理性地理解客观世界。我相信每一位真正的理论家都是一种温顺的形而上学家，无论他自认为是多么纯粹的实证主义者。形而上学家相信，逻辑上简单的东西也是实在的东西。温顺的形而上学家相信，并非所有逻辑上简单的东西都能在经验到的实在中体现出来，但基于一个建立在最简单前提之上的概念体系，所有感觉经验都能得到“理解”。怀疑论者会说这是“奇迹信条”，但科学的发展已经有力地证实了这个“奇迹信条”。
原子论的兴起是一个很好的例子。留基伯是如何想出这个大胆观念的呢？水结成冰时，看起来与水完全不同，然而冰融化之后，又成了与原来的水一模一样的东西，这是为什么呢？留基伯对此感到困惑，并寻求“解释”。他不得不得出结论：在这些转变中，事物的“本质”没有任何变化。也许事物是由不变的粒子组成的，变化只是它们在空间上的重新排列罢了。所有以近乎相同的性质反复出现的物体，难道不也是这样的吗？
这个观念在西方思想的漫长休眠中并未完全消失。留基伯之后两千年，伯努利好奇为什么气体会对容器壁施加压力。这应当用牛顿力学意义上气体各部分的相互排斥来“解释”吗？这个假说看起来很荒谬，因为在其他情况不变时，气体压力与温度有关。而假定牛顿的相互作用力与温度有关，这违反了牛顿力学的精神。既然伯努利知道原子论概念，他必然会断言，原子（或分子）与容器壁碰撞，从而产生了压力。毕竟，必须假定原子在运动，否则如何解释气体的温度变化呢？
简单的力学考察表明，这种压力只依赖于粒子的动能和它们在空间中的密度。这应当使当时的物理学家得出结论：热是由原子的无规则运动造成的。倘若真能认真对待这种考虑，热理论的发展本应大大加快，特别是发现热与机械能的等效。
这个例子可以说明两点。理论观念（这里是原子论）并非脱离经验而独立产生；它也不能靠纯逻辑的程序从经验中推导出来，而是创造性活动的产物。一旦获得理论观念，不妨坚持它，直到引出站不住脚的结论为止。
至于我最近的理论工作，我认为尚不适合向对科学有兴趣的广大读者作详细说明。只有那些已经得到经验充分确证的理论才应当那样做。到目前为止，有利于这个理论的主要是其前提的简单性以及与已知事实（即纯引力场定律）的密切关联。不过，广大读者也许有兴趣了解这种极富思辨性的努力是经由何种思路导出的。此外还将表明，我们碰到了什么类型的困难，这些困难在何种意义上得到了克服。
在牛顿物理学中，对物体的理论描述所基于的基本理论概念是质点或粒子。于是，物质被先验地看作是不连续的，质点彼此之间的作用也就必然被视为“超距作用”。由于“超距作用”的概念显得与日常经验格格不入，与牛顿同时代的人（也包括牛顿自己）自然觉得很难接受它。然而，由于牛顿体系取得了惊人的成功，接下来几代物理学家已经习惯于超距作用的观念。久而久之，任何怀疑都被淹没了。
但在19世纪后半叶，人们知道了电动力学定律，结果无法将这些定律令人满意地纳入牛顿体系。这不禁引人深思：倘若法拉第受过正规的大学教育，他会发现电磁感应定律吗？他不受传统思维方式的拖累，觉得把“场”当作一个独立的实在要素引入进来，可以帮助他整理经验事实。麦克斯韦完全理解了场概念的意义，他做出了一项基本发现，即电动力学定律可以在电磁场的微分方程中得到自然表达。这些方程暗示着波的存在，其特性对应于当时已知的光的特性。
像这样把光学纳入电磁理论是物理学的基础迈向统一的重大胜利。早在被赫兹的实验工作确证之前很久，麦克斯韦就通过纯粹的理论论证而达到了这种统一。这种新的看法使人们有可能抛弃超距作用的假说，至少是在电磁现象领域。居间的场现在像是物体之间电磁相互作用的唯一载体，而场的行为则完全取决于用微分方程来表达的邻近过程。
现在问题来了：既然场即使在真空中也存在，那么应当把场理解成“载体”的一种状态，还是应当赋予它一种不能归结为任何别的东西的独立存在性呢？换句话说，是否存在一种负载着场的“以太”呢？例如，以太在负载光波时，被认为处于波动状态。
这个问题有一个自然的答案：既然场的概念不可或缺，所以最好不要另外引入带有假说性质的载体。然而，最早认识到场概念不可或缺的那些开拓者，仍然深陷机械论的思想传统，无法毅然决然地接受这种简单的观点。不过在接下来的几十年里，这种观点不知不觉被采纳了。
把场作为基本概念引入进来，使整个理论产生了不一致性。麦克斯韦理论虽然能恰当描述带电粒子之间的相互作用，却不能解释电密度的行为，也就是说，无法提供粒子本身的理论。因此，必须基于旧理论把这些粒子当作质点来处理。连续场的观念与在空间中不连续的质点的观念相结合，似乎是不一致的。一致的场论要求所有理论要素都是连续的，不仅在时间上，而且在空间上，以及在空间的所有点上。因此，物质粒子无法作为场论的基本概念。因此，即使不考虑引力尚未包括进来，也不能认为麦克斯韦的电动力学是完备的理论。
如果空间坐标和时间都服从一种特殊的线性变换——洛伦兹变换，那么真空的麦克斯韦方程就保持不变（对于洛伦兹变换的“协变性”）。当然，对于由两个或两个以上这种变换所组成的变换，协变性也成立，这被称为洛伦兹变换的“群”性质。
麦克斯韦方程蕴涵着“洛伦兹群”，但洛伦兹群并不蕴涵麦克斯韦方程。事实上，可以独立于麦克斯韦方程，将洛伦兹群定义成使某个特殊速度——光速——的值保持不变的线性变换群。这些变换适用于从一个“惯性系”向另一个相对于它作匀速运动的惯性系的过渡。此变换群最明显的新奇特性在于，它抛弃了空间上彼此分离的事件的同时性概念的绝对性。因此可以期待，所有物理方程对于洛伦兹变换都是协变的（狭义相对论）。于是，由麦克斯韦方程引出了一条启发性原理，其有效性远远超出了这些方程本身的适用范围甚至是有效范围。
狭义相对论与牛顿力学有一个共同点，两种理论的定律据信都只适用于某些坐标系，即所谓的“惯性系”。惯性系的运动状态使得“不受力”的质点相对于这个坐标系没有加速度。然而，如果没有独立的方法来确认力不存在，这个定义就是空洞的。但如果把引力看作一种“场”，这种确认方法就不存在了。
设A是一个相对于“惯性系”I做匀加速运动的系统。但凡相对于I不是加速的质点，相对于A都是加速的，所有质点的加速度的大小和方向都相同。其行为就好像相对于A存在着一个引力场，因为引力场的一个典型特征就是，加速度与物体的特性无关。没有理由不将这种行为解释成“真”引力场的作用（等效原理）。这种解释意味着A是一个“惯性系”，即使它相对于另一个惯性系是加速的。（对这个论证来说至关重要的是，引入独立的引力场被认为是合理的，即使产生这个场的质量并未得到界定。因此，这个论证对牛顿来说不会有什么说服力。）于是，惯性系、惯性定律和运动定律等概念都失去了具体意义，不仅在经典力学中，在狭义相对论中也一样。而且，循着这个思路走下去就会看到，相对于A，时间不能用相同的时钟来测量，甚至连坐标差也失去了直接的物理意义。考虑到所有这些困难，人们难道不应坚持惯性系概念，不再尝试对引力现象的基本特征（在牛顿体系中表现为惯性质量与引力质量等效）作出解释吗？凡是相信自然可以理解的人，一定会回答：不。
这正是等效原理的要点：为了说明惯性质量与引力质量的相等，理论中必须允许四个坐标的非线性变换。也就是说，洛伦兹变换群和因此“容许的”坐标系集，必须加以扩展。
那么，什么样的坐标变换群能够替代洛伦兹变换群呢？根据高斯和黎曼的基础研究，数学提供了一个答案：合适的替代者是坐标的一切连续（解析的）变换群。在这些变换下，保持不变的仅仅是，邻近的点有近乎相同的坐标；坐标系只表达了点在空间中的拓扑秩序（包括它的四维特征）。表示自然定律的方程，对于坐标的一切连续变换都必须是协变的。这就是广义相对性原理。
刚才讲的这套做法克服了力学基础的一个缺陷。牛顿已经注意到了这个缺陷，莱布尼茨和两百年后的马赫都曾批评过，那就是：惯性抵抗加速度。但这是相对于什么的加速度呢？在经典力学的框架中，唯一的回答是：惯性抵抗相对于空间的加速度。这是空间的一种物理性质——空间作用于物体，物体却不作用于空间。这也许就是牛顿主张“空间是绝对的”的更深含义。但这种观念引起了一些人特别是莱布尼茨的不安，他并不认为空间是独立存在的，而是认为，空间仅仅是“事物”的一种性质（物体的邻近性）。即使他的这些合理怀疑当时能够胜出，也很难说就有益于物理学，因为把他的观念探究到底所需的经验基础和理论基础在17世纪尚不存在。
根据广义相对论，抽掉任何物理内容的空间概念并不存在。空间的物理实在由一个场来表示，场的分量是四个独立变量——空间和时间的坐标——的连续函数。正是这种特殊的依赖性表达了物理实在的空间特征。
既然广义相对论意味着用一个连续的场来表示物理实在，粒子或质点概念甚至是运动概念就不能起基础作用了。粒子只能表现为空间中场强或能量密度特别高的有限区域。
相对性理论必须回答两个问题：（1）场的数学特征是什么？（2）适用于这种场的方程是什么？
关于第一个问题：从数学的观点来看，坐标变换时场的各个分量的变换方式本质上决定了场的特征。关于第二个问题：在满足广义相对论假设的同时，这些方程必须充分决定场。至于这种要求能否得到满足，取决于选择何种类型的场。
初看起来，试图基于这种高度抽象的纲领来理解经验材料之间的关联几乎毫无希望。事实上，这种做法等于问：在坚持广义相对性原理的情况下，什么最简单的对象（场）必须具有什么最简单的性质？从形式逻辑的立场来看，且不说“简单”这个概念的模糊性，问题的双重性就已经像是灾难。而从物理学的立场来看，没有什么东西可以保证“逻辑简单的”理论便是“真的”。
然而，任何理论都有思辨性。当理论的基本概念比较“接近于经验”时（比如力、压力、质量等概念），其思辨性不大容易识别出来。但如果某种理论需要运用复杂的逻辑过程，才能从前提中推出可观察的结论，那么任何人都能意识到这种理论的思辨性。在这种情况下，那些对认识论分析没有经验的人，以及在熟知的领域觉察不到理论思维的不可靠性的人，几乎不可避免会感到厌恶。
另一方面也必须承认，如果理论的基本概念和基本假说“接近于经验”，则该理论就有重大优势，对它怀有更大信心就是理所当然的。完全走错路的危险比较小，因为由经验来否证这种理论所花的时间精力要少得多。但随着知识深度的增加，在追求物理理论基础的逻辑简单性和统一性时，我们必须放弃这种优势。必须承认，在放弃“接近于经验”的基本概念来获得逻辑简单性方面，广义相对论已经超出了之前的物理理论。引力理论已经是如此，试图包括所有场性质的新的推广就更是如此了。在这个广义的理论中，从理论前提导出可与经验材料对应的结论，其中的程序非常困难，至今还没有得出这样的结果。目前支持该理论的是它的逻辑简单性和“刚性”，这里的“刚性”是指该理论非对即错，且不可修改。(www.xing528.com)
妨碍相对论发展的最大内在困难是问题的双重性，就像刚才问的两个问题所指明的那样。这种双重性说明了为什么这种理论分两个阶段发展，而且相隔那么久。第一个阶段是引力理论，它基于前面讨论的等效原理，并且依赖于以下考虑：根据狭义相对论，光有恒定的传播速度。如果光从真空中的一点出发，该点由三维坐标系中的坐标x₁，x₂，x₃表示，它在时刻x₄以球面波传播，在时刻x₄+dx₄到达邻近点（x₁+dx₁，x₂+dx₂，x₃+dx₃）。引入光速c，可以写出表示式：
它也可写成这样的形式：
这个表示式代表四维时空里两个邻近点之间的一种客观关系。只要坐标变换仅限于狭义相对论，它就对一切惯性系都有效。但根据广义相对性原理，如果允许坐标任意连续变换，这种关系就有了更一般的形式：
其中gik是坐标的某种函数，若进行连续的坐标变换，它们会以确定的方式变换。依据等效原理，这些gik函数描述一种特殊的引力场，一种可以通过“无场”空间的变换而得到的场。gik满足特殊的变换法则，从数学上被称为一个“张量”的分量，张量拥有在一切变换中都保持的对称性。这种对称性可以表达如下：
gik=gki
这引起了如下想法：即使场不能仅仅通过坐标变换得自于狭义相对论的真空，我们难道就不能赋予这样一个对称张量以客观意义吗？虽然不能指望这种对称张量能够描述最一般的场，但它完全可以描述“纯引力场”这种特殊情况。于是，至少对一个特殊情况而言，广义相对论显然必须假设一个对称张量场。
因此还剩下第二个问题：对于一个对称张量场，能够假定何种广义协变的场定律呢？
在我们这个时代，这个问题并不难回答，因为必要的数学概念是现成的，那就是一个世纪前由高斯创立的曲面的度规理论，后来被黎曼扩展到任意维数的流形上。这种纯形式研究有许多惊人的成果。对于gik，能被假定为场定律的微分方程不能低于二阶，也就是说，它们必须至少包含gik对于坐标的二阶导数。假定场定律中没有出现高于二阶的导数，那么广义相对性原理在数学上就决定了场定律。这个方程组可以写成如下形式：
Rik=0
Rik的变换方式和gik一样，也会形成一个对称张量。
只要将物体表示为场的奇点，这些微分方程就完全取代了牛顿的天体运动理论。换句话说，它们既包含运动定律，又包含力的定律，同时消除了“惯性系”。
物体以奇点形式出现，暗示物体本身不能由对称的gik场或“引力场”来解释。甚至连只存在正引力物体这个事实，也无法从这个理论中推导出来。显然，完备的相对论性场论必须基于更复杂的场，也就是对称张量场的一种推广。
在考察这种推广之前，有两点与引力理论有关的看法对于接下来的解释至关重要。
第一点看法是，广义相对性原理对理论的可能性施加了极为严格的限制。如果没有这条限制性的原理，几乎不可能有人找到引力方程，甚至用狭义相对性原理也找不到，即使知道必须用对称张量来描述场。除非采用广义相对性原理，否则无论积累多少事实也导不出这些方程。这就是为什么在我看来，若非从一开始就让基本概念符合广义相对性，任何更深入认识物理学基础的努力都注定没有希望。这种情况使我们很难用经验知识（无论多么全面）来寻找物理学的基本概念和关系，它迫使我们大量运用自由思辨，远超目前大多数物理学家所能接受的程度。我看不出有任何理由要假定广义相对性原理只对引力有启发意义，而物理学的其余部分可以基于狭义相对论来分开处理，并希望日后整个物理学可以被一致地纳入广义相对论的方案。我不认为这种态度有客观的合理性，尽管从历史上看是可以理解的。我们今天已知的引力效应比较小，但这绝非在基础理论研究中可以忽视广义相对性原理的决定性理由。换句话说，我不认为提出这样的问题是正当的：如果没有引力，物理学会是什么样子？
我们必须注意的第二点是，引力方程是对称张量gik的十个分量的十个微分方程。在非广义相对论的理论中，若方程的数目等于未知函数的数目，则系统通常不会被过度决定。这些解使得在通解中，有一定数目的三变量函数可以任意选取。在广义相对论的理论中，这不能被视作理所当然。坐标系的自由选取意味着，在一个解的十个函数（或场的分量）中，能通过适当选取坐标系而让四个函数有规定的值。换句话说，广义相对性原理意味着，由微分方程决定的函数数目不是10，而是10–4=6。对于这六个函数，只能假定有六个独立的微分方程。在引力场的十个微分方程中，应当只有六个是彼此独立的，其余四个必须通过四个关系（恒等式）与那六个相联系。在十个引力方程的左边Rik当中，的确存在着四个恒等式——“毕安基恒等式”——保证了这十个方程的“相容性”。
当场变量的数目等于微分方程的数目时，如果方程可由变分原理得到，那么相容性总是可以保证的。引力方程的情况就是如此。
然而，十个微分方程不能完全由六个微分方程所取代。这个方程组的确被“过度决定”了，但由于这些恒等式的存在，这种过度决定并不会使它的相容性消失，也就是说，这些解不会受到严格限制。引力方程蕴含着物体的运动定律，这与这种（允许的）过度决定密切相关。
做了这番准备之后，不必深入数学细节就可以理解目前研究的本质了。问题在于建立关于总场的相对论性理论。解决它的最重要的线索是，对于纯引力场这种特殊情况，解已经存在了。因此，我们正在寻求的理论必定是引力场理论的推广。第一个问题是：什么是对称张量场的自然推广？
这个问题不能单独回答，而必须同另一个问题一起回答，那就是：要对这种场做怎样的推广，才能提供最自然的理论体系？目前讨论的理论所基于的回答是：对称张量场必须由一个非对称张量场来取代。这就意味着，场分量必须放弃gik=gki的条件。在那种情况下，场就有十六个而不是十个独立分量了。
余下的任务是建立非对称张量场的相对论性微分方程。在尝试解决这个问题时，我们碰到了对称场所没有的困难。广义相对性原理并不足以完全确定场方程，这主要是因为，场的对称部分的变换定律并不包含反对称部分的分量，反之亦然。也许这就是以前几乎没有尝试过场的这种推广的原因。只有在这个理论的形式体系中总场起作用，而不是对称部分和反对称部分分别起作用，才能表明将场的这两部分结合起来是自然程序。
结果是，这个要求的确能以自然的方式得到满足。但即使是这个要求与广义相对性原理合起来，仍然不足以唯一地确定场方程。我们还记得，这个方程组必须满足另一个条件，即方程必须相容。前面提到，如果这些方程能由变分原理推导出来，这个条件就得到了满足。
这的确已经做到了，尽管不像对称场的情况那么自然。发现能以两种不同方式做到这一点，让人感到不安。这些变分原理提供了两个方程组，让我们记作E₁和E₂，它们彼此不同（尽管相差甚微），各自都有不完美之处。结果，甚至连相容性条件也不足以唯一地确定这个方程组。
事实上，正是E₁和E₂这两个方程组的形式缺陷暗示了一条可能的出路。存在着第三个方程组E₃，它没有E₁和E₂这两个方程组的形式缺陷。E₃代表两者的结合，E₃的每一个解也都是E₁和E₂的解。这暗示，E₃也许就是我们一直在寻找的方程组。那么，为什么不假设E₃就是这个方程组呢？如果不做进一步的分析，这种做法并不妥当，因为E₁的相容性和E₂的相容性并不蕴涵较强的方程组E₃的相容性，E₃的方程数目比场的分量多四个。
撇开相容性问题不谈，独立的考量表明，较强的方程组E₃是引力方程唯一真正自然的推广。
但E₃并不是一个相容的方程组，E₁和E₂这两个方程组的相容性由足够数目的恒等式来保证，这意味着，每一个对明确的时间值满足这些方程的场都有一个连续的广延，代表四维空间中的一个解。然而，E₃方程组却不能以同样方式扩展开。用经典力学的语言来说，在方程组E₃的情况下，“初始条件”不能自由选择。真正重要的是回答这样一个问题：方程组E₃的解是否必须和对物理理论的要求同广延呢？这个纯数学问题至今尚未解决。
怀疑论者会说：“从逻辑的观点看，这个方程组也许是合理的。但这并不能证明它符合自然。”亲爱的怀疑论者，您是对的。唯有经验才能判定真理。但如果我们已经成功地提出一个有意义的严谨问题，我们就算有所成就了。无论已知的经验事实有多么丰富，证实或驳斥都不会容易。从方程中导出可与经验对应的结论需要艰苦的努力，也许还需要新的数学方法。
[139]发表于《科学美国人》（Scientific American, Vol. 182, No.4. April,1950）。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
