初中数学翻转课堂个案研究

（一）研究方法

本章主要运用文献法、调查法、个案研究法进行研究。

1.文献法

笔者通过大量阅读与本书内容相关的资料，在充分了解前人研究结果的基础上，确定自己的研究方向和研究重点。同时，也借鉴他人的优秀研究成果，吸收他们有价值的观点，帮助自己更准确地定位研究内容。

2.调查研究法

调查研究法是最常用也是较科学的研究方法。因此，在本章个案研究中，笔者采用问卷调查、访谈等形式，通过设计问卷和进行访谈来调查对象，了解他们具体的思想动态和学习状态，以及他们所期盼的辅导方式等。

3.个案研究法

个案研究法是指对某一个体、某一群体或某一组织在较长时间里连续进行调查，从而研究其行为发展变化的全过程。这种研究方法也称为案例研究法。笔者选定两个对象参与，并进行跟踪调查，通过对收集的资料进行整理研究并结合跟踪研究的结果进行了分析。

（二）被试背景

1.被试原因

本次实验中，为了了解学生特别是初中数学学困生的数学学习状态，笔者选取了初二、初三共175名学生参与《数学学习情况问卷调查表》的问卷调查，其中选取平常成绩低于90分（满分150分）的63位学生的问卷进行统计分析，总结归纳了数学学困生的成因及特点。（详见附录5）

本次实验选取被试对象两个：学生A，学生B。研究对象的选择是按照本书中“数学学困生”的界定方法来选择的。两名学生均是智力正常，具有正常学习能力，且处于正常的教学环境下，但是由于反应迟缓、接受速度慢、缺乏兴趣、学法不当等因素而数学学习水平较低，不能按照教学大纲的要求完成学习任务或数学成绩较大地低于自己相应智力水平的学生。两名学生的平时测试成绩、期中期末考试成绩均为不及格，同时数学课堂上的学习状态远远低于同等智力水平的学生，均不能独立完成数学作业、练习，数学解题、数学思维等能力偏低。

2.被试者特征

（1）第一个对象

初二下学期末厦门市数学统考试卷满分为150分，考试内容包含初一初二全部知识。而该生考51分，年段第436名，全年段534人。该生先天智力不差，态度也不差，有学好数学的心思，而且数学反应也挺快，但是无法坚持认真学习，在课堂上也容易走神分心，课后也缺少及时复习。除了这些原因，她还缺少总结，没有发现对自己有效的学习方式、方法，以致数学成绩属于毫无进展的类型，从而在一直无法进步的情况下丧失了学习的动力，进而成绩不断退步。据了解，她在初二暑假也有去参加补习班，主要是复习巩固初二知识。但是，笔者发现这个补习班对她产生的效果不大。她对于补习班所复习的旧知识有一定程度的理解和应用能力，同时也具备部分思维能力，但是存在知识记忆模糊的问题，容易产生知识间的混乱。因此，笔者决定从圆的内容入手，通过帮助她阅读题目、观察图形、综合分析，从而来提高她的逻辑分析能力和综合应用能力。

（2）第二个对象

初二下学期末厦门市数学统考试卷满分为150分，考试内容包含初一初二全部知识。而该生考29分，年段第482名，全年段534人。该生同样是智力正常的学生，其学习态度还是很端正的，但他的反应和接受速度就比较慢，他在大课堂教学中很容易跟不上节奏，而且还容易走神。因此，在一堂数学课的学习中，他就只能做到前几分钟认真听、能听懂，接下来就是一片混沌了。他也在初一初二尝试过上补习班，但因为接受速度慢，跟不上补习班的上课节奏，提高效果几乎是零，因此他个人就有点想放弃数学的学习了。了解了基本情况之后，笔者对他进行了一次基础知识测试。经过测试，笔者发现他不只是基础薄弱，连最基本的计算题也错了，计算能力极差，更不用提其他应用方面的能力了。因此，笔者决定主要先从基础的计算能力方面来提高，进而提高他的代数应用能力。

（三）个案研究过程设计

本章采用理论研究与实践探索相结合的研究思路，以个案研究为主的研究策略。整个过程大致分为四个阶段。

第一阶段：运用文献法大量收集资料，进一步了解“初中数学学困生”的成因和特点。

第二阶段：明确研究对象、方向、内容。

第三阶段：对选定对象实施个案研究，收集资料并得出结论，加以分析，从而找到利用微课转化“数学学困生”的有效方式。

第四阶段：从个案研究中分析整理得出结论，最终达到整个课题的研究目标。

（四）个案实施过程案例

第一次见面时间：2016年10月20日。

地点：办公室。

师：你的作业完成得很不错啊，字迹很清楚，准确率也很高啊！可是，考试成绩都不理想，不应该啊！

生：平常作业中，一些是我自己写的，但大部分题目是抄同学的。

师：为什么不自己尝试多写一点？

生：看了题目后，我脑海里依稀会有一些答案的影子，但是就是写不出来，然后只好参考同学的作业，我才恍然大悟，就抄着写了。

师：那你是不是很不喜欢上数学课？

生：还好，就是很多时候我都听不懂，觉得老师讲的题目都好复杂，就像展览图片一样，一面一面翻过去，我都跟不上，只能了解个模糊的影子。只有当老师着重讲述定理或概念时，因为老师对定理的一再强调，我才能跟上节奏，把这些定理、概念背一下。

师：那你上数学课，都是这种状态吗？

生：绝大部分是。一般都是刚开始听得很仔细，也觉得挺容易听懂，但我容易走神，就因为一会儿的走神，再听就听不懂了，而且越听越蒙了，再听几分钟就放弃了。

师：那你每节课用来认真听课的时间就很少啊，比其他同学都少，怎么可能会把知识学明白呢！每个人都有一个学习知识所需要的最少时间，你根本连这个都没有保证，肯定学不好数学了啊。那你没有想过改变一下？

生：有啊。我每次上课都警告自己不能走神，可是大多时候我还没想清楚老师的上一句话或上一个步骤，就又落下了老师好几句话，这样循环下来，我就听不懂了，然后就听不下去了，就更容易走神了。

师：那你课后有努力去弥补一下吗？

生：有啊，我课后偶尔会问同学，暑假也有去补习。只是感觉通过补习掌握知识了，上课还是听不懂。

师：暑假补习的内容是以前学过的内容吧？

生：是。复习初二的内容。

师：这就对了，因为我们现在每天都在学习新知识，你上课状态根本没改变，还是走神、跟不上节奏，才会觉得学习还是很吃力。其实，你要想改变学习数学的状态，不是单纯依靠周末补习2小时或是寒暑假的补习就能改变的，最关键的是每天的消化，最好能每天补上你课堂上的缺漏，才能缓解你的上课状态。

师：你有没有想学好数学？

生：有。我明白别人能学好数学也是花了很多时间和精力的，而且他们上课也是很认真的。扪心自问，我的认真状态和他们还是有很大差距的，如果我的上课状态有所改变，应该是能改变学习情况的。况且，我也准备考普通高中，那数学也是一个必须要提高成绩的科目，我更是想学好了。

师：那你觉得自己是笨才学不会数学吗？

生：不会。我其实不比我的同桌（学习很好的同学）反应慢，有时我比她还快地想到思路，只是我无法把想法表达出来，也就无法把题目解出来。

师：你觉得可以从哪些方面来帮助自己？

生：我其实有把书本的概念、定理等看得很熟，可就是看到题目写不出来。我可能需要花一些时间来做基础知识的复习和练习，我会更多地去问老师和同学。

师：老师接下来想做一个实验，主要是研究利用微课视频来进行课后知识的辅导，特别是基础知识。所谓微课就是利用8—12分钟的一个视频来教授一个知识点。因为我选择的内容比较基础，这对于你提高数学成绩和能力会有很大帮助。你愿意参加吗？

生：好。

分析：通过第一次谈心，了解到该生的具体情况是：上课不够认真、投入，容易走神，同时由于基础薄弱，对数学学科的抽象性理解能力也较差，在课后也没有很好地掌握复习的方式方法，造成数学知识缺漏越来越大，应用知识的能力也没有得到训练，成绩也就跟着不增反降了。

第二次见面时间：2016年11月18日。

地点：办公室。

该生在《圆》这一章的测试中取得的成绩是36分，满分100分。笔者认真查阅了该生的试卷，发现她只有在选择题和填空题中得到了基础的知识应用分数，而几何书写题都无法得分，甚至是空白。在实施微课辅导前，笔者也针对《圆》的内容，对该生进行了一次小测试，发现她对于定理能琅琅上口，但是无法顺利解题。该生无法理解图形和题目信息，未能从中找到应用定理的突破口。在学习了《圆》的基本概念、圆心角、圆周角、圆内接四边形的四节微课后，该生接受了第一次相关知识测试和座谈。本次测试中，该生的完成情况很好。四道选择题全对，两道证明题也写得很不错，思路清晰，书写格式也基本完整，只有个别小疏漏。

师：听了四节微课，你觉得这种方式帮助你课后复习，好不好用？

生：很方便啊。这种微课方式很方便观看，我用电脑或者手机都可以观看，而且又能随时暂停、回放，我可以很灵活地安排观看的速度，对于听不懂的地方还可以选择多重复几遍。最主要是每天都能跟着教学内容，及时补上所缺漏的知识。同时，因为视频的最大特点就是每天的任务很明确，又很容易达到，每节课复习一个独立的知识点，内容很具体，而且内容又不多，所以学习起来很轻松。

师：那听了四节微课后，你对于“圆的基本概念”这部分知识的理解有没有更清晰？

生：我之前上课有认真记住老师一再重复的定义、定理，课后也看书了，能背诵相关的定义、定理，当时就觉得这些知识其实就这么简单。但是遇到题目，我根本就不知道要怎么将定理运用到题目中。哪些弧和哪些角有什么关系？“同弧或等弧所对的圆周角相等”中哪两个角是满足同弧或等弧所对呢？根本不是定理阐述的那么简单，定理内容和题目信息要结合起来还是有一定难度的。但是，看完了这几节微课，特别是结合微课里面的练习题，通过老师的详细讲解，我就能理解题目信息和图形之间如何相互转化，也能从中体会到老师是如何运用定理知识的。而且，有老师的解题模板可以参考，一步步学习下来，我就能自己尝试运用定理来解题了。

师：你能举个例子吗？(www.xing528.com)

生：比如，在《圆周角》这节微课里有这样一道题目：AC是圆的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于（　）。

A.64°　B.48°　C.32°　D.76°

之前我会跟着老师很熟练地背诵定理：“同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。”但是，在具体题目中我根本找不到地方来用，说具体点就是我不知道该怎么用。但是，在看微课时，我就能通过老师的讲解，明白本节知识点的关键就是找到圆周角所对的弧，正如本题的关键就是找到∠AOD这一圆心角所对的弧是“弧AD”，再去寻找“弧AD”所对的圆周角∠C并求得它的度数。而在求∠C的度数时，老师又很详细地分析了如何将平行线的性质引入圆的题目中来，最后才是利用定理求得圆心角∠AOD的度数。

师：讲得很好哦，你讲得很清晰，我听得很清楚。以前的课堂上，你可是连题目条件和题目信息都说不清楚的。那你现在可以这么清晰地解释给我听，在写小测中的几何书写题时，有没有觉得比以前轻松很多了？

生：是啊，我现在开始理解这些几何题的书写方式了，知道怎么把这些数学符号一步步串联起来了，以前根本不知道该从哪里入手来写。

师：你这次小测全对，很不错哦。有没有觉得自己变厉害了？

生：我也惊讶我都会写呢！上次单元考，我可是什么都写不出来。

师：那你说说看，觉得这次自己为什么能写得出来。

生：以前课上，我因为没注意听课，有时还在反思上句内容，就没看清楚老师如何在图形中标示或者指出图形隐含的信息，所以每次都无法理解老师的解题步骤是怎么来的。现在，我有很认真在看老师的每一节微课，特别是老师在微课中很详细地讲解例题，并且每讲完一句题目信息，就引导我去看图，还用红笔在图形中去做记号等，我就能跟着老师去把题目信息和图形结合起来，然后跟着老师的思路从图形中的位置关系等内容中发现隐藏的信息，然后参照老师的书写过程，我自己也会跟着书写一遍。

师：很好，才看了几节课，你就有这么大进步了，继续加油。

分析：第一阶段的微课主要是学习《圆》的基本概念、弦、圆心角、圆周角几个定理。学生通过学习视频，已经能初步掌握听课技巧，会跟着老师去思考，能利用数形结合、综合分析等方式去探索题目信息，也能逐渐做到将题目问题信息转变为图形当中的关系，从而寻求解题方式，思维能力和逻辑证明能力小有进步。

第三次见面时间：2016年11月22日。

地点：办公室。

本次见面的背景是测试了“点和圆的位置关系”知识点。虽然本节知识点很简单，但是对于训练学生抓住知识点本质有很大的示范作用。对于测试中的5道题目，该生都正确回答了，前4道题目是知识的较直观运用，但第5道题则灵活性较强。

师：你听完这节课有什么感觉？

生：老师在一开始利用动态的课件展示了点与圆的几种位置关系，然后引导我去探究出点与圆的位置关系的判定方式。这样下来，我就很清楚地明白了定理内容，也知道了为什么要这么判断了。

师：我们来看看你小测里的第5题。

已知圆的半径是1，点在圆上，点P到点A的距离是3，则下列结论正确的是（）。

A.点P在圆内B.点P在圆上C.点P在圆外D.无法判断

生：单元考卷里有。

师：你单元考时也做对了。那你当时想的和现在想的，一样吗？

生：单元考时，我看到这个题目就蒙了。我知道判断一个点和圆的位置关系就是看该点到圆心的距离d与半径r的大小，但是这道题目里，竟然出现两个点（点A和点P），又给出的是点A和点P距离是3，我真的不知道该怎么比较了。考试时，我就简单认为点P到点A的距离是3比圆的半径1大，就判断点P在圆外。看完老师的微课后，我才知道我是运气好而已，如果把半径改成2，还按我当时的思路去想就是错误的了。

师：那你现在明白了吗？

生：明白了。老师的微课里也有一道这样的题目，讲得很清楚。做这道题时不要被两个点给蒙蔽了，其实它考的还是“点和圆位置关系的判定”这一本质内容，只是不再简单把圆的圆心o拿来应用了，而是抓住“点P到点A的距离是3”这句话，将信息进行转化得到“点P就是到点A的距离是3的点，也即做出一个以A为圆心，以3为半径的圆”，结合圆的半径是1，也即直径是2，因此圆在OA的内部，即点P都在圆外。

师：很好。这节课里，我在前面设置了几道比较常规的判断点与圆的位置关系的题目，先让你熟练掌握了判断点与圆的位置关系的方法，然后才变式了一道题目，但其实方法还是一样的。因此，学习数学知识就是要懂得抓住本质的东西，你已经开始慢慢有体会了。

分析：本节微课最主要的就是要教导学生懂得去抓住知识的本质，只要能抓住本质，那么不论题目如何变形，就都能正确解答。由这次的学习可见，学生A已经初步认识到了这点，并已经开始将它渗透到解题中。

第四次见面时间：2016年11月25日。

地点：办公室。

因为圆的切线证明属于《圆》的重要知识点，所以笔者根据证明方式的分类将本节知识点分为两节微课来辅导，同时适量结合中考题。第四次见面，就是在切线证明第一类型学习后。笔者和学生A先进行了简短交谈，再进行了两道题目的测试。学生A的完成情况不错。

师：在学习微课前，我从你的作业中发现你对于关于圆的切线的证明题都不会做。你现在了解什么是圆的切线吗？

生：知道，与圆只有一个交点的直线。

师：关于直线与圆的位置关系，我分成三节课内容来讲，第一节课主要是讲解它们之间的关系，第二节和第三节课主要讲解如何证明切线。听完，你有什么感觉？

生：第一节课，老师在讲解直线与圆的位置关系时，因为利用课件来录制，很形象地展示了它们之间的三种关系，我就很清楚地掌握了它们相关的概念和判定方式。

师：那你懂得怎么证明一条直线是圆的切线吗？书上定理是怎么说的？

生：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

师：那你现在会理解这句话吗？它包含哪些关键信息，你可以画图来说明。

生：对于这条定理可以分成两部分来看，第一部分就是这条要证的切线和圆有一个交点，这个交点和圆心连起来就是半径，也就是代表“经过半径的外端”；第二部分就是这条直线还要垂直于这条半径。只要两个都满足，这条直线就可以说是圆的切线。

师：那你看完第二节有关切线证明的微课，有没有什么收获？

生：这节课里的例题，其实都有共性。它们都是直线已经和圆有一个交点，即第一部分的条件满足，也即知道半径了，就差第二部分条件。因此，我们只需要想方设法证明直线垂直于半径就行了。

师：那你有没有听懂老师是怎么解题的？现在，你会了吗？

生：有啊。原本我拿到证明切线的题目时，虽然脑海里似乎有个答案的影子，但是又具体不知道该怎么把那条定理运用起来。学习了微课后，我知道了该如何分解定理的要素，然后有针对性地去寻找条件。微课里的两道例题起了很好的示范作用。我现在就明白，当证明圆的切线时，如果已经知道该直线与圆已有一个交点，且已经标示出来，那么我们一般就需要将该交点与圆心连接起来，那么这条所连接得到的线段就是半径，我们接下去只需要证明直线垂直于这条半径就可以了。而证明垂直的方式有很多种，可以证明三角形全等，或者利用三角形内角和等。

师：太棒了。你都发现了老师将证明切线的题目进行分类来辅导。那么听了这么多节微课后有什么感想吗？

生：老师，这个方式很好哦。我每次就是利用做作业的空隙时间，或者用一些比较短无法做其他作业的时间来听的。我都是用手机看，很方便。以前，我老是觉得这个不会，那个不懂；每次问同学，都是听懂了这步，听不懂那步；感觉我永远也补不完所有知识。现在，老师的微课视频里每次都只有一个知识点，然后有针对性地利用习题来示范知识的应用，很有针对性。我每天就只要把这节课的这个知识消化了，就感觉充实了一点，离学好数学又近了一步。只是，其中有几节课的播放时间有点长，题目有点多，吸收起来就比较吃力，老师可以再把它们分解一下，我觉得会更方便。

师：好的。

分析：经过几节微课，该生复习了切线证明的相关内容，其几何书写能力和逻辑证明能力有了很大提升，能从微课中总结出切线证明的方式方法。但是，证明过程涉及利用前面的知识内容来达到证明“直线垂直于半径”，因为还未全面复习到所有知识，因此该生还是存在一定的解题困难。

第五次见面时间：2016年11月29日。

地点：办公室。

师：在这节微课中，你有没有什么发现？

生：这节课也是证明切线，但是解题思路的方向变了，刚好和前一节相反。这节讲的是比较圆心到直线的垂线段的长度和半径，再来证明它是不是切线。而且通过微课我才了解到，证到最后的结果不都是切线，有时候证出来的是相交或相离关系。

师：那你现在会利用这节课教的方法解题了吗？

生：会啊。一般情况下，我们需要自己从圆心出发去把这条垂直于直线的垂线段画出来，然后利用题目信息去求得它的长度，再去和半径比较。

师：还有我在最后一节设计了一道中考变形题，你会不会觉得很难？

生：不会。这道中考变形题看起来信息量多，所涉及知识点多，确实会给人感觉难。但是老师在前面已经分类型将切线的证明方式讲解得很透彻了，而这道题目也是利用这节课的方式来做，只是圆的半径没有直接给出来，而是需要利用某一已知度数的圆心所对的弧长去变形计算出半径，剩下的步骤就一样了。而且老师设置得很好，为了让我能在这节课顺利完成本道题目，老师将课本内容进行了调整，将弧长这节的内容提前复习了。这样，适当地调整知识顺序，我就能在复习切线时切身体验中考真题，更具有针对性地复习了切线的内容及考试方式。

师：很好。那你觉得这节课的方法和第一节的知识有没有什么联系？

生：第一节课是教我们通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断直线和圆的位置关系，这节课是让我们去求出圆心到直线的距离，还有圆的半径。其实它们是一样的。

师：很好，你已经基本掌握微课里教的方法了。只要抓住这个证明方法的本质，也就是找出圆心到直线的距离和圆的半径，你就可以利用这两者的大小关系判断出直线与圆的位置关系，不用怕题目如何在相切、相交、相离中变化了。

分析：因为很多教师和学生针对切线这个知识点会局限于只研究相切情况，而实际上并不是每道题目都涉及相切关系。所以，本节课主要是引导学生理解透彻“利用圆心到直线的距离与半径大小比较，从而判定直线与圆的关系”这一知识本质，并给学生归纳一般的解题思路和书写格式。学生A对这部分的小测完成情况还不错，当然由于其他几何基础知识的薄弱，她在具体解题上有点阻碍。