数学建模：高中数学教学的改编原则

高中数学建模教学可以采取多种形式来进行，而模型的选择可用来激励新技术和新内容的学习。小型的建模活动可以用来巩固新概念，并说明它们的应用，而进一步的建模活动帮助学生将从课程的不同内容部分或不同的课程中所获得的观点整合在一起。尽管建模周期的时间限制仍然影响学生参加数学建模创新的频率和时间，但是随着数学知识内容的丰富，为学生提供了更多适用于数学建模的新工具，如函数、几何、概率与统计、微积分等，所以对于高中生来说，数学建模活动是可以在各个学段都安排的数学探究性活动，而处于不同学段的教学任务都有各自的特点。

接下来，依据数学课程标准中对高中数学建模教学的要求，以及上述数学建模题目的筛选过程，分析教师依据什么条件来改编数学建模题目，并用具体题目进行说明。

（一）丰富度原则

丰富度原则指的是依据学生的数学建模经验的丰富度。由于实际情境中的问题往往会特别复杂，不确定因素会有很多，设置模型参数时可能远远超过学生对数学建模的预期，所以此时需要教师帮助初步接触数学建模的学生适度简化问题背景，对事实的某些发生条件做出合理假设，使得初学者在自己知识能力范围内进行建模。这是针对初学建模或对建模活动经验少的学生，教师的支架作用很重要，否则会在很大程度上打击学生的积极性，使学生对数学建模活动望而却步。相反，如果学生的建模经验已经很丰富了，那么教师可以先放手，让学生自己参悟事实背景中隐含的数学建模问题，发现并提出问题，分析并建立模型，教师的支架作用就会弱化。

例如，包装彩绳，建模过程中常常需要把实际问题数学化，特别是该问题涉及几何直观问题，这通常是学生数学建模的难点。倘若教师可以指引学生利用几个具体的长方体实物，经过实际测量、计算的方法，获取针对这几个特殊实物的结论，并且能够运用数学归纳法，提出一般长方体盒子情况下的猜想，即使不能给出证明，也是成功的数学建模活动。倘若学生建模能力强，教师可以放手，让学生自己运用代数思想，用字母表示各节绳子的长度，并绘制长方体盒子的平面展开图，将立体几何的包装问题转化为平面内折线段的长度比较，把“扎紧”的文字叙述转换为两点之间的直线段，最终给出具有普遍性的结论。由此，该数学建模过程就得到整体的完善。

【案例】

包装彩绳

春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心。为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图3-5所示），并在角上配了一个花结。售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图3-6所示）包装更节省彩绳。你同意这种说法吗？请给出你的理由。

注：长方体点心盒的高小于长、宽。

图3-5　捆扎

图3-6　十字捆扎

（二）兴趣度原则

兴趣度原则主要指的是依据学生对题目真实背景感兴趣的程度，这在很大程度上影响着学生发现与提出问题的能力。为了提高学生参与数学建模的积极性，将原始的数学建模背景调换成学生感兴趣的事物上也是允许的。若数学建模活动能够在学生熟悉的生活情境中开展，有利于提升学生的数学意识，并生动地说明了数学在理解日常生活和现实世界上的重 要性。

例如，在停车问题中，倘若数学建模小组恰好是热爱赛车的学生，教师大可查阅相关赛车活动，从学生感兴趣的角度来设置新的问题背景。

（三）课时度原则

课时度原则是依据数学建模活动的课时安排。理论上，建立一个完整的建模周期是需要时间和经验的，而数学建模活动与数学探究活动的课时安排仅有6课时。如果教师将其密集安排在一周之内的时间，那么可以对数学建模题目背景不做过多调整，给学生独立发现问题的时间和机会。如果教师将这6课时分散安排，建议教师可以将该建模问题分解成很多小的建模问题，为学生列出所有可能的问题方案和解决思路，并在课堂时间上以学生讨论为主，建模过程可用小论文或报告的形式展示。(www.xing528.com)

例如，测量学校内外建筑物的高度的问题可以体现整个数学建模过程的四个环节，即选题、开题、做题、结题，教师可把学生进行分组，以小组合作等形式完成这四个环节。但是，可以看出解决问题的过程中不仅有课堂内的讨论分析，又有户外的测量计算，很明显无法在一个课时里完成整个数学建模任务。此时，如果教师对数学建模活动进行设置，教师可以考虑将整个建模题目分解成小的数学建模任务。比如，以四个环节为基础分成四个课时，然后依据实际情况设计课堂内容安排。但是，有一个很大的弊端就是，如若建模课时安排的时间间隔过长，学生每次参与活动可能都需一定的时间回忆上次建模活动的进展和此次建模任务详情。

（四）知识度原则

知识度原则是依据学生的知识能力范围。数学建模活动重在过程而非结果，过程才是结果。但是，对于问题的改编，要尽量减少不必要的人为加工和刻意雕琢，为学生提供数学建模的“提示与要求”等线索即可，多留给学生独立探究的空间。开展数学建模活动的目的不是学生能否解决问题，而是解决问题的方式方法与培养学生团队意识等一些非数学知识本身的学习与锻炼。

例如，体重与脉搏问题，在建模过程中，从数学层面上，只用到了“比例分析”，但是该数学建模活动体现了跨学科的应用，会涉及很多生物知识。对于建模经验丰富，资料搜集能力强的学生，建模思路可能会比较清晰，教师可尽量减少对学生的干预。相反，建模经验少的学生可能在理解题意的过程中就会遇到困难，此时就需要教师帮学生分析题目背后隐含的生物学假设条件。

【案例】

体重与脉搏问题：

生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温。研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血流量q成正比。并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比。体重与脉搏关系见表3-5。

表3-5　体重与脉搏关系

回答下面的问题：

（1）请根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型。

（2）从表3-5中可以看到，体重越轻的动物脉搏率越高。请根据上面所提供的数据寻求数量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数学模型。

（3）根据表格内容，作出动物的体重和脉搏率的散点图，验证建立的数学模型。