经济均衡理论的数学问题解析

假设市场有n种商品，每一种商品的供给和需求都是n种商品价格的函数。n种商品的供需均衡得到n个方程。

价格需要有一个一般等价物，这个一般等价物会用来表示其他商品的价格，于是消掉一个未知数，只有n-1个未知数。然后加入了财务均衡的关系，所有商品供给的总价值等于所有商品需求的总价值。这一关系就称为“瓦尔拉斯法则”，消去一个方程，最后得到了n-1种商品价格的n-1个方程所组成的方程组。这个方程组有解，方程组的解就是一般均衡价格体系。

瓦尔拉斯认为市场中的各种商品的价格变动是互相依赖的，或者说是联动的，当价格达到某种均衡价格体系时，市场会达到均衡状态。但瓦尔拉斯并没有严格证明这种均衡的存在性。

八十年后，瓦尔拉斯的思想由德布鲁（Debreu）、阿罗（Arrow）等经济学家发展，体现于他们在1951年和1954年发表的一系列学术文章。他们认为市场是完全的，有多少商品就有多少市场，并基于此分析一般经济均衡。他们把商品根据各自的物理特征、所在位置、使用日期、所处的自然环境状态的不同，看成不同的商品。也就是把原来的一般经济均衡模型通过拓广商品空间的维数来解决金融市场中的不确定性，其中金融产品是状态依存商品，也就是在不同状态下变成不同的商品。比如晴天的雨伞和雨天的雨伞看成是两种商品，将雨伞这一种商品根据其所处的状态不同视为两种商品，商品空间的维度得到了扩展。

这种把未来不确定性（明天晴天或是阴天）下的商品看成依赖状态而取不同价格的多种商品（晴天的雨伞和阴天的雨伞）的做法，相当于为不确定性下的每个状态买了个保险，每种情况都有一个价格。相当于把金融资产这种不确定性的商品看成了不同场合下取不同价格的普通商品，但是并没有从根本上改变理论。这个理论背后蕴含着的假设是，在最初的时间起点，存在一个对任何商品的市场出清价格体系，在任何一个时间点、任何一个状态，商品都能够被区分，这显然并没有抓住金融资产不确定性的本质。

那么一般经济均衡理论仍然能够运用于金融资产的定价吗？大家可以思考一下。

在金融经济学的教材中，有关于从一般经济均衡体系拓展商品空间来解决不确定商品定价问题的相关证明，感兴趣的同学可以做延伸阅读和学习。

如果一般经济均衡框架解决金融资产定价出现了困难，那么在金融投资的实践中，甚至在投资者的直觉中，从金融资产未来不确定性收益和风险的最直接的视角能否直接解决问题呢？下面我们介绍现代金融理论的开创者——哈里·马科维茨（Harry Markowitz）。

马科维茨是现代金融理论的开创者。马科维茨于1990年和威廉·夏普一起获得了诺贝尔经济学奖，当然还有下面要介绍的提出MM定理的两位学者之一的默顿·米勒（Merton M.Miller）。

马科维茨1952年发表在Journal of Finance上的一篇论文叫作《证券组合选择》（Portfolio Selection），一共14页，其中10页都是数学证明，尽管这些数学方法在现在看来并不复杂，但是当时的金融学研究几乎都是纯文字探讨，所以这篇充满了数学、统计学等方法的论文让人觉得十分难懂。但正是文中的投资组合理论，也叫均值方差理论，掀起了第一次华尔街革命。

思考：能把投资组合理论理解成“不能把鸡蛋放到同一个篮子里”吗？

马科维茨第一次量化了金融资产的收益和风险，他把金融资产的未来收益看作一个随机变量，资产的未来期望收益用这个随机变量的均值来表示，风险用这个随机变量的方差或者标准差来表示。投资者在选择资产的时候，需要进行收益和风险之间的权衡（Trade-off Between Risk and Return），不能同时达到收益的最大和风险的最小，需要在收益一定的时候追求风险最小，或者风险一定的时候追求收益最大。这就是资产的随机收益率的期望值和方差之间的权衡，所以这个理论也称为均值-方差分析方法（Mean-Variance Analysis，MV方法，均方理论）。

马科维茨提出的分散组合风险的方法认为，降低组合风险仅靠增加组合中的证券数量还不行，要加入与原来资产协方差小于1的资产。

马科维茨的博士论文在答辩时也碰到了问题，被答辩老师质疑是否是一篇经济学的论文，因为论文缺乏经济学背景，没有效用函数，没有需求供给分析，论文中充满了数学、统计学，满是公式和推导。

尽管如此，马科维茨的博士论文在Journal of Finance上发表了，第一次用数学、统计学的方法将投资过程和资产选择过程用数学上求最优解的方式，提出了投资者最优的资产配置方式。也就是说，通过马科维茨的投资组合理论中的均值方差分析方法，竟然能得到实际中每个资产分别应该投入多少权重，真实地能够按这种最优比例来进行投资了。要知道在此之前，金融投资在各种股票上配置资产还是以图表分析为主，看着股票的历史走势分析规律，貌似是一种很玄的分析。而马科维茨的投资组合理论横空出世，让投资者能够明确地知晓在各个风险资产上的投资比例，这是非常令人兴奋的。因此马科维茨毫无意外地掀起了第一次华尔街革命。

如果从另一个视角看投资组合理论，甚至可以说整个理论也是最初的量化投资方法。我们说量化投资分两种，一种是模型驱动的，一种是数据驱动的。模型驱动的量化投资的基础是学院派金融，也正是我们金融投资课程所教授的理论。1952年的马科维茨还是一个经济学的博士研究生，他在去跟导师讨论论文题目的时候，在走廊上碰到的一个证券经纪商（Broker）朋友建议他关注股票市场，马科维茨对这一提议感到非常兴奋，并开始在股票市场领域进行研读。他在自己的回忆录中写道：“有一天我在图书馆阅读了威廉姆斯的《投资价值理论》，投资组合理论的基本概念就突然出现在我脑海里^[2]。”

哈尔·范里安（1993）的文章《马科维茨、米勒和夏普的诺贝尔经济学奖组合》中提到^[3]：

“马科维茨最先阅读的一本书便是约翰·伯尔·威廉姆斯于1938年所著的《投资价值理论》，威廉姆斯认为股票价值应相当于其股利的现值和，这在当时还是新颖的理论。马科维茨迅速认识到了这一理论存在的问题：即未来的股利在当下是不确定的——是随机变量。这一发现使马科维茨对威廉姆斯的理论进行了自然的延伸：股票价值应当等于股利的预期现值之和。

但若是如此，当投资者想最大化所持有股票组合的预期价值时，那么很明显，投资者应当仅购买期望收益最高的那一只股票。对于马科维茨来说，这显然是不现实的。因此，他很清楚投资者不仅关心财富的期望收益，同时也关心风险。受这一想法的引导，自然而然地，马科维茨之后开始研究‘给定风险水平下寻找最大化期望收益的股票组合’的问题。

如今，投资者应同时关心风险与收益这一事实早已是老生常谈，很难相信直到1952年，人们才理解了这一观点，甚至凯恩斯都曾说：‘如果说安全至上的投资主要是在众多不同的公司中下少量的赌注……真是令人震惊的投资怪癖’。幸运的是，在那时凯恩斯还未在芝加哥负有盛名，马科维茨的研究也未受到阻挠。”(www.xing528.com)

接下来，在马科维茨投资组合理论的基础上，托宾（Tobin）在只有风险资产的基础上，加入了无风险借贷和货币因素，改进了资产组合理论。托宾也在1981年获得了诺贝尔经济学奖。

1958年，莫迪利安尼和米勒两位教授，提出了在公司理财中非常著名的MM定理。两位教授分别于1985和1990年获得了诺贝尔经济学奖。在公司融资方式上，有债券融资和股权融资，而这两种融资方式各有缺点：债券融资会增加公司的成本，而股权融资会稀释股东权益。当时有很多研究都希望指出公司应该在何时采取债券融资方式，何时采取股权融资方式，才能增加公司的价值，米勒也不例外。但是当他开始研究这个问题时，却惊讶地发现，公司价值和采取何种公司融资方式是没有某种特别的联系的，或者说公司负债率是不影响公司价值的。

同样，哈尔·范里安（1993）的文章《马科维茨、米勒和夏普的诺贝尔经济学奖组合》也提到^[4]：

“令米勒惊讶的是，他发现公司融资结构与公司价值之间没有特殊的关系。有些公司有大量债务，有些公司有大量股权，但公司负债率和公司价值之间没有某种特殊的关系。我们已经认真地建议，应该有一本《不显著结果期刊》（Journal of Negative Results），可以发表那些实证结果不显著的论文，包括回归系数不显著、R方不够大的论文。如果有这样的杂志，米勒很可能会在那里发表他的发现。但没有这样的期刊，所以米勒不得不思考为什么资本结构和企业价值之间可能没有关系。

莫迪利亚尼（Franco Modigliani）教授的办公室在米勒教授的旁边，他一直在研究一些相似的问题。他致力于为凯恩斯的投资理论提供微观经济基础。在Durand（1952）的工作基础上，莫迪利亚尼研究出了一些关于公司融资结构的模型，但这些模型似乎没有指出公司有比较偏好的融资结构。当米勒和莫迪利亚尼两位教授开始联手，公司金融理论从此开始不同。”

这个理论颠覆了人们的两个直觉：

一是资本结构相同的公司，价值一样，之前人们认为负债多的公司价值较低。

二是股利政策与市场价值无关，之前人们认为经常发放股利的公司价值更高。

虽然这个理论在公司金融中的地位极其重要，但是在这个理论中提出的无套利思想，对金融资产定价的意义更为重大。

米勒和莫迪利亚尼教授认为一个简单的世界没有税收和交易成本，一家公司的价值将独立于其资本结构（融资结构）。他们的观点是对无套利原则或一价定律的创新应用。这一对无套利均衡的创新应用，直接促使了后来的期权定价公式和套利定价理论的出现。

无套利原则使得在进行资产定价时不必再在瓦尔拉斯一般经济均衡框架下进行供需分析，而是可以从一般经济均衡推出无套利均衡，直接在无套利均衡下，利用相对定价法，来对成千上万的金融衍生品进行定价。

到了20世纪60年代，马科维茨的思想被人们广泛接受，其他学者进一步发展投资组合理论。金融投资业界也开始应用这些发展的理论进行资产组合选择和套期保值等金融投资活动，甚至发展出定量化的工程思想（金融工程）运用于金融产品创新和金融投资实践中。

当然，马科维茨投资组合理论掀起了第一次华尔街革命的同时，也存在着缺陷。

第一个缺陷是，由于总风险可以被分散，也就是说，总是可以通过加入新的资产的方式来降低总风险，那么总风险是无法用来定价的，那么如何来定价呢？特瑞纳（Jack Treynor）在《关于风险资产市场价值的理论》一文中提出了解决办法。风险可以分为系统风险和非系统风险，他指出可以分散的非系统风险对资本成本的影响可以忽略不计。“股票的风险溢价与该股票与市场上所有投资的协方差成正比”，也就是说可以为资产定价的是系统风险，而不是非系统风险。在后面章节的讲授中将为大家讲解系统风险和协方差的关系。

第二个缺陷是，在当时计算机技术还没有快速发展的条件下，要求出多个风险资产的最优配置比例，其计算是非常复杂的。对于计算复杂的问题，1963年，威廉·夏普（Willam Sharp）提出的资本资产定价模型（CAPM）解决了这个问题。

威廉·夏普指出，“通过证券多元化，资产的部分风险是可以避免的，这样，很明显总风险不是决定价格的因素，但是尚无理论证明决定资产价格的具体风险是什么”。

因此威廉·夏普提出了资本资产定价模型。他在马科维茨投资组合理论的基础上，加入了市场和供需均衡的分析，提出了市场均衡时，适用于单个证券和资产组合的定价模型。这是一个单因素的线性模型的形式，非常简洁和实用。给出了资产的均衡收益率后，可以与资产的实际收益率进行比较，如果两者不相同，就有了套利机会，指导投资者的投资。因此威廉夏普和马科维茨一起获得了1990年的诺贝尔经济学奖。

实际上，林特纳（John Lintner，1965a，b）、莫森（Jan Mossin，1966）、夏普（William Sharpe，1964）和特瑞纳（Jack Treynor，1962）都独立地得出过资本资产定价模型。但是遗憾的是，林特纳和莫森在1990年之前去世而无缘诺贝尔经济学奖。虽然特瑞纳最早写下了这一理论的手稿，但当时并未发表，从而也错过了诺贝尔经济学奖^[5]。但当我们提起资本资产定价模型的时候，都会说是以上几位学者的贡献^[6]。

20世纪70年代的主要理论比如税收下的CAPM、不存在无风险借贷情况下的CAPM、跨期的CAPM等，这些理论的推进和补充，使得资本资产定价模型更加符合实际情况，更能解决实际问题。