教材数学概念生成过程及核心素养

1.听课调研，了解真相

通过听课发现数学概念课教学主要存在以下三个方面的问题：

一是教师替代了学生对概念本质属性的揭示，导致学生对概念形成过程缺乏参与体验，影响了学生对概念本质的认识，失去了引导学生参与数学活动、培养数学素养的机会。有的教师直接把定义告诉学生，并让他们熟记；在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，以解题教学代替概念教学，认为让学生多做几道题目更实惠。

二是从一个具体情境或事例中揭示概念本质的方式使概念内涵比较单一狭窄，容易导致学生对概念内涵的形成出现偏差，影响学生对概念内涵的认识。有的老师不知道如何讲授概念，概念教学走过场，常常采用“一个定义，几项注意”的方式；有的教师通过告诉学生尽可能多的正面的例子来帮助学生把握概念；有的教师更倾向于概念的应用。

三是教师替代了学生对概念表述的概括提炼和抽象表达，影响学生对概念来龙去脉的结构性理解，影响了学生对概念内涵本质的理解、内化和掌握。更多的教师关注的是对数学概念功利性的运用，追求的是学生能用概念正确解题的结果。课堂时间有限，教师急于讲例题，根本顾不上讲透概念，只能寄希望于做习题，企图以练代讲，这恐怕就是数学概念讲不透的主要原因。但大量的练习仅仅是执行（规则）的活动，而不是一种认识活动，通过做习题学生并不能自动达到对数学概念的深刻理解。他们更多的只是停留在表面或者一知半解，没有从根本上理解概念的内涵。因而在数学新课标实施的背景下，对中学数学概念教学进行反思，针对不足提出教学建议就显得尤为迫切和必要。

2.理论学习，提高认识

根据多年的教学实践研究，总结了数学概念过程教学的三个环节：

环节一：概念的生成过程，即数学概念是从哪里来的、是怎么出现的。

根据现行教材中数学概念的生成过程可以分成三种类型，在三种类型中可采取如下策略落实数学核心素养：

第一类，概念的形成过程。

教学流程：概念形成是教师提供丰富的典型实例，让学生进行观察、分析、比较、综合等活动，揭示概念本质的过程。通过创设教学情境，提供一类具有共同属性的事物，引导学生经历观察、分析、研究，归纳出共同属性。这一过程是针对一堆具体的事物，得出它们的共同属性后，经过辨析、验证确认其本质属性，在此基础上抽象到一般情况，用数学语言加以描述概括，从而形成一个数学概念。概念形成过程的流程如下：

第二类，概念的同化过程。

教学流程：概念同化是一个由一般概念认识特殊概念、由总括概念认识从属概念的过程。一般的，当新概念是已有概念的下位概念时，可以考虑使用同化的方式进行概念教学。概念同化过程的流程如下：

过程分析：过程①的作用是唤起记忆，将头脑中与要学习的新概念有关的上位概念“唤醒”，在此基础上加强条件，找出具有其他属性的一类事物，得出新的概念，其关键在于建立已有概念与新概念之间的逻辑关系。如“平行四边形”的概念与“菱形”、“正方形”的概念，“菱形”是在“平行四边形”概念基础上添加“邻边相等”的条件而得到的，而在“菱形”概念中，添加“一角为直角”的条件就成为“正方形”。新概念必须具有逻辑意义，因此这一过程重点关注“逻辑推理”即逻辑思维能力的培养，注重“演绎推理”。在此基础上，要对新概念的基本要素进行分析，与相邻概念进行分辨，分析概念中的关键词，分析概念的基本要素，明确其本质区别。如果涉及空间图形问题，则“直观想象”非常重要，通过对直观图形的观察、条件的辨析、图形多种形式的变换，揭示其与上位概念之间的关联，引入新的概念。

第三类，“伴随式概念”的形成过程。

教学流程：数学概念的学习除了上面两种情形——概念的形成、概念的同化以外，还有一些概念是在问题解决的过程中，为了便于表达而产生的概念，比如“直线的倾斜角”的概念，它是在研究如何表示直线的倾斜程度的过程中出现的一个概念。为了研究直线的倾斜程度，区分不同直线的倾斜度，经过分析需要引进一个角直观反映直线的倾斜程度，通过比较辨析，选定了用“x轴正方向与直线向上方向所成的角”作为反映直线倾斜程度的角，我们把这个角称为“直线的倾斜角”，为了保证定义的完备性，对平行于x轴的直线的倾斜角给出补充定义，从而形成了“直线倾斜角”的完整的概念。

过程分析：此类概念的学习与前面所讲的“概念的形成过程”有着明显的区别，前者是通过观察、分析、比较揭示一类事物共同的本质属性，再将其一般化、经过抽象形成数学概念，而后者是为了解决问题。在解决问题的过程中，抓住问题的本质，需要更好地表达这一本质属性，从而引进了一个名称，这里的“经历过程”实质上是经历解决问题的探究过程，是伴随着解决问题而形成的数学概念，因此称为“伴随式概念”。

环节二：概念的理解过程。

过程分析：数学概念形成后的环节就是理解概念。师生共同分析概念的内涵和外延，可以让学生经历揭示概念本质的过程，通过对一些问题的辨析，从概念出发，从正反两个方面加以验证判断，有利于逻辑思维能力的培养，由此加深对概念的理解，并理清与其他概念的联系与区别，体现的都是逻辑关系。

理解概念即理解概念的内涵和外延。理解概念，就是要理解包含在定义中的关键词语。例如偶函数的定义是：设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f（-x）=f（x），则这个函数叫偶函数。定义中的“任意”的含义、“定义域”的特征、关于原点对称、解析式的特点等，都需要学生明白无误地理解。因此，教师在教学中，可以通过举例说明，也可以让学生举例，从而发现问题。特别是举反例，可以加深学生对概念的理解。从概念的形成（具体）到明确概念（一般），再到举出实例（具体），形成一个完整的概念认知过程。

环节三：概念的应用过程。

过程分析：概念形成之后，面对一个现实问题，如何解决？如何想到利用这个概念加以解决？这需要数学建模的能力。学生经历利用概念解决问题的过程，体验利用概念解决问题的思想方法，探究利用概念解决问题的途径和策略。在掌握概念的过程中，为了理解概念，需要一个应用概念的过程，即通过运用概念去认识同类事物，推进对概念本质的理解。这是一个应用与理解同步的过程。例如在“函数的奇偶性”教学中明确奇函数和偶函数的概念后，可以让学生判断下列函数的奇偶性：(www.xing528.com)

①f（x）=x2+1

②f（x）=x+x3

　③f（x）=x3-x+1

　　　　　　④f（x）=|x|，x∈［-1，3］

　　⑤f（x）=0，x∈R

①的目的是让学生理解判断函数奇偶性的两种方法：定义和图像，并规范解题格式。②是一个奇函数。③满足f（1）=f（-1），但是非奇非偶函数。④具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称。⑤既奇又偶函数。这是学生能用概念判断所面对的某一事物是否属于反映的具体对象，是在知觉水平上进行的应用。概念的应用也可以与其他原有概念结合，进行思维水平上的应用。

在数学概念的教学中，概念的引发充分体现教师的主导性；概念的生成充分体现学生的主体探究性；概念的应用充分体现教师与学生的双主体性；课堂小结应该让学生充分回味概念的发现发展过程。一个概念的学习，不仅仅是一堂40分钟的数学课能完成的。对概念的理解与掌握是一个循序渐进的过程，需要在概念课的后继课程中不断地反复应用，不断地加深理解。例如在学习指数函数后，可以利用指数函数的性质比较大小：1.72.5，1.73。如果学生能够做对但说不清楚为什么时，教师需要指导学生从函数观点看这两个数，它们是函数y=1.7x的两个函数值，比较函数值的大小，可以通过研究函数的单调性来解决。同时必须认识到每一个概念的学习都不是一蹴而就的，概念课的后继课对原有概念的理解依然很重要。

3.课例分析，剖析问题

通过对概念课教学案例的剖析，寻找问题的症结。一直以来，广大教师在教学中都非常强调数学概念教学的重要性和基础性，但与期望的目标还有很大距离，教师对于数学概念的教学不重视，导致学生对概念的掌握不理想、对概念的本质不理解、对相邻或者相近的数学概念辨别不清、对基本数学概念的本质不理解，从而引起思维混乱，导致解题失误。

许多教师仍然存在着“重解题技巧、轻数学概念的教学”的倾向，有的教师还是刻意地追求概念教学的最小化和习题教学的最大化，实际上这是应试教育下典型的舍本逐末的错误做法，致使学生中出现两种错误的倾向：其一是认为概念的学习单调乏味，主观上不重视，不求甚解，导致对概念认识的模糊；其二是对基本概念只是死记硬背，客观上对概念的内涵没有透彻理解，只是机械、零碎的认识，导致在没有正确理解数学概念的情况下匆忙去解题，一些学生只会模仿老师解决某些典型题型或者只掌握某类特定题型的解法，一旦遇到新的背景、新的题目就束手无策，进一步导致教师和学生为了提高考试分数陷入无底的题海之中。如果对学生的错误追根究底，可以发现问题主要是在教学过程中忽视了数学概念的形成过程，缺少这个过程，学生很难理解概念的本质。

4.效果检测、总结策略

通过对数学概念教学课例的分析，可以归纳总结出让学生理解数学概念本质的基本策略：

策略一：概念的引发充分体现教师的主导性，注重直观想象、数学抽象素养的落实。

课堂上学生不会凭空想出问题，往往是在教师的启发之下展开他们的思维，为了引入某一概念，教师必须创设恰当的情景，使学生置身于情景之中，引导学生观察、分析、归纳并总结事物的共性的本质特征，这一过程就是培育学生直观想象能力的过程，同时让学生体会到数学概念不是凭空想出来的，而是在解决问题的过程中提出的。这一过程往往伴随着实际应用问题的解决，有利于数学抽象思维能力的培养。这一过程能否激发学生的探究欲望，完全取决于教师课堂教学的设计艺术。

策略二：概念的生成充分体现学生的主体探究性，注重数学抽象、逻辑推理素养的落实。

概念的生成应以学生的合作探究为核心，通过与已有知识的类比、对一些结论的归纳分析，作出一些猜想，展开一些讨论，提出一些“名字”，引进一些“记号”，最后形成共识，得出一个规范的数学定义，形成数学概念。这样，有利于学生理解数学概念的内涵与外延即概念的本质属性，更是一个再发现、再创造的过程，既培养了学生的逻辑推理能力，又使学生从中学到研究问题和提出概念的思想方法，产生创新欲、发明欲，使探索、创新的能力得到提高。通过这一过程，学生既学到了知识，又学会了学习、思考和解决问题的方法，经历了比较、抽象、概括、假设、验证和分化等一系列的概念形成过程，受到的是科学精神、科学思维的训练。在整个教学过程中以学生发现问题—研究问题—解决问题的探究活动为主线，使学生在交流中获得知识，在辩论中理解其本质，学生学习积极性高、思维活跃，教师真正起到“导演”的作用，教学过程高潮不断、跌宕起伏，耐人寻味。

策略三：概念的应用充分体现层次性，注重逻辑推理、数学运算素养的落实。

概念的应用是为了加深对概念的理解、与相近概念的辨析以及在其他情景中的应用，因此必须体现层次性。例如就“直线的倾斜角”教学而言，应该体现两个层次：一是概念的简单应用。给出图形画出倾斜角；给出倾斜角求出斜率。二是倾斜角与斜率关系的应用。这一过程应该是教师和学生共同完成、学生的主动探究与教师的引导讲授相互交替的过程，教师与学生的主体性都应该得到充分的发挥，同时问题的解决过程必须紧扣概念的相关因素，关注逻辑推理。

策略四：概念教学的课堂小结应该让学生充分回味概念的发现发展过程。

课堂小结不仅仅是对一节课知识点的小结、概念的复述，而应该是一个提升的过程，就好比在攀登一个崎岖的山峰，经过自己的摸索，终于登上山峰，站在山顶，回味攀登的过程，会产生许多感慨，起到画龙点睛的作用。从数学学习的角度分析，回顾走过的心路历程，感受概念从无到有的发展过程，可以领悟其中的数学思想、数学方法，同时可以丰富和发展学生的情感、态度和价值观。