纳西族数学文化在小学教育中的实践研究：探索数学文化

数学文化是一个颇具争议的概念。20 世纪90 年代初，我国研究者把“数学”与“文化”作为两个独立的词，著作名称中多用“数学与文化”，目的是强调数学对人类文化的作用，如齐民有所著《数学与文化》，北京大学的教授孙小礼和邓东皋、张祖贵等合编的《数学与文化》。1998 年，郑毓信、王宪昌、蔡仲等编写的《数学文化学》将“数学文化”作为一个基于数学学科的专有名词使用。数学文化，是数学还是文化？是“数学+文化”？如果是“文化+数学”，那是人类文化中与数学有关的部分呢，还是数学中与人类文化有关的部分？要厘清数学文化的内涵，有必要先来看看什么是数学，什么是文化。

什么是数学？古今中外很多知名学者曾经尝试着去描述数学，观念由静态数学观发展为动态数学观。静态数学观预设数学体系的先天存在性和绝对真理性，是一种神性的、静态的、形而上学的绝对主义数学观。古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯说：“万物皆数，数先于事物存在。”古希腊伟大的哲学家柏拉图也说：“数学对象存在于理念世界。”德国古典哲学创始人康德认为：“存在永恒的、唯一的、绝对正确的数学体系。”连英国著名的物理学家牛顿也说：“上帝按照数学方式设计了自然界。”陈省声（首批中国科学院外籍院士，曾任美国数学会副主席）说：“数学是一门演绎的学问，从一组公设，通过逻辑的推理，获得结论。”1984 年，美国数学哲学家、科学哲学家基切尔（P. Kitcher）在《数学知识的性质》（The Nature of Mathematical Knowledge）一书中提出“数学活动论”：数学不应等同于已经得到的数学命题或理论，不应该被看成不可怀疑的真理的堆积，而应被看成人类的一种创造性活动，是一个由问题、语言、论证、命题及元数学观点等多种成分组成的复合体。这一观点为深入和全面地理解数学的本质提供了一个新视角。恩格斯说：“数学是研究现实世界中空间形式和数量关系的科学。”2001 年实验版的《全日制义务教育数学课程标准》对数学是这样描述的：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。2011 年修订版《全日制义务教育数学课程标准》参考恩格斯的观点，对“数学”的概念进行了浓缩、提炼，更精准、确切地表达了数学的地位及作用：数学是研究数量关系和空间形式的科学。

什么是文化？文化一词最早出现在《周易》：“观乎天文，以察时变；观乎人文，以化成天下。”这里的“文”字指“纹路、色彩”，引申为事物的“道理（结构、秩序等）”，“化”就是“变、改变”“使……变成……”，这样，“人文化成”可以解释为：用人文的道理来造就人的世界。也就是说“文化”指的是用人的标准和尺度去改变对象的行为过程及其结果。文化是一个非常广泛的概念，1951 年时关于文化的定义已经有164 种，目前关于文化的定义至少有几百种。最先给文化下定义的是英国人类学家爱德华·泰勒，其在《原始文化》（1871 年）一书中首次把文化作为一个概念提了出来，并表述为：“文化是一种复杂整体，它包括知识、信仰、艺术、道德、法律、习俗以及其作为一名社会成员而获得的能力和习惯。”梁启超说：“文化者，人类心能所开积出来之有价值的共业也。”由此可见，数学只是文化的一部分，是文化的重要组成部分。

那究竟什么是数学文化呢？1981 年，基于文化背景的数学发展理论说明数学具有多元性，美国数学家怀尔德（R. Wilder，1896—1982）首次在《数学概念的进化》和《作为文化体系的数学》中提出“数学文化”的概念以及相关的理论体系：数学是一种文化体系；数学知识是一种文化传统；数学活动就其过程来说是一种社会性活动。

国内较早关注数学文化的学者有北京大学的孙小礼教授等，她和邓东皋等合编的《数学与文化》汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值，特别指出了数学思维的文化意义。[1]

自20 世纪80 年代末90 年代初以来，国内掀起了一股研究数学文化的热潮。目前从事数学文化研究的有著名专家学者、年轻的博士硕士研究生、各大高校的数学教师以及中小学数学教师，他们组建了一个又一个数学文化研究团队，获得了无数丰硕的成果。其中，在数学文化的定义上就呈现百花齐放、百家争鸣的场面。在我国，数学文化最早是1990 年提出的，但直到1998 年，郑毓信、王宪昌、蔡仲等编写的《数学文化学》一书中才将“数学文化”作为一个基于数学学科的专有名词使用，用社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文化效应。[2]书中指出，数学文化即是一种由某种因素（包括居住地域、民族性和职业等）联系起来的特定群体所特有的行为、观念和态度等，或者说，即是指数学共同体所特有的生活方式。但“数学文化”一词在近十来年才使用得多起来，已经出版了大批研究它的书籍。2003 年，教育部颁布了《普通高中数学课程标准》，第一次由官方正式地提出“数学文化”，从课程的角度提出了对数学文化的认识，指出数学文化是由知识性成分数学和观念性成分数学系统所组成的。但是，“数学文化”至今还没有一个公认的、统一的界定。

一般来说，数学文化的定义有广义和狭义之分，广义的数学文化由显性的数学文化和隐性的数学文化两部分组成，而狭义的数学文化则专指隐性的数学文化。[3]内蒙古师范大学代钦教授认为，数学文化是数学知识、思想方法及其在人类活动中的应用以及与数学有关的民俗习惯和信仰的总和。他认为，数学文化有四种形态：纯粹数学形态、学校数学形态、应用数学形态和民族数学形态。[4]这四种形态并不一定截然分开，它们之间也存在不同程度的联系或交叉。比如说，我们可以说纯粹数学、数学史、数学故事、几何图案、某些特殊意义的数字都是数学文化，但反之则不然，不能说数学文化是纯粹数学、数学文化、数学史，等等。西南大学宋乃庆教授认为数学文化有广义和狭义之分，广义的数学文化概念是：以数学科学体系为核心，以其内在的思想、精神、方法和庞大的知识体系等所辐射、渗透和扩展到相关文化领域的一个具有强大精神与物质功能的动态系统，是数学知识、数学精神、数学思想、数学方法、数学思维、数学意识、数学事件等文明的总和。而狭义的数学文化概念为：将数学放在文化背景下进行宏观的反思，它主要研究数学与人类文化的动态关系。

图2-1　宋乃庆教授的数学文化观

图2-2　宋乃庆教授主编的《数学文化读本》

南开大学顾沛教授认为狭义的数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；而广义的数学文化则是除这些以外，还包含数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等。

进入21 世纪之后，人们对数学文化的研究更加深入了。一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学的过程中能够真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。

《全日制义务教育数学课程标准》（2011 年版）指出，数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。[5]为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。例如，可以介绍《九章算术》、珠算、《几何原本》、机器证明、黄金分割、CT技术、布丰投针等。目前数学文化已经被列入高中数学课程（选修课程）。高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对数学文化的学习要求，设立“数学史选讲”等专题。如《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1》中“关于导数及其应用”对于数学文化提出了这样的要求：收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

现行数学新教材，无论是小学教材、初中教材还是高中教材，数学的文化味扑面而来，那一幅幅人性化的章首图、主题图、插图，那一篇篇通俗化的阅读材料，无不透射出当代数学教育的人性化、通俗化、大众化的教育理念。的确，以弘扬数学文化为核心的数学教育才是科学的数学教育，才是完整的数学教育。但是遗憾的是，虽然目前我国所有的中小学数学课标新教材都编有数学文化内容，但是篇幅还较小，内容的广度和深度都不足以达到以弘扬数学文化为核心的数学教育的目的，因此迫切需要广大科研工作者、教研员、教师为学生提供数学文化读物。以西南大学宋乃庆教授为首的研究团队就在数学文化读物的道路上做出了一定的贡献，其主编的《数学文化读本》联系教材且符合课程标准要求，既可以作为课堂教学的辅助工具，又可以成为学生课外活动的教材。[6]

2016 年10 月8 号，教育部考试中心公布了〔2016〕第179 号文件《关于2017 年普通高考考试大纲修订内容的通知》，对高考数学增加了数学文化的要求。这一文件的公布，是从考试命题的角度第一次非常正式地明确要求要把数学文化渗透入数学试题，那么未来高考数学命题肯定会遵照执行，定会有所体现。其实在此之前的高考数学题中也有“数学文化”的影子，如：

1. （2015 年全国新课标Ⅰ卷，第6 题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　）。

A. 14 斛　　　　B. 22 斛　　　　C. 36 斛　　　　D. 66 斛

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积。

2. （2015 年湖北，第2 题）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（　　）。(www.xing528.com)

A. 140 石B. 160 石C. 180 石D. 200 石

【考点】分层抽样方法，本题考查学生利用数学知识解决实际问题及计算的能力，比较基础。

3. （2016 年全国新课标Ⅱ卷，第8 题）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a，b分别为6，4，则输出a的值为（　　）。

A. 0B. 2C. 4D. 6

【考点】更相减损术；程序框图。

4. （2016 年四川，第15 题）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x 的值分别为3，2，则输出v的值为（　）。

A. 35B. 20C. 18D. 9

【考点】秦九韶算法；程序框图。

数学文化我们提了几十年了，但如何在数学试题中体现出来，对广大一线教师而言仍是比较陌生的，在高考试题中体现数学文化，还处在“摸着石头过河”的阶段。由于数学文化本身是个笼统的概念，传统意义上的“文化”在文科中出现得较为普遍，在文科试题的命制中是很容易做到的，而数学是逻辑科学，是思维的科学，如何把“文化”渗透其中，实在是摆在广大数学教育工作者面前的一个新的课题。值得注意的是，把数学文化渗透到试题当中，不能片面地认为就是简单地把古文数学材料中的一段话搬过来整合到题目中。前文提到的一道例题就是把《九章算术》的一段古文拿过来，然后再用白话文解释一番。实际上在解题中没有几个学生去认真阅读那段古文，大部分都是直接看白话译文，看完白话译文就能马上做题。试问这段古文除了给人感觉很酷外，作用何在？意义何在？如何体现数学文化的精髓呢？当然，这种方式可以理解成在做数学题的时候顺便把传统中华文化渗透其中。但这种方式其实是一种拼盘式的行为，它渗透的是中华传统文化，考查的是日常教学中把中华传统文化与数学教学结合的情况，但数学文化（“数学化人”与“人数学化”）的渗透还远远不够。数学文化教育是一个过程，因此如果要在高考命题中融入数学文化的话，它的立意应该就在“数学化人”与“人数学化”两个方面，只要能够体现出这两个方面中的任何一个方面，就可以看成是体现了数学文化。既然教育部提倡在高考试题中体现对数学文化的考查，那么需要编制出能考查过程的题目，就需要命题专家潜心琢磨。真正地理解数学文化，就是要从过程的角度去理解，只有了解了文化发展的过程方能领会文化的内涵。无论是对于命题者、教材编写者，还是我们一线数学教师，这都是下一步工作需要重视的，尤其是新课标修订者和新教材编写者，更需要重视。未来新教材的修订，如果所选知识点的背景作用微乎其微，所选题目还是以前的风格，所选例题习题不能体现数学文化的过程性特点，那么其成功性就值得怀疑。那局面将是“高考命题者一套，教材编写者一套，课标又一套”，这“三套”将会让奋战在基层的一线教师无所适从。

例如，小学一年级数学题中出现的填九宫格题：

在下面的方格中填入1 ～9 的数字，使得横竖相加、对角相加都等于同一个数。

九宫格

这种类型的题在小学数学中绝对称得上经典，既然是经典就必定有它的价值。若在讲解此类题型时，教师顺带引出九宫格的历史背景，以讲故事的方式告诉一年级的小学生：“九宫格是一款数字游戏，但是它起源于‘河图洛书’，‘河图’与‘洛书’是中国古代流传下来的两幅很神秘的图，被誉为‘宇宙魔方’。很久很久以前，上古伏羲氏时，洛阳东北孟津县境内的黄河中浮出龙马，背负‘河图’给伏羲，伏羲依此而演成八卦，后成为《周易》来源。又相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮‘洛书’献给大禹，大禹依此治水获得成功，遂划天下为九州。”听完故事，学生都聚精会神地在遐想这个九宫格的神秘和神奇之处，自然记忆深刻。似乎解开了这道九宫格，他们就像奥特曼一样拥有了拯救地球的本事。2009 年，本书的作者之一在小学一年级任教时就遇见这类题型，当时发现这种题型出现的频率很高，学生一怕难二没兴趣，自然每次做作业的时候只能横竖相加或对角相加，使其等于同一个数，没有多少耐心去深究这个题的对错。后来，作者把九宫格的这个文化背景以讲故事的方式介绍给学生，再讲解做题技巧，结果出乎作者的意料，学生大部分都会做这种题了，甚至班里的一个小男孩回家后把“河图洛书”的故事以稚嫩的口吻讲给爸爸妈妈听，家长与作者交流时说：“我家小孩说这种题在很久很久以前是在一只乌龟背上驮着的，神秘得很呢，但是他会做！”由此可见，把数学文化渗透到数学教育中，能解决很多光靠知识讲解解决不了的问题。

数学是文化的重要组成部分，而数学知识和数学文化是数学的两个主要方面。数学知识主要指在数学学习过程中，所接触到的能够看得见的物质形式，如公式、定理、计算法则等。那数学文化呢？其实数学文化以隐性的方式反映数学，数学文化特指意识中的数学方法、思想、精神、观念等，其一旦形成，便有自己存在和发展的规律。学数学有用吗？或许有的家长认为没必要学那么多数学知识，在普通人的实际生活中，小学数学知识已经远远够用，学过几个数字，学了加减乘除，买菜卖菜会算个账，别人哄骗不了就足矣。许多接受高等数学专业教育的大学生也在思考，今天费尽心思去解的微积分、行列式等，进入社会以后，如果不从事高校教育工作，很少有机会用得到。一旦出了校门，要不了一两年，所有微积分、行列式……统统都还给老师了，若干年后，遗忘到自己都怀疑自己是否是数学专业出身的。事实真的是这样的吗？非也！非也！无论他们从事什么工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，也会长期地在他们的工作和生活中发挥着重要作用，影响着他们去思考、去决策，走向成功。这无疑是对数学文化内涵的一个精彩注释。若干年后，数学知识或许会被遗忘，但数学文化作为一种文化已经深深地影响着我们的生活与工作。王梓坤先生在《今日数学与应用》中指出：“数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵，数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括。”我们学习数学不仅是为了获取知识，更要通过数学学习接受数学精神、数学思想和数学方法的熏陶，提高思维能力，锻炼思维品质。

研究丽江纳西族东巴文化，就会发现数学元素活跃于其中：和数有关的东巴文、数词的表示（基数、序数、概数、余数、倍数、分数及百分数等）及运算、计量单位、数字崇拜、几何图形等。我们将这些在长期生产生活中诞生的数学知识、思想方法以及与数学有关的民族习惯和宗教信仰概括为纳西族数学文化。研究纳西族数学文化具有以下三方面的现实意义：其一，目前国内的民族文化研究者已经挖掘出藏族、白族、彝族、傣族、布依族等少数民族文化中的数学元素，并形成了这些民族的数学文化体系，用于传承民族文化和指导少数民族学生的数学教育，而丽江纳西族数学文化还是一头沉睡的雄狮。其二，纳西族数学文化是东巴文化的重要组成部分，应把它的内容挖掘出来形成一个知识体系。探析东巴文化中的数学文化，可以丰富东巴文化的科学内涵，有利于东巴文化的保护与传承。其三，研究表明，将少数民族数学文化融入中小学数学教育，可以很好地解决少数民族学生学习中的“文化偏向”问题，激发少数民族学生的学习兴趣，提高教学质量。挖掘这些数学文化并恰当地将其应用于数学教学，建立数学与生活之间的联系，能提高纳西族聚居区学生的学习兴趣，推进数学课程的改革，有利于课程资源的开发。这些年丽江旅游开展得如火如荼，受人口流动加快及汉文化影响，纳西族数学文化正逐步汉化和消失，所以，研究丽江纳西族数学文化具现实意义。

纳西族数学文化主要体现在东巴文、数词的表示（基数、序数、概数、余数、倍数、分数及百分数等）及运算、计量单位、数字崇拜、天文历法、建筑、服饰及宗教占卜等方面，这些都充分反映了纳西族人民的智慧及古代数学成就。