数学家故事：培养学生坚强意志和爱国热情

1.数学学科的育人价值

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出数学学科在培养人的理性思维、科学精神以及发展人的智力方面有着其他学科不可替代的作用。换一个角度思考，数学的育人价值可以总结为四个方面：理性思维、科学精神、发展智力及人文情怀。

（1）理性思维。

理性思维主要包括思维的严密性、客观性和逻辑性等。数学是研究数量关系和空间形式的科学，它在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用，特别在思维的严谨性、逻辑性和抽象性方面，因为数学的本质在于其抽象性，通过抽象才能够透过现象看本质、揭示事物背后的一般规律，而数学又是在一套公理体系基础之上进行演绎推理而构建了整个数学体系，要说明一个命题是否正确，必须经过严格论证，在论证过程中步步有依据、环环相扣，极大地提高了人的思维的严谨性和逻辑性。在学习数学的过程中面对一个个数学问题，没有刻苦精神是无法解决的，面对一次次失败，没有坚强的毅力是不能坚持到最后胜利的。同时在解决问题的过程中，需要进行严密的逻辑推理、准确的数据运算，这培养了学生实事求是、客观公正、精益求精的科学精神，等等。这些说明数学素养已成为现代社会每一个公民应该具备的基本素养。

（2）科学精神。

科学精神主要包括刻苦钻研、百折不挠、追求真理的献身精神。数学教育承载着立德树人的育人功能，而崇尚科学、坚持信念、不折不挠的科学精神不仅使学生掌握现代生活和学习所必需的数学知识、技能、思想和方法，更发挥着数学在培养人的思维能力、创新意识以及形成正确的世界观方面的特有功能。例如，数学中的运算必须按照运算法则进行，数学中的定理都是在一定条件下才能够成立的，在解决问题的过程中，必须创造满足定理的条件，得出相应的结论，因此数学学习中规则意识非常重要，而在现代社会，遵守规则、按照规则做事，懂规矩、守法律显得尤为重要。通过一些数学家的故事，培养学生面对困难和挫折时坚忍不拔的坚强意志和为科学献身的精神；通过对数学史的学习，让学生感受到我国科学家在数学学科方面的研究成就、为人类作出的贡献，激发学生的爱国热情，等等。因此，数学学习将促进学生全面发展，并为学生适应终身学习奠定基础。

（3）发展智力。

“数学是思维的体操”这是大家的共识，数学是一门使人越来越聪明的学科，这是学习过数学的人的共同感悟。通过数学概念的学习，经历概念的形成过程，让学生能够面对现实世界，发现问题、提出问题、发现事物背后的一般规律性的东西；通过一些原理的学习，使学生面对现实世界时发现自然界的一些规律，并能够将这些结论应用于其他的情景之中，解决问题；通过一些问题解决过程的体验，让学生知道面对问题如何寻找有用的条件，建立条件与结论之间的关联，编织条件与结论之间的逻辑关系，而这些逻辑关系的建立，依赖于数学知识的链接；通过数学的学习过程，经历解决问题的历程，打开学生思维，提高思考问题、解决问题的能力，人的智力得到发展。

（4）人文情怀。

人文情怀主要包括感受数学文化、感受数学之美。数学承载着思想和文化，是现代文明的重要组成部分。数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学具有自身的语言、自身的思维、自身的表达，因此它是一种文化。世界上的事物都可以用数学的形式进行表示，通过数学揭示事物内部及事物之间的联系，研究事物发展变化的一般规律，因此数学学习的过程就是学习如何认识世界的过程。同时数学的发展史就是一部社会发展史，如数的发展史，从自然数到整数、有理数再到实数、复数，随着数集的扩展，伴随着社会的进步，每一次扩展都是在保留原有核心内容的基础上的发展，而不是简单地否定，每一次都体现了继承与发展的和谐统一，这与整个社会的发展过程是一致的。

现代数学的发展表明，数学与人类生活和社会发展紧密关联。科学研究的目的在于揭示事物背后的一般规律，数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、一般结论等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律。因此，数学不仅是自然科学的重要基础，而且在社会科学中发挥着越来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面。随着现代科学技术和计算机科学的迅猛发展，人们获取数据和处理数据的能力都得到大幅度增强，特别是伴随着大数据时代的到来，人们常常需要对网络、文本、声音、图像等反映的信息进行数字化处理，使数学的研究领域与应用领域得到了极大拓展，数学直接为社会创造价值，推动了社会生产力的发展。

2.“三维目标”与“核心素养”的关系

（1）“三维目标”存在明显的不足之处。

一是缺乏对教育内在性、人本性、整体性和终极性的关注；不能有效体现教育的最终目标，即到底培养一个什么样的人，目标不是很清晰，同时对知识学习过程中对人的能力素养培育的统整性缺少关注。二是缺乏对人的发展内涵特别是关键的素质要求进行清晰的描述和科学的界定。

（2）“核心素养”来自“三维目标”又高于“三维目标”。

“三维目标”的落实不是学科学习的最终目标，我们是通过学科知识的系统学习形成专门的学科素养，但在“三维目标”中不明确，而通过学科素养的形成最终概括、统整为人的发展核心素养，因此“核心素养”来自“三维目标”又高于“三维目标”。一是从形成机制来看，核心素养来自“三维目标”，是“三维目标”的进一步提炼和整合，是通过系统的学科学习之后而获得的；二是从表现形态来看，数学学科核心素养又高于“三维目标”，是个体在知识经济和信息化时代面对复杂的、不确定的情境时，综合应用学科知识、观念与方法，解决现实问题所表现出来的关键能力和必备品质（见图1）。

图1　“三维目标”与“核心素养”关系图

3.基于数学核心素养的教学设计基本特征

数学核心素养的培育必须落实到数学课堂教学之中，不可能游离于课堂教学之外。那么，体现新课程理念的课堂与传统的课堂教学到底有哪些区别？或者说体现数学核心素养培育的课堂教学有哪些具体的特征？根据研究，我们总结了如下几个特点：

（1）重情境创设。

情境创设的目的主要有两点：一是将学生的思维引导到具体的真实的情境之中，在这样一个“场”中来思考问题、发现问题、提出问题。二是通过情境激发学生的学习、探究兴趣，产生好奇心，增强探究的欲望。面对一个真实的问题，学生可以调动所学的知识，运用头脑中已有的经验，对问题加以分析、研究、解决，这是培育核心素养的具体表现，因此，设计适切的情境显得非常重要。通过创设教学情景，引导学生通过观察、比较、分析主动提出问题，激发学生的学习兴趣，将学生的思维引导到“学习场”之中。

创设教学情景，必须体现几个原则：适切性——情景必须适合本节课的教学内容，适合学生的认知水平。思想性——创设的情景能够体现数学学科的本质，让学生在其中感悟相关的数学思想。趣味性——有趣才能够激发学生的学习热情，才能够营造轻松而愉快的交流氛围；学生看了感到很好玩，才能够激发兴趣。如果是真实的生活情景，则必须来源于学生的生活，或者与社会关注的热点问题相关。如果是数学本身的问题，也需要进行设计，增强趣味性，引起学生认知冲突。多样性——情景的内容可以是多样的，可以是现实生活中的情景，可以是数学学科中的问题情境，也可以是科学发展中的相关情景。呈现的方式可以是多样性的，可以是教师选择的，也可以是学生根据学习内容选择的教学情景。

（2）重过程体验。

体验的过程包括数学知识的发生发展过程、原理结论的发现过程、解题思路的探究过程、应用数学知识解决实际问题的数学建模过程。有了过程，才能够给“死的知识”注入“活力”，才能够理清楚知识的来龙去脉，体现知识的成长性，学生在经历这些过程时，才能提高能力、培育素养。因此“过程性教学”是培育数学核心素养的有效途径。

（3）重活动设计。

知识是可以传授的，但能力只有通过参与活动才能形成，在活动中培养能力、在活动中培育素养、在活动中加深对数学知识本质的理解。课堂活动设计有四个层次：一是负效层次。如果一个课堂教学活动设计是“无效”的，因为浪费了师生的时间，就是“负效”的。学生不仅没有学到东西，反而对真正学习有阻碍作用。二是知识层次。课堂活动设计以掌握知识为目的，教师所设计的学习目标往往表现为“记住、背过、复述、默写”等等。三是思维层次。以发展学生的思维能力为目标，活动具有挑战性，能激活学生的思维，引发学生的思维碰撞，提高学生的思维能力。四是素养层次。课堂活动设计既能让学生掌握知识，又能让学生发展思维，调动学生的学习积极性，体悟到做人的道理，能够实现核心素养的落地。

因此在设计教学活动时，必须遵循“三原则”：一是有序性原则。根据教学内容，规划教学环节，设计系列化教学活动；做到前后关联、上下一统、体现整体。二是层次性原则。根据教学内容的重难点，分层次、有重点地设计教学活动。三是有效性原则。通过加强过程性目标的评价，确保各项活动目标的达成。

（4）重教学评价。

评价的目的在于改进学生的学习和教师的教学，因此必须重视过程性评价与终结性评价相结合，在过程性评价中更多地关注学生的学习态度与学习习惯的养成，特别关注数学核心素养的达成度。同时注重对学习评价的整体性和阶段性的要求，使得评价成为促进学生发展的推进器。我们可以粗略地将数学核心素养水平划分为三个层级：知识理解、知识迁移、知识创新。知识理解是最基础的层面，也是“课标”所要求的对数学基础知识的掌握情况，题目类型可以是填空、判断、选择等。知识迁移则要求学生能够运用课堂所学解决其他问题，这对数学学习也是十分重要的，丢失知识迁移的环节也会造成后续学习内容的脱节。最高层次要求是知识的创造，要求学生能够用数学思维去看待和处理一些现实问题，这是数学核心素养培育的最终目标。其中，二、三层级的问题设计是教师应当花精力去思考的重点，同时它们对学生能力的要求可以概括为分析、综合、评价和创造，即高阶思维所要求的层面。因此，评价体系绝不应该仅以解决“高考题”为核心，而应深度理解评价的意义和目的，有方向、有区分地设计评价的问题。

4.基于数学核心素养的教学设计原则

（1）教师传授知识的过程与学生的认识过程一致性的原则。

学生学习的内容尽管是前人已知的知识，但这种知识对学生来说仍然是新鲜的、未知的。学生的学习过程是学生对数学知识、方法和技能的认识过程，我们的教学过程是完善学生认知结构的过程。如何使我们在课堂上传授知识的过程符合学生的认识规律，与学生认知发展的水平相吻合，这是我们应该充分重视的一个问题。从认识论的角度分析，学生认识知识的过程总是遵循从特殊到一般、从具体到抽象、从局部到系统的过程。因此我们所设计的课堂教学过程应符合学生的这种认识规律。只有这样才能使学生学得顺利，这也是保证我们教学成功的关键因素。但我们的教材偏重于一般性的结论和抽象的演绎过程，如果在课堂教学中照本宣科，往往使学生学起来感到困难。因此常常需要我们教师设计一些问题，作为过渡性环节，使学生认识到问题的背景，体会到从具体问题出发，概括出抽象概念和理论的具体过程，理解到这些概念和理论的实际意义，使学生顺利地完成从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程。这一过程是将“学术形态”的知识转化为“教育形态”的知识。比如对“极坐标”的引入，学生感到抽象不好理解，教师可以设计一个炮兵打炮的问题——炮兵为了击中目标，总是要旋转炮筒的角度，还要确定炮位与目标的距离，通过这个具体的例子，使学生在认识上有一个飞跃，完成由具体到抽象的认识过程。数学教学是一种特殊的认识活动，它受人的一般认识规律的支配，又有着它自身的特点，了解和掌握学生的认识过程和规律，使教师传授知识的过程与学生的认识过程相吻合，这样可以使学生的认识更加深刻、学习更加顺利。

（2）传授知识与核心素养培育相结合的原则。

培育数学核心素养是数学教学重要目标，它是数学能力的综合体现，而思维能力是各种数学能力的核心，因此注重思维能力的培养，是现代数学教学与传统的数学教学的根本区别之一。数学教学是以数学知识为载体，在知识学习的过程中培养数学能力、提升数学素养。传授数学知识是数学学习的一个方面，但仅仅传授知识是不够的，在注重基础知识的同时还要注重发展学生的思维能力。心理学研究发现，思维正是寻找和发现那些从本质上来说属于新东西的过程。目前老师对于培养学生的数学核心素养的必要性和重要性都有比较明确的认识，但在课堂教学中如何在注重基础知识的同时培养学生的数学素养，是值得我们探讨的一个问题。(www.xing528.com)

数学总以严密的系统的结合和演绎形式出现，是直观、直觉、归纳和类比的结果，因而数学的表现形式，只是思维的结果，我们还必须看到掩藏在结果后面的思维过程，因此要特别强调数学学习中的“过程性教学”。思维能力的构成比较复杂，不能简单地理解为只是演绎。应当指出，在演绎和各种非演绎思维中，演绎的创新可能性的空间最小，如果仅把思维局限于演绎，这无异于捆住思维的手脚。事实上，那些直观、直觉、归纳和类比等非演绎思维，则有着较大的创造可能。在教学中应当注重挖掘数学的“表”和“里”，揭示并依据教学的需要改造相关的思维过程，付诸课堂实践，才能培养学生的思维能力。教学实践表明，教师只有结合教材恰当地设计问题情境，引导学生主动积极地思维，才能使学生对问题有比较深刻的认识。培养思维能力需要揭示思维过程，这恰好与学生学习知识所需要的思维过程相吻合，把两者有机地结合起来，落实到课堂上，既能传授知识，又能落实思维训练，是我们培养学生思维能力的有效途径。在课堂教学中，教师既要重视呈现自己的思维过程，又要重视学生的具体思维过程。恰当合理地设计问题情境，引导学生逐步深入地进行思维和交流，正是这两种思维过程的有机结合，这也是提高学生思维能力的具体过程。

（3）教师引导与学生自主活动相结合的原则。

教学是一种双边活动，在这种活动中，师生都有认识客观世界的任务，但教学的目的决定了学生的认识活动是更重要的一方面，学生是这种认识活动的主体。教师的主导作用在于有效地引导学生逐步加深认识，而在这种认识过程中，必须给学生一定自主活动的时间和空间，让他们动脑、动手、动口，在自主的活动中不断地加深认识。不应该让学生被动地接受教师的认识过程，被动地理解教师的思维结果。例如在“二项式定理”的教学中，不必由教师给出二项式定理的结论，可以设计学生自主探究活动，尝试发现、大胆猜想的过程。

5.基于核心素养培育的课堂教学设计的模型及特征

通过理论学习与课例研究，明确了“三维目标”与“核心素养”之间的关系，通过研究全国各地的诸多关于体现核心素养的教学设计等研究成果，项目组建立了基于核心素养培育的课堂教学设计的模型（见图2）。

（1）选择学习内容：

根据“课标”和教材的内容安排，确定教学设计的内容。可以是单元学习内容，也可以是课时学习内容。单元学习内容可以依据课程标准，围绕学科某一核心内容加以组织。如“函数”主题，体现了学科知识发生发展及学科思想与方法等内容。课时学习内容，则是在各单元下按照课时编排设计的教学内容。

图2　基于核心素养的课堂教学设计模型

（2）分析核心素养：

对所确定的教学内容，从课程本身的价值以及立德树人的视角下，挖掘其在知识的发生发展过程中所体现的数学核心素养。

（3）确定教学目标：

将知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观这“三维目标”进行统整，明确本单元或课时学习内容的教学目标，以及通过这些内容的学习所指向的数学核心素养的培养路径。

（4）设计教学活动：

明确了教学目标，必须通过设计教学环节、制定教学流程，在每个环节中，安排教学活动，让学生在活动中提高能力，在活动中提高素养，因此，重点关注活动的适切性与学生的参与性。

（5）设计教学评价：

关注学生学习的过程性评价和学习结果的评价。在学习过程中，设计相关观察指标如学生的参与度、回答问题的层次、思维的深刻性等指标，对学生进行评价；通过设计课堂练习、课后作业等进行学习结果的终结性评价。

6.基于核心素养培育的课堂教学实施的路径与策略

（1）基于数学核心素养培育的课堂教学实施的路径（见图3）：

图3　培育核心素养的课堂教学实施路径

（2）基于数学核心素养培育教学实施的策略：

第一，数学概念教学中培育数学核心素养的教学实施的策略：

在概念的形成过程中，明确概念形成的各个环节，在不同的环节中重点关注不同的数学核心素养。在第一个环节中，学生面对一堆具体的对象，通过观察分析，揭示其共同属性，这一过程需要的是直观想象能力、逻辑推理能力和数学抽象能力，没有抽象就不能把结论一般化。但得到的结论是否为共同属性，需要一个一个加以验证，需要的是理解推理能力；在此基础上形成概念，把具有某种特征属性的对象给出名称，得到概念。这是一般化的过程，需要的是数学抽象能力，同时需要逻辑推理能力。因此在数学概念的形成过程中，重点关注“数学抽象”“理解推理”及“直观想象”“数学建模”等核心素养的养成（见图4、图5）。

图4　数学概念教学体现的核心素养

图5　数学概念形成过程中体现的核心素养

在概念的同化过程中，第一环节，通过复习旧概念得出新概念，往往给出一组实物引导学生观察其特征，与头脑中已有概念进行对照，寻找“关系户”、探求“固着点”，需要的是直观想象、逻辑推理和数学抽象的能力；第二环节对概念进行分析，分析要素、分析与旧概念的区别及关联，这需要逻辑推理能力和数学抽象能力；第三环节，需要通过正例、反例对概念加以理解，需要逻辑推理及数学抽象的能力。由此可见，在概念的同化过程中，重点关注“逻辑推理”“直观想象”及“数学抽象”等核心素养的培育（见图6）

图6　数学概念同化过程中体现的核心素养

第二，数学原理教学中培育数学核心素养的教学实施的策略：

数学原理的教学设计通常分为四个环节：第一环节，原理的发现过程。在这一过程中往往是通过创设情境，引导学生在真实情境中观察、思考，能够主动地提出问题、发现问题、研究问题，并且将问题一般化，形成猜想。这一过程重点培养学生的直观想象能力、数学抽象能力和逻辑推理能力。第二环节，问题的证明过程。形成的猜想是否正确，这需要加以严格证明，首先探究证明思路，然后进行证明过程的描述。这一过程重点培养学生逻辑推理能力，包括探究能力、运算能力等。第三环节，原理的理解过程。为了加深对原理的理解，需要对得出的数学原理从多角度加以理解，包括多种语言的表述（文字语言、符号语言、图形语言）、正例反例的辨析等，关注的是逻辑推理能力的培养。第四环节，原理的应用过程。如何在新的环境中应用原理解决问题，培养的是数学建模的能力。由此可以看出，在数学原理教学过程中，重点应该关注“逻辑推理”“数学抽象”以及“数学模型”等核心素养的培育，在原理发现、原理证明、原理应用的过程中以数学核心素养的培养作为教学的最终目标，真正将核心素养的提高落实在数学教学的每一节之中（见图7）。

第三，数学习题教学中培育数学核心素养的教学实施的策略：

图7　数学原理教学体现的核心素养

一节习题课让学生学会解决几道题目不是其目的，而是通过几道典型例题的分析和解决，掌握分析问题、研究问题的基本方法，同时掌握解决问题的方法，即需要掌握一类问题解题策略，这是习题课教学的重要目标，因此在讲解例题的基础上，必须进行解题方法小结。这一步体现的是由特殊到一般、由具体到抽象的过程，着重于抽象能力的培养，以利于落实数学抽象的核心素养。在总结解题方法的基础上，进一步引导学生利用方法解决更高层次的问题，有利于方法的巩固，加深学生对解题方法的理解，更有利于将学生的思维引向深刻，因此，此时问题的选择必须是具有挑战性的，必须高于原有问题的思维层次，让学生在解决问题的过程中，促进深度学习的开展，经历思维的螺旋式上升的过程。在这一环节中需要关注的是逻辑推理能力和数学建模能力的培养。通过深层次问题的解决，加深对解题方法的理解，课堂小结主要围绕着如何分析问题、提出问题、研究问题、解决问题过程的回顾，感悟其中的数学思想方法，同时加深对本节课所总结的解题方法的认识。整节课从认识论的角度来看，主要是体现“实践、认识、再实践、再认识”的过程，显性的是某类数学问题的解决方法，而隐性的是诸多核心素养的落实，这就是数学习题课的价值所在。以上过程，可用图8表示。

图8　数学习题教学体现的核心素养