高中数学建模题目筛选原则

由于选题准备是数学建模教学活动的第一步，所以在筛选数学建模题目的过程中，不仅要考虑到教学活动离不开课程标准的指导，而且需要结合学生群体的具体情况以及教材内容的设置安排。因此，笔者认为高中数学建模题目的筛选原则从以下三个方面考虑，即课程标准分析、学情分析和教材分析。

（一）基于课程标准分析确立的筛选原则

高中数学课程标准中，对数学建模的实施建议在很大程度上决定了数学建模课程发展的大方向。那么，笔者结合《新课标》中的第六章实施建议部分进行分析，主要考虑以下两个方面，即教学与评价建议和学业水平考试与高考命题建议。

1.依据教学与评价建议

通过分析《新课标》中和数学建模教学与评价相关的要求，对于高中数学建模题目的筛选原则，笔者总结为以下四种原则：

一是真实性原则。情境创设和问题涉及要有利于发展数学建模素养。正如孙晓天教授所言，谈“数学素养”首要一点就是“联系”，即知道书本上的数学与现实生活中的数学之间的联系。也就是说，将数学理论知识应用于解决现实生活中的“真问题”，才能达到对数学知识的真正理解。事实上，这种联系数学与现实世界的形式，显然就是利用数学模型来处理实际问题的过程。所以，数学建模选用的题目最好有较为真实的现实背景，要有利于激发学生的数学学习兴趣。

例如，在2012年的PISA测试题中，有一道关于超市设置结账台的问题，该问题属于最优化问题，综合考虑了超市营业过程中对顾客结账有影响的很多因素，尤其是考虑到现在科技的发展问题，无人超市、自助付款机的诞生对超市运营有很大的影响，显然非常符合数学建模对真实情境的要求，而且有很大的拓展空间。但是，倘若面对这道题目的学生对问题背景陌生，那么这道题目就不再适用于数学建模教学的选题，这就需要教师根据学生身处的社会生活环境来选择更真实的题目。

【案例】

超市问题：

考虑这个现实世界的问题，但不要试图解决它。

大型超市的管理人员希望估计，在任意给定的时间需要开设多少结账台。

可以考虑的因素或变量包括：（a）顾客的平均年龄；（b）平均账单金额；（c）结账员的效率；（d）客户预期的合理的最长排队时间；（e）商店里顾客的数量；（f）购买物品的平均数量；（g）结账员的工资；（h）使用篮子与手推车的顾客的比例；（i）工作时间。

为估计需要为顾客开设多少结账台，下列哪一组变量是最重要的？

a（a），（c），（f），（i）；b（c），（d），（e），（f）；c（h），（c），（d），（i）；d（e），（f），（g），（i）；e（c），（e），（f），（h）。

二是拓展性原则。要在合适的教学情境选择适宜难度的数学建模问题。一般而言，教学情境分为三类，即现实情境、数学情境和科学情境，每种情境又可以分为熟悉的、关联的和综合的，数学建模题目定是源于现实情境，那么依据学生对该情境的熟悉度，可将数学建模问题分为简单问题、较复杂问题和复杂问题。而学生最终所选现实情境的熟悉度以及学生感受到的难易程度，都是因人而异的。

由此，教师在选择数学建模题目时，不仅需要关注学生的社会生活环境，还要考虑学生的知识储备情况和心理认知能力水平。同时，教师也要选择拓展空间大的现实背景，以便于不同水平学生都能够参与到数学建模活动中。

例如，乘坐出租车应付的费用问题。尽管现在看来，该问题已经失去了现实意义，但是当设置以“规划出行”为主题的数学建模活动时，此问题可以灵活改编成各种适宜的形式。考虑到“共享汽车”等现下交通方式的多样化因素，教师也可自己调查一份现下运营的出租车计价方式，形成新的数学建模题目，或者交由学生自己搜集数据，整理分析通过某段路程的打车费用。

【案例】

乘坐出租车应付的费用问题：

乘夏利出租汽车，行程不超过4公里时，车费为10.4元（起步价）；行程大于4公里但不超过15公里时，超出4公里的部分，每公里车费1.60元；行程大于15公里以后，超出15公里部分，每公里车费2.40元。途中因红灯等原因而停车等候，每等候5分钟，车费1.60元。

用计价器每半公里计价一次。例如，当行驶路程（公里）满足12≤x≤12.5时，按12.5公里计价；当12.5≤x≤13时，按13公里计价。

等候时间每2.5分钟计价一次。例如，等候时间T（分钟）满足2.5≤T≤5时，按2.5分钟计价；当5≤T≤7时，按5分钟 计价。

请回答下列问题：

（1）若行驶12公里，停车等候3分钟，应付多少车费？

（2）若行驶23.7公里，停车等候7分钟，应付多少车费？

（3）若中途没有停车等候，所付车费y（元）是行程x（公里）的函数，设为y=f（x），画出0＜x＜7时y=f（x）的 图像。

三是过程性原则。要具有研究的价值，能展现数学建模的完整过程。由于学生的知识储备有限，高中阶段的数学建模活动并不十分看重建模结果的高度准确性和绝对科学性，也不把结果的正确性当作第一位的教学目标，而是更加注重学生对于应用数学知识解决实际问题这一数学建模过程的体验和经历。在数学建模的学习中，教师应指导每个学习者都有信心参与。不论是以个人参加，还是小组合作进行，都是值得肯定的。

也就是说，数学建模活动最注重的是过程性评价，所以选择的数学建模题目应重在体现数学建模的完整过程，而不纯粹地关注问题解决的答案本身。只要学生能锻炼小组合作能力，对于自己所研究的问题进行正确合理的分析和解释，较为正确合理地运用所学知识解决问题，即使其中存在一定的误差，或者逻辑上存在不严谨的缺憾，该数学建模活动也是成功的。

例如，饮水问题几乎是每一个同学在学校都要面临的实际问题，所以这是一道很具有现实意义的数学建模问题。由于在解决这一问题的过程中需要考虑的因素有很多，所以教师可以为学生分配小组，使学生以小组合作的形式共同完成建模 任务。

【案例】

学生饮水问题：

问题背景：水是生命之源，它与人类的健康、生存和发展息息相关。而保证每天有足够的饮水，则是保障健康需要最容易做到的一个方面。

目前，学生在学校的饮用水一般通过以下途径解决：从家里自带饮水（白开水、矿泉水或饮料）、在学校买水（矿泉水或饮料）或饮用电热开水器烧的开水。那么，怎么样饮水既健康方便，又经济实用呢？

四是工具性原则。要重视计算机技术的运用，擅于利用有效的数学建模工具。在“互联网+”时代，越来越普及的现代信息技术，正逐步对数学教育产生巨大的影响。在计算机环境下题目背景更具真实性，而且也为学生学习和教师教学提供了琳琅满目的题目。况且，在《新课标》中提到，开放性问题和探究性问题的评分应遵循满意原则和加分原则。而根据加分原则，可以针对“善于使用计算工具”加分。

时至今日，高中阶段的学生可以说在日常生活中经常性地接触电脑计算机，但是真正常用的数学建模工具或许并不知道。现在高中数学教材中就有计算软件的普及，即科学计算自由软件。所以，不论是数据分析软件，还是图形分析软件，对于这些方便快捷的数学建模工具，如Excel分析工具、图形计算器、TI手持计算器等，需要教师帮助学生熟悉并运用到数学模型求解之中。

也就是说，不仅是选题中注意考虑该题目是否会用到计算机技术，更重要的是建模过程中，要鼓励学生有意识地运用现代信息技术来分析求解模型。

2.依据学业水平考试与高考命题建议

关于“数学建模活动与数学探究活动”的学业要求主要是为了提升学生的六大核心素养，而高考命题的重点考查方向是学生的思维过程、实践能力和创新意识，以及问题情境的设计是否自然、合理。

根据《新课标》中的“命题原则”可以看出，加大了数学应用问题的考查，且评分标准遵循满意原则和加分原则，对于达到测试的基本要求视为满意，在答题中对有所拓展或创新的学生，可根据实际情况加分。对此，笔者总结关于数学建模题目筛选的原则。

首先，数学应用的广泛性决定了建模问题的多样性原则。

数学建模最大的特点就是锻炼学生应用数学知识去解决生活中现实问题，而生活中存在着各种各样的现实问题，而且在建模过程中，会发现纯粹的数学知识不足以解决复杂的现实问题。

例如，停车距离问题，需要学生查阅相关汽车型号与刹车性能的关系，在建模过程中，还要考虑物理学中的能量守恒定律等。

【案例】

停车问题：

根据现实背景，建立急刹车的停车距离数学模型，理解数学模型中系数的意义，并根据模型得到的结果，就行车安全提出建议。

数学建模活动是一个科学研究的过程，可以个人单独进行，也可以组织研究小组共同开展。科学研究通常需要经历选题、开题、做题、结题四个基本步骤。

选题：本案例活动的选题步骤略去。

开题：结合问题，查阅相关资料，检索已有成果，用“头脑风暴”的形式集思广益，初步形成解决问题的大致思路和方案，并分析操作的可行性，尝试撰写开题报告。教师可以组织小组之间交流，请学生代表本小组介绍开题报告，交流反思后，改进并确定实施方案。

做题：实施建立模型、求解模型、检验结果的过程，写出结题报告或写成小论文。(www.xing528.com)

结题：在班里介绍建模过程、结果和收获，由教师和其他同学给出评价。

其次，数学问题贴近学生的生活。在熟悉的实际背景下，更容易解决问题，获得成就感，体会数学的应用价值。同时，考虑到相似的现实情境，该问题还可以进行很多形式的拓展。这展现了数学建模题目的拓展性原则。

【案例】

测量学校内外建筑物的高度问题：

给出下面的测量任务：

（1）测量本校的一座教学楼的高度；

（2）测量本校的旗杆的高度；

（3）测量学校院墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看见的物体的高度。

可以每2—3个学生组成一个测量小组，以小组为单位完成，各人填写测量课题报告表，一周后上交。

拓展：鼓励学生提出新的问题，积累数学建模资源。

例如：

（1）本市的电视塔的高度是多少米？

（2）一座高度为H米的电视塔，信号传播半径是多少？信号覆盖面积有多大？

（3）找一张本市的地图，看一看本市的地域面积有多少平方千米？电视塔的位置在地图上的什么地方？按照计算得到的数据，这座电视塔发出的电视信号是否能覆盖本市？

（4）本市到北京的距离有多少千米？要用这座电视塔把信号从北京直接发送到本市，这座电视塔的高度至少要多少米？

（5）如果采用多个中继站的方式，用100米高的塔接力传输电视信号，从北京到本地至少要建多少座100米高的中继传送塔？

（6）考虑地球大气层和电离层片电磁波的反射作用，重新考虑问题（2）（4）（5）。

（7）如果一座电视塔（300米高）不能覆盖本市，请设计一个多塔覆盖方案。

（8）至少发射几颗地球定点的通信卫星，可以使其信号覆盖地球？

（9）如果我国要发射一颗气象监测卫星，监测我国的气象情况，请你设计一个合理的卫星定点位置或卫星轨道。

（10）在网上收集资料，了解有关“北斗卫星导航系统”的内容，在班里做一个相关内容的综述，并发表对这件事的看法。

高中数学建模课程的最终目标，是为了让学生掌握发现问题和提出问题的能力，这也是对于我国高中学生来说最大的难点。开展数学建模活动，培养学生在日常学习与生活中多观察和多思考的良好习惯。

再次，让学生以交流讲评的形式，给出该项目从“开题”到“做题”，直至“结题”的整个过程的评价。这样，不仅让学生经历整个数学建模过程，理解数学建模的意义，还锻炼了学生通过数学建模的结论和思想说明实际问题的能力。这体现了数学建模题目需要强调过程性原则。

【案例】

测量学校内外建筑物的高度项目的过程性评价：

在每一个学生都完成“测量报告”后，安排交流讲评活动。安排讲评的报告应当有所侧重。例如，测量结果准确，测量过程清晰，测量方法有创意，误差处理得当，报告书写认真等；或误差明显而学生自己没有察觉，测量过程中构建的模型有待商榷等。事实证明，这种形式的交流讲评，往往是数学建模过程中学生收获最大的环节。

最后，“善于使用计算工具”加分，体现了数学建模题目要考虑工具性原则。而这些数学建模主题都是源于现实生活，尽管为了符合学生的知识储备或多或少地对问题情境做了简化，但可以看出筛选数学建模题目依然离不开真实性原则。

【案例】

鞋号问题：

网上购鞋常常看到下面的表3-4。

表3-4　脚长与鞋号对比表

请解决下面的问题：

（1）找出满足表3-4中对应规律的计算公式，通过实际脚长计算出鞋号6。

（2）根据计算公式，计算30号童鞋所对应的脚长是多少？

（3）如果一个篮球运动员的脚长为282毫米，根据计算公式，他该穿多大号的鞋？

（二）基于教材分析确立的筛选原则

狭义上说，教材分析指的是在进行教学设计时，对教材地位的介绍、对教材内容的分析和对教材作用的分析三个部分。而本节内容是根据《新课标》中对高中数学必修课程的教学内容安排和课时分配，以及现有的高中数学必修1—5的课本（以人民教育出版社A版为例，以下简称“人教A版”），从宏观的角度，对教材整体进行分析，以确定高中阶段数学建模题目的筛选原则。

一方面，通过分析人教A版的高中数学教材内容，可以发现该版本教材很注重数学教学与现代信息技术的融合。不仅仅是数学建模活动，更多的还有利用计算机刻画函数图像，利用计算机语言设计程序算法等。由此，更加体现了解决数学应用方面的问题一定要善于使用现代信息技术，即数学建模题目要遵循工具性原则。

例如，对于鞋号问题，根据加分原则，如果学生创建数据表格，利用计算机工具的电子表格绘制散点图，选取几种函数模型进行拟合，并分析拟合结果，确定模型参数，是非常提倡的建模、解模方法。

另一方面，结合高中数学必修课程的内容安排和课时分配情况，来研究如何筛选数学建模题目。从数学知识分类的角度看，新教材必修课程的数学知识内容可分为三个模块，即函数、几何与概率统计，而数学建模活动与数学探究活动的课时安排为6课时，仅约占总体课时的4.2%。所以，建议数学建模题目最好能满足“一题多问”，即一个题目背景，多种问题类型，即拓展性原则。

例如，测量学校内外建筑物的高度，测量高度是比较传统的数学应用问题，其过程中运用了几何模型方面的知识，特别是平面几何中的线段比例、相似形等，还可以用到三角的方法或物理学方法，如考虑自由落体的时间与位移的关系等。虽然建模题目自身难度较小，但是学生对这些几何模型、函数模型或物理模型的学习，不能单纯在建模课程中进行，更需要在日常教学中渗透相关数学建模方法。

如此，考虑教师安排的数学建模周期的长短，既可以在建模周期短的情况下，把较小的数学建模任务分步融入日常教学中，突显数学建模活动的主线作用，也可以在时间充足时，将数学建模任务交由学生独立解决，体现学生在建模活动中的主观能动性，锻炼学生的建模能力。

汇总以上两方面因素的分析结果，得出五条关于高中数学建模题目的筛选原则。

第一，真实性原则。数学建模题目的选择要考虑到学生的现实生活，让建模问题不应该仅仅做到实际上“是”真实的，还应该看起来像是真实的，让数学建模从生活中来，再回到现实中去，以解决生活中的现实问题。

第二，丰富性原则。数学建模题目的选择就要有各式各样的现实背景，以便清晰地展示和解释建模背后想法的必要性，以及应用建模解决各种现实世界问题的需求。另外，所选的数学建模题目应将尽量多的数学知识单元囊括在内。

第三，拓展性原则。数学建模题目要满足“一题多问”，即一个题目背景，多种问题层次，需要有各种难度，以便所有参与的学生都能从中发现一些题目，给学生展示能力的机会。另外，要能够激发学生在建模的过程中产生新的问题串，获得发现并提出问题的能力。

第四，过程性原则。高中数学建模题目需要关注便于学生体验数学建模的全过程，即选题、开题、做题、结题，而不仅仅是问题本身的解决结果。

第五，工具性原则。数学建模题目要结合学生对计算机技术、某些必要的测量工具的实际熟悉度，以及校方教学资源配置，尽可能地提高数学建模过程中各种工具的利用率。