数学建模与教学：高中主题教学案例

前文已经讨论过高中数学建模教学如何选题以及如何改编题目，而前期准备中的“分析教学要素”这一部分则是选题和改题的理论依据，在此笔者不再赘述。本节根据前文分析得到的数学建模题目的筛选与改编原则，以张思明的教学实践为典范，确定了该教学设计的高中数学建模题目，设计一份关于高中数学建模教学的主题教学设计案例。

该教学案例来自北大附中张思明老师的教学实录，是经过多次实践检验的成功的经典数学建模教学案例。该教学设计以“磁带中的数学问题”为主题，派生出一系列的数学建模问题，不同水平的学生都可以参与，适合作为“模仿阶段”的数学建模教学案例，同时符合部分高中数学建模题目的筛选原则和改编原则。

那么，接下来是继确定高中数学建模教学“选题准备”之后的“教学实施”部分，作为高中数学建模主题教学设计示例分析。

表3-6是该高中数学建模教学流程中的教学实施环节。

表3-6　该高中数学建模教学流程中的教学实施环节

【教学过程】

一、讨论交流

（注：该环节遵循了丰富度原则和过程性原则）

学生查看磁带样品，小组确定合适的数学模型与解决方案。各小组代表发言，提出本组解决问题的方案：

（1）设法直接测量磁带长L与单层磁带厚度d；

（2）设法直接计算L与d；

（3）设法测量L而计算d；

（4）设法测量d而计算L。

教师提醒学生注意测量中的误差控制。

设计意图：教师直接抛出问题，方便初次接触建模的学生进入建模学习的状态，遵循了数学建模题目改编的丰富度原则；将学生进行分组，锻炼学生的小组合作能力，遵循了数学建模题目筛选的过程性原则。

二、小组汇报

（注：该环节遵循了过程性原则）

学生汇报实际求解过程与结果。

第一组学生A：先将磁带全绕在一边，测量图3-7中的R与r（实测为R=24毫米，r=10.5毫米）。把磁带所在的左盘的俯视图看成一个圆环，把它想象成是由一条长为L、宽为d的“细长矩形”环绕填充而成的，因此有S环=π（R2-r2）= L×d=S矩形。

图3-7　图形

可用上面的公式测量一个数据，再计算另一个数据。

教师追问，激发学生思考如何做到理论联系实际。

追问与回答：

教师：测哪个量？

学生B：测磁带的厚度。

教师：怎么测？

学生B：用千分尺或游标卡尺（结果显示0.016毫米）。

教师：其他同学的测量结果如何？

测出结果的学生：答案各不相同，略有差异，可以取平均值。

教师：大家对第一组同学的做法有什么看法？

学生C：这样测量结果存在漏洞，因为磁带不是刚体，尺子对磁带的压力大小会影响数据结果，可折叠成多层再测。

总结分析：实际上怎样减少测量误差是我们设计测算方法的关键，取均值法是从数学的角度考虑的，而通过增加叠层来提高仪器的测量精度是从物理的角度思考的，这两个也可以一起运用。所以，磁带的厚度大致在0.0165—0.0167毫米，最后算出磁带的长约为90米。

第二组学生D：我们的方案是先测量磁带长度，再算磁带单层厚度，将新磁带放入录音机，走带1分钟，停机，取出磁带，在当前位置将磁带剪短，用手揪出一分钟内通过磁头的磁带，用卷尺测量长度，约2.9米，也就是说录音机在正常播放 1分钟时，磁带走了2.9米，那么1小时则走带174米。

反驳：

学生E：不能乘60，应是30，因为60分钟的磁带的单面放音时间是30分钟，所以长度是87米。

学生F：还是需要多测几次，尽量减少误差。

教师：先肯定两组同学的实验操作，再提出是否能在不剪断磁带的前提下用卷尺测量出它的长度，为什么两组同学的测量结果相差较多。

设计意图：求解问题时，尤其是有测量数据的问题，往往不是一次就能成功的，需要不断对求解过程进行分析、讨论、修正、验算，这本就是数学建模过程中的重要之处，不仅锻炼了学生的小组合作能力，更培养了学生以批判的角度看待问题的思考方式，同时遵循了数学建模题目筛选的过程性原则。

三、问题拓展

（注：该环节遵循了拓展性原则）

学生讨论如何求成卷材料的长度，如纸卷、布卷、油毡卷等，思考新问题与原问题的区别与联系。

教师指导学生对建立数学模型进行推广。

设计意图：将实际背景一般化，不仅可以锻炼学生迁移运用的能力，还为以后解决更一般的数学建模问题做好准备。同时，更显示出数学建模题目的拓展性原则。

四、模型拓展

（注：该环节遵循了课时度原则）

学生展示新的解决方案：

学生F：先测材料的单层厚度d，然后用L=S截面/d来求其长。

学生G：可以应用物理模型，首先以单位长度的待测材料称重（得到的是密度）W0，然后为磁带样本整体称重（扣除卷芯的重量）W1，于是L=W1/W0（单位长度）。

教师提示学生注意使用求长模型需要注意的条件。

设计意图：考虑到数学建模活动的课时度原则，在时间合适的情况下，将讨论时间交给学生，教师不做过多干预，更有利于学生交流时擦出思维的火花。

五、问题发现(www.xing528.com)

（注：该环节遵循了真实性原则）

在录音机上“找”函数：

1.取一盘磁带，观察当磁带全绕在一边时，磁带的边缘与另一边缘之间的最短距离是多少。在放音过程中，这个距离会变化吗？若变化，是变大还是变小？请进行实验观察。要使得在放音的任何时刻两轮磁带的边缘化互不接触，两轮轴间的最小距离应为多少？

2.以家里的录音机为观察对象，观察录音机的计数器中的问题，发现数字k与放音时间T之间的关系。T是k的正比例（或线性）函数吗？你能根据你观察的数据求一个T=f（k）型的近似公式吗？磁带a上有一首长7′3″的歌曲，要将它转录在另一盘磁带b上，起始位置的计数显示是k=100，问转录歌曲结束时，应在k为多少时停机？

教师提示学生注意观察录音机的计数器中的数字变化，鼓励学生敢于谈个人发现。

设计意图：在此问题之前的数学问题，是初中生也可以完成的数学建模题目，偏于简单，适合初接触数学建模的高中生。所以，带着同样的现实背景，依然以磁带问题为引，感受高中数学知识所能解决的更具真实性的数学建模题目，遵循了数学建模题目筛选的真实性原则。

六、建立模型

（注：该环节遵循了知识度原则）

学生H：我们组经过讨论认为，在放音初期，受力轮转得快，供力轮转得慢，因此大盘变“瘦”的速度小于小盘变“胖”的速度，因此两盘空隙渐渐变小，而放音后期正好相反。当磁带走至全长的一半时，两盘间隙最小，此时两轮的外半径均为m，而且由左右两轮磁带缠绕所形成的圆环面积相等，得π（m2-R2）=π（R2-r2）/2。

补充：

教师表扬学生的回答，带领学生记录实验数据，并通过列表，分析各数据之间的函数关系。

设计意图：引导学生在第二次建立数学模型的过程中，结合自己现有的知识背景，理解模型中参数的实际含义，找出隐含的数学关系，建立合适的函数模型，即遵循了数学建模题目的知识度原则。

七、实验探究

（注：该环节遵循了工具性原则）

关于第二个问题：

原始数据：利用原有的试验数据，即k与T的试验数据表，分析计数器的读数k与放音时间T之间的函数关系，见表3-7。

表3-7　函数关系

在教师的指导下，根据数据表格在直角坐标系中做出散点图，见图3-8，并观察分析符合的函数模型。

图3-8　散点图

运用计算器的线性拟合方法，确定线性拟合公式，建立对应的函数模型：T=0.06132521187902k+2.36800226352。

（注：此处省略了计算机验算过程）

教师给出之前学生已探究过的结果，鼓励学生并验证是否满足模型假设。

设计意图：为了节省时间和简单起见，课堂上不再进行新的数据记录，建议同学课下自行探究新的数据。同时，鼓励学生利用计算器中的线性拟合功能，找出线性的拟合公式，建立函数模型，遵循了数学建模题目的工具性原则。

八、模型验证

（注：该环节遵循了过程性原则）

学生提出自己对函数的拟合方案，然后分组计算，再交流分享后，找到主要运用的拟合函数。

教师引导学生设计并计算函数拟合公式，代入数值k=100，得到最终结果。

（2）抛物线型近似公式：T=ak2+bk。因为抛物线过原点，所以默认常数项c=0。将某两点，如点E，F的坐标代入上式，可得如下拟合公式：T=f2（k）=-0.000046698k2+0.0861352k。

（3）幂函数型近似公式：T=akb+c。利用点O，A，F的坐标，可确定a，b，c，可得如下拟合公式：T=f3（k）= 0.1405834k0.8722744。

（4）对数型函数近似公式：T=aln（bk+c）。根据点O，A，F的坐标，进一步确定a，b，c，得如下拟合公式：T= f4（k）=69.1365361ln（0.00125k+1）。

先利用抛物线型近似公式求解问题2，代入数值k=100，计算得到k1≈204，k2≈1640，其中k2不合题意，舍去。

答：在录音机的计数器显示为204时，可转录完该乐曲。

设计意图：该计算过程是在计算器没有拟合函数功能的情况下进行的工作，加大了学生的计算量，但同时也锻炼了学生的函数分析能力和小组合作能力，有利于培养学生的团队合作意识。

九、课题总结

教师将本课的结束语打在屏幕上：

（1）数学就在我们身边，它是我们认识世界、改造世界的好帮手，怎样用好它？

（2）怎样让我们长出发现问题的“慧眼”？

（3）图形计算器可以帮助我们快速解决问题，在解决问题的过程中还可以怎样利用它？

（4）你还能拓宽“磁带问题”，提出新的应用数学小课题吗？请同学们思考这些问题。

设计意图：引导学生深入思考，拓宽问题思路，为后续数学建模的拓展问题做铺垫，培养学生勤于思考的数学学习 习惯。

【案例反思】

该数学建模活动是以张思明教授的数学建模课堂教学设计为基础，并依照本书的数学建模题目的筛选与改编原则做了调整，可作为数学建模教学设计的参考。

从选题背景来看，尽管在大数据时代人们使用的数据存储方式大多是CD、硬盘、U盘或是网络云储存等数字存储方式，以磁带为课题研究对象，没有与时俱进的时代感，但是取材对象可换作卷纸、环形胶带等其他形似的物品，甚至可以考虑研究电缆、电磁感线圈等问题，将知识背景从二维平面推广至三维空间几何问题。

事实上，有资料显示，磁带存储成本低，而且功耗低，可自动化备份，特别是抗毁损能力更是远远超出硬盘十年左右的寿命。隔几年制到新硬盘里，如果是大量数据就会非常麻烦，且容易丢失，而磁带则可以保存数十年，世界上仍有很多企业和档案馆采用磁带进行存储，尤其是那些数据安全性要求高的企业，比如银行，又如移动、电信和联通这样的通信公司。换言之，磁带问题依然有一定的研究价值。

数学建模教学的实施是以建模题目的编写为基础的，在确定了建模题目之后，笔者将着重探究实施建模教学的 策略。