物理问题解析：竖直面运动绳、杆的模型

【知识梳理】

1.竖直平面内圆周运动分类

在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”；二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管）约束模型”.

2.绳、杆模型涉及的临界问题

3.竖直面内圆周运动类问题的解题技巧

（1）定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同.

（3）研究状态：通常情况下，竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.

（4）受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合=F向.

（5）过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.

【例题与变式】

例题1.如图所示，一质量为m=0.5kg的小球，用长为0.4m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.g取10m/s2，求：

（1）小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？

（2）当小球在最高点的速度为4m/s时，轻绳拉力多大？

（3）若轻绳能承受的最大张力为45N，小球的速度不能超过多大？

变式1.如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是（　）.

A.数据a与小球的质量有关

B.数据b与圆周轨道半径有关

D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径

例题2.如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（　）.

A.小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于零

B.小球过最高点时，速度至少为gR

C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定不小于杆对球的作用力

D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反(www.xing528.com)

变式2.如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力.则球B在最高点时（　）.

A.球B的速度为零　B.球A的速度大小为2gL

C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg　D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg

【高考对接】

1.（2016·全国卷Ⅲ）（多选）如图所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则（　）.

2.（2014·新课标全国卷Ⅱ）如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环（可视为质点），从大环的最高处由静止滑下.重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为（　）.

A.Mg-5mg　B.Mg+mg

C.Mg+5mg　D.Mg+10mg

练　习

1.明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画（如图），记录了我们祖先的劳动智慧.若A、B、C三齿轮半径的大小关系如图所示，则（　）.

A.齿轮A的角速度比C的大

B.齿轮A与B角速度大小相等

C.齿轮B与C边缘的线速度大小相等

D.齿轮A边缘的线速度比C边缘的大

2.如图所示，一内壁光滑，质量为m、半径为r的环形细圆管，用硬杆竖直固定在天花板上.有一质量为m的小球（可看作质点）在圆管中运动.小球以速率v0经过圆管最低点时，杆对圆管的作用力大小为（　）.

3.用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑锥顶上.如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω.线的张力为FT，则FT随ω2变化的图像是下图中的（　）.

4.（多选）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径之比r甲∶r乙=3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑.今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA=2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（　）.

A.滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙=1∶3

B.滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB=2∶9

C.转速增加后，滑块B先发生滑动

D.转速增加后，两滑块一起发生滑动

5.（多选）“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材.做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶“太极球”，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上.现将“太极球”简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势.A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高且在B、D处板与水平面夹角为θ.设球的质量为m，圆周的半径为R，重力加速度为g，不计拍的重力，若运动到最高点时拍与小球之间作用力恰为mg，则（　）.