数学建模与高中数学教学：统计与概率的核心内容

（一）构想分析

统计与概率部分内容，通过掷硬币、掷骰子等具体实例，引导学生经历搜集数据、整理数据、分析数据、处理数据的全过程，建立统计与概率模型，帮助学生感悟数学知识在实际生活中决策的必要性和可行性。准备知识（计数原理等内容）、概率、统计作为统计与概率主线的核心内容，以数学建模思想为主题进行教学，建立起整个概率与统计部分的联系。在预备知识部分，实现分层切入目标1；在统计与概率部分，实现分层切入目标2到目标5。

在预备知识教学中应用数学建模思想，通过学生熟悉的情境，引导学生将问题归纳成分步和分类两类，理解其具体意义。运用捆绑法等建构排列计算公式、组合计算公式，理解模型的具体含义。在统计与概率教学中，根据统计与概率直观背景，选择掷硬币、掷骰子等生活实例，分别构建古典概型、二项式定理等数学模型，帮助学生理解统计与概率模型的本质及意义，引导学生经历建立模型到应用模型的全过程，自主完成数学化，并能应用该模型解决生活中的实际问题。

（二）构想案例

在统计与概率这一主线中，通过计数原理、二项式定理、统计和概率等内容来认识和理解这一主线知识，从学生熟悉的生产生活中的实际问题出发，引导学生把数学知识应用到生产实践中，帮助学生进一步了解数学知识的实质，解决日常生活中统计或概率类问题。

“古典概型”教学分析

【学情分析】

学生已经掌握了概率的意义和性质，也会进行简单的概率运算，但是学生的基础知识还不扎实，应用数学知识解决实际问题的能力欠缺，不过学生对数学感兴趣，为本节课的动手实践提供情感支持。

【教学目标】

知识与技能：理解古典概型的概念，在建模过程中深入理解古典概型的两个性质，掌握古典概型的概率计算公式的推导方法，会应用古典概型模型解决生活中的实际问题。

过程与方法：学生通过动手实践抛硬币和掷骰子，发现规律，通过归纳、猜想来总结古典概型的两个性质，通过对不同试验结果的分析、探究，推导古典概型的计算公式，培养学生动手实践能力和数学应用能力。

情感态度与价值观：通过学生感兴趣的掷硬币和掷骰子等素材引入新课，激发学生学习的兴趣，让学生参与实践，培养学生主动探索、积极思考的习惯，领会数学的应用价值。

【教学重难点】

重点：掌握古典概型的概念和性质，利用古典概型概率计算公式解决问题。

难点：准确判断古典概型，古典概型概率计算公式的推导与应用。

【教法分析】

在数学建模思想的指导下，以问题为核心，借助硬币及骰子等实物，引导学生动手实践，主动参与探究，引导学生独立解决问题，提升对知识的应用能力。

【教学过程】

一、环节一：创设问题情境

教师：有甲乙两位同学共同竞选班长职务，但两人最终得票相同，为从中选出一人，两位同学给出如下建议：

建议一：掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”甲同学为班长，出现“反面朝上”乙同学为班长。

建议二：掷一枚质地均匀的骰子，出现“点数小于等于三”甲同学为班长，出现“点数大于三”乙同学为班长。

问：请大家思考，以上两位同学的建议是否公平？

学生：不一定。

教师：请大家分小组完成掷硬币和掷骰子试验，记录掷硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的次数，同时记录掷骰子出现“1点、2点、3点、4点、5点、6点”的次数，至少完成20次试验。

教师：大家已经完成试验，那么大家得到的结果是怎样的呢？每个结果之间有什么特点呢？

学生：在掷硬币试验中，只有两种结果，“正面朝上”和“反面朝上”，都是随机事件，并且结果互不影响，发生的可能性相同；在掷骰子试验中，有六种结果，出现1点到6点，都是随机事件，并且发生的可能性相同。(www.xing528.com)

教师：我们把上面所得到的这类随机事件叫作基本事件，那么大家总结一下基本事件有哪些特点呢？

基本事件特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

（让学生回答，教师最后总结）

教师：从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？

学生：共有6个基本事件，分别为a={a，b}，b={a，c}，c={a，d}，d={b，c}，e={b，d}，f={c，d}。

二、环节二：自主探究，建立模型

教师：上面的三个试验有哪些共同特点呢？

师生共同总结：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同。

教师：我们把具有以上两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

教师：我们知道了古典概型这一数学模型，但在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率又该如何计算呢？

我们仍然在掷骰子试验中讨论，掷质地均匀的骰子，出现各个点数的概率相等，即P（1点）=P（2点）=P（3点）= P（4点）=P（5点）=P（6点）。概率加法公式：P（1点）+ P（2点）+P（3点）+P（4点）+P（5点）+P（6点）=1，则 P（1点）=P（2点）=P（3点）=P（4点）=P（5点）=P（6点）= 1/6。还可以根据概率加法公式，计算出P（出现奇数点）= P（1点）+P（3点）+P（5点）=1/2。

教师：大家思考上面出现奇数点的概率是怎样计算出来的呢？

学生：出现奇数点所包含的基本事件的个数与基本事件总个数的比值。

三、环节三：归纳公式，分析模型

教师：请大家总结古典概型的概率计算公式？

对于古典概型，任何事件的概率为P（a）=a包含的基本事件的个数/基本事件的总数。

注：此公式只有概率模型为古典概型时才可应用，可用于解决满足古典概型性质的实际应用题。在计算时，要准确找出基本事件的总数和要求的基本事件的个数。经运算可知，上面问题中同学的建议是公平的。

四、环节四：运用模型，拓展练习

练习1：假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，…，9十个数字中的任意一个。一个人完全忘记了自己的储蓄密码，请问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？

练习2：某种饮料每箱6瓶，如果其中有2瓶不合格，问质检人员从中随机抽出2瓶，检测出不合格产品的概率有多大？

五、环节五：课堂小结

通过本节课的学习，在知识上你有哪些收获呢？

本节课主要通过大家动手实践，从熟悉的生活情境中抽象出数学知识，从而建立古典概型数学模型。本节课完美地展现了建模的全过程，是在建模思想的指导下完成的。应用古典概型数学模型可以解决生活中概率问题，具有应用价值。

以上几个案例教学中，均是从学生感兴趣的实际情境引入，从实际生活中的问题抽象出数学问题，在课堂中应用数学建模思想进行教学，帮助学生理解数学知识的真正含义，领会其中的数学思想，提炼解题的数学方法，让学生理解数学在实际生活中的现实意义，获得用数学知识解决实际问题的 喜悦。

数学建模构想不仅确定了数学教学实施建模教学的要点，还为实施建模教学指出了方向。在下一章，笔者将详细介绍数学建模过程及实施策略。