期望效用理论-《投资学》实用指南

本节通过把普通商品替换为彩票商品（Lottery），来介绍期望效用函数。

在不确定情况下，一个商品在不同状态s下取不同的值，犹如金融资产未来有不确定的收益率。因此金融资产可以看成是彩票商品L。

这个式子包括各个状态的结果Cs（各个状态下所得到的商品还是普通商品C，来自普通消费集合）和各个状态发生的概率PS，各个状态概率之和为1。

可以看出，彩票商品L和普通商品C最主要的区别就是不确定性，彩票商品在不同的状态下获得不同的结果。

而不同的彩票商品之间，也应当存在着与普通商品之间类似的偏好顺序和关系。

如果彩票商品空间中的偏好关系同样满足理性公理，并满足连续性假设，那么就存在一个序数效用函数，这里用(·)来表示这个序数效用函数。这个效用函数使得，对于在彩票商品L和L’中更偏好L的投资者来说，

而(·)函数并不是普通的效用函数u(·)，而是彩票商品L的期望效用函数。对不确定的彩票商品L的效用可以表示为对抽奖结果的普通效用函数的期望的形式：(www.xing528.com)

其中u:C→R（从普通商品的消费集合到实数集合的映射），是前面讲述的普通序数效用函数，而:L→R（从彩票商品的消费集合到实数集合的映射）称为冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数（Von Neumann—Morgenstern Utility Function）。

具体计算期望效用函数的方法是，先计算出各个状态下收益的普通效用函数u，然后对这些普通效用函数加权平均，权重是各个状态发生的概率，计算出期望效用函数。这样的期望效用函数是对各个状态下的普通效用函数按照各个状态发生的概率进行加权平均，所以是期望值（按概率加权的平均值）。

普通效用函数是从普通商品集到实数集的映射，期望效用函数仍然是一个映射，是从彩票商品集合到实数集合的映射，把投资者对彩票商品的偏好关系转变成比较实数大小的关系。

如果说彩票商品的不确定的结果形式是一定数量的以货币表示的收益，那么这个不确定的收益就是一个随机变量。此时的期望效用函数就是定义在一个随机变量集合上的函数，期望效用函数在一个随机变量上的取值等于各个状态下的普通效用函数的期望值。

例如，((x，y,p))=pu(x）+(1−p)u(y)，是具有两种状态的彩票商品的期望效用函数的求法。先把两种状态的x和y的普通效用函数求出来，然后再以每个状态的概率为权重，算出加权平均的期望效用函数值。

由于期望效用函数的求法是各个状态的普通效用函数的加权平均，所以期望效用函数也可以表示为Eu(·)。