金融资产收益率与协方差

准备1　金融资产的平均或期望收益是其未来随机收益的概率加权平均值。

s为状态（State），　Prs为状态s发生的概率，rs是金融资产在状态s时的收益率。

这里列出了离散随机变量的情形，连续的情形请参考概率论与数理统计的知识。

准备2　金融资产随机收益的方差（Variance）是期望收益的平方差的期望值。

准备3　协方差是两个随机变量相互关系的一种统计测度，即它测度两个随机变量，如证券A和B的收益率之间的互动性。

协方差为正值表明证券的收益率倾向于向同一方向变动。

协方差为负值则表明证券与另一个证券相背变动的倾向。

协方差较小或者为零则表明两种证券之间只有很小的互动关系或彼此变化没有任何关系。

准备4　相关系数。两个随机变量间的协方差等于这两个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的标准差的积。

证券A与B的相关系数为

相关系数总落在-1与+1之间，-1值表明完全负相关，+1值表明完全正相关，多数情况是介于这两个极端值之间。

准备5　投资组合的收益。由n种资产构成的组合的收益率是构成资产组合的每个资产的收益率的加权平均值，资产组合的构成比例为权重。

假设有n种资产，其中第i种资产的随机收益率为，第i种资产在组合中所占的权重为wi，则由这n种资产构成的组合的随机收益率为：

其中的权重wi为第i个资产的价值占整个组合价值的比例：(www.xing528.com)

其中，pi,θi分别为资产i的价格和股数，所以wi是价值权重。

同理，可以对组合的随机收益的两边取期望，得到组合的期望收益为：

准备6　投资组合的方差。方差分别为σ1与σ2的两个资产以w1与w2的权重构成的一个资产组合p（Portfolio）的方差　为：

推导过程：

n种风险资产构成的组合的方差的算法：

上面倒数两个等号后都是n行相加，每行有n项，那么总共有　n2项相加。以上n2项相加的表示方法比较复杂，可以用向量和矩阵的形式表达。把n种资产的权重看成一个权重列向量，而n种资产两两之间的方差和协方差可以有规律地表示成方差—协方差矩阵V。该矩阵的第一行是第一个资产对其他n种资产的协方差，所以第一项是第一个资产对自己的协方差，就是第一种资产的方差。以此类推，第二行是第二个资产对其他n种资产的协方差，第二行第二项是第二个资产的方差，……，最后一行是第n个资产对其他资产的协方差，最后一行的最后一项是第n个资产的方差。因此这个方差-协方差矩阵就是一个n行n列的n×n的矩阵。对角线上分别是n种资产的方差，非对角线上是协方差，由于σij=σji（i≠j），所以非对角线上是对称分布的协方差，方差—协方差矩阵是一个对称矩阵。

由此可以写出n种资产构成的组合的方差为：

准备7　当一个风险资产与一个无风险资产相组合时，资产组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该资产组合投资于这部分资产上的比例。

σportfolio=wAσA

推导过程：

一个组合由一个风险资产A和一个无风险资产F构成，已知风险资产A的权重为　wA，则无风险资产F的权重为(1-wA)，无风险收益率为rf。由数学知识准备6可知：

由于无风险资产F是没有风险的资产，其方差为0，且无风险资产和其他任何资产的协方差也均为0，所以组合的方差为：，组合的标准差为：。

思考：为什么一个风险资产和一个无风险资产构成组合的标准差是绝对值的形式呢？