数学建模与高中数学教学：几何与代数主线

（一）构想分析

几何与代数主线旨在突出几何直观与代数运算相结合，以数学建模思想为主题进行核心内容的教学，建立起几何与代数部分的联系。在平面向量及应用部分，实现分层切入目标1；在立体几何初步、平面解析几何初步部分，实现分层切入目标2和3；在空间向量与立体几何部分，实现分层切入目标4和5。教师引导学生掌握基本图形及其性质，在学生头脑中形成解析几何等思想方法。几何与代数主线应用数学建模思想教学的内容包括：平面向量及应用、立体几何初步、空间向量与立体几何和平面解析几何。

在平面向量及其应用教学中应用数学建模思想，可以与多学科建立联系，比如从物理中的速度、力、位移等情境引入，通过将丰富的物理背景数学化，引导学生建构向量概念模型。通过将向量模型延伸到平面及空间，帮助学生理解向量模型的几何意义，理解向量模型的代数意义，体会向量在生活、物理中的应用。

应用数学建模思想进行立体几何教学，选择学生熟悉的直观背景，以长方体为载体，让学生建构空间点、线、面的位置关系模型。教师通过提供教室墙壁、黑板、灯管等丰富的实物模型或用计算机构造的几何体模型，让学生形成空间观念，理解线面平行的判定定理与性质定理以及面面平行判定定理等数学模型的具体意义，学会用数学语言表达现实世界，并会用这些模型刻画现实生活中的具体问题。

在平面解析几何教学中应用数学建模思想，通过抛物运动轨迹、行星运动轨迹等几何图形背景，根据具体情境，将代数与几何进行转换，完成数学化，在坐标系中建立直线模型、圆的概念模型、椭圆概念模型、双曲线概念模型以及抛物线概念模型，通过代数思想研究几何问题，运用解析几何模型解决简单的实际问题。

在空间向量与立体几何教学中，要强调运用类比方法和向量方法建构空间线面平行判定、面面平行判定等模型，引导学生经历从建立模型到应用模型解决实际问题的全过程，从不同角度解决距离等立体几何问题，引导学生运用向量模型解决数学问题和实际问题。

（二）构想案例

在几何与代数主线中，要引导学生掌握并整体认识几何体及其性质，以及几何与代数的转化，学会运用解析几何法、向量方法、简单分析法感悟图形的作用，领会用代数思想解决几何问题的精髓。

“直线与圆的位置关系”教学分析

【学情分析】

学生已经掌握了直线与圆的方程知识，初中已经了解直线与圆的几种位置关系，为本节课的学习奠定知识基础，而且对数学建模思想和数形结合思想也有一定了解，为模型的建立及应用提供有效的思想方法。

【教学目标】

知识与技能：在教师引导下，能将直线与圆的位置关系的实际问题坐标化，能根据圆心到直线的距离与圆的半径比较，联立直线与圆的方程，以此来揭示直线与圆的位置关系，能灵活应用直线与圆的位置关系模型解决问题。

过程与方法：学生通过观察图形，将圆心到直线的距离和圆的半径进行比较，独立思考，主动通过联立方程组找到直线与圆的位置关系判断方法；学生亲身感受理论与实际的联系，会应用数学建模思想解决实际问题，提升自身的数学建模能力；教师采取探究式教学方式，让学生通过自主探究、小组合作的方式参与教学实践，提升数学应用意识，提高学生的数学核心素养。

情感态度与价值观：学生主动参与教学活动，经历用圆与直线方程知识解决问题的过程，提高学习兴趣，获得成功的喜悦。

【教学重难点】

重点：直线与圆的位置关系的判断及应用直线与圆的位置关系知识解决实际问题。

难点：体会和理解用代数方法解几何问题的思想方法，通过判断直线与圆的位置关系解决实际问题。

【教法分析】

在数学建模思想的指导下，教师通过学生身边随处可见的生活实例引入新课，让学生主动参与，引导学生独立解决问题，提升学生对知识的实际应用能力。

【教学过程】

一、环节一：创设问题情境

实际问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70千米处，受影响的范围是半径为30千米的圆形区域，已知港口位于台风正北40千米处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受台风影响？

教师：我们该怎样判断轮船是否会受台风影响呢？

学生：看轮船航线所在直线与台风所在圆形区域是否有交点，有交点就会受到台风影响，没有交点就不会受台风影响。

教师：我们把航线看成一条直线，台风所在的圆形区域抽象成一个圆，那这个问题就转化为数学中的哪一类问题？

学生：直线与圆的位置关系问题。

二、环节二：自主探究，建立模型

教师：我们该怎样解决这个直线与圆的位置关系问题呢？大家分组讨论。(www.xing528.com)

学生：以台风中心为原点O，正东方为x轴正方向，正北方为y轴正方向，建立平面直角坐标系，取10km为单位长度，求出圆与直线的方程分别为x2+y2=9，4x+7y-28=0。

方法一：

学生：求出圆心到直线的距离d≈3.5＞3，圆心到直线的距离大于圆的半径，所以航船不会受台风影响。

教师：除以上方法，大家还能想到其他办法解决这个问题吗？

方法二：

三、环节三：总结方法，分析模型

教师：通过前面的学习，我们知道判断直线与圆的位置关系有两种方法，大家能总结出用两种方法判断直线与圆的位置关系的步骤吗？

方法一：

第一步，方程化为一般式，求出圆心和半径。

第二步，利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离。

第三步，比较d与R的大小，当d＞R时直线与圆相离，当 d＝R时直线与圆相切，当d＜R时直线与圆相交。

方法二：

第一步，直线方程与圆的方程联立成方程组。

第二步，利用消元法，得到一元二次方程。

第三步，求出其判别式Δ的值。

第四步，比较Δ与0的大小，当Δ＜0时直线与圆相离，当Δ＝0时直线与圆相切，当Δ＞0时直线与圆相交。

综上，方程没有实数根，圆心到直线的距离大于半径，所以直线与圆没有交点，把所得到的结论应用到实际问题中去检验，得到轮船不会受到台风的影响。

四、环节四：运用模型，拓展练习

通过前面的学习，我们做下面练习来检验一下学习效果。

练习1：已知直线l：3x+y-6=0与圆心为C的圆x2+y2-4=0，判断直线与圆的位置关系，如果相交，求出它们的交点坐标。

练习2：已知过点m（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0

五、环节五：课堂小结

这节课我们都有哪些收获呢？

这节课主要是在数学建模思想指导下进行的，通过将实际问题抽象成数学问题，建立数学模型，解决问题的过程，主要用到建模思想，这是我们数学学习中非常重要的思想 方法。

总结：从实际问题中抽象出直线与圆的位置关系数学模型，此类问题关键在于求出直线与圆的方程，通过判断直线与圆的位置关系解决实际问题，培养学生抽象思维能力。